人教B版高中数学必修第三册第8章微专题2向量数量积与平面几何的交汇学案

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微专题2　向量数量积与平面几何的交汇平面向量既有代数表达，又有几何表达．因此平面向量与平面几何相结合考查已成高考常态．此类试题要求考生对相关数学概念要非常清楚，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，同时还要掌握基本的数学思想方法． 类型1　三角形中的向量数量积【例1】　(1)已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝|eq \o(OC,\s\up7(→))|，eq \o(NA,\s\up7(→))＋eq \o(NB,\s\up7(→))＋eq \o(NC,\s\up7(→))＝0，eq \o(PA,\s\up7(→))·eq \o(PB,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→))·eq \o(PC,\s\up7(→))＝eq \o(PC,\s\up7(→))·eq \o(PA,\s\up7(→))，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心(2)若三个不共线的向量eq \o(OA,\s\up7(→))，eq \o(OB,\s\up7(→))，eq \o(OC,\s\up7(→))，满足eq \o(OA,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋\f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(CA,\s\up7(→))|)))＝eq \o(OB,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (\o(BA,\s\up7(→)),|\o(BA,\s\up7(→))|)＋\f(\o(CB,\s\up7(→)),|\o(CB,\s\up7(→))|)))＝eq \o(OC,\s\up7(→))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f (\o(CA,\s\up7(→)),|\o(CA,\s\up7(→))|)＋\f(\o(BC,\s\up7(→)),|\o(BC,\s\up7(→))|)))＝0，则点O为△ABC的(　　)A．内心 B．外心C．重心 D．垂心(1)C　(2)A　[(1)由|eq \o(OA,\s\up7(→))|＝|eq \o(OB,\s\up7(→))|＝|eq \o(OC,\s\up7(→))|知点O到点A，B，C的距离相等，即点O是△ABC的外心．eq \o(NA,\s\up7(→))＋eq \o(NB,\s\up7(→))＋eq \o(NC,\s\up7(→))＝0⇒eq \o(NA,\s\up7(→))＋eq \o(NB,\s\up7(→))＝－eq \o(NC,\s\up7(→))，易知eq \o(NA,\s\up7(→))＋eq \o(NB,\s\up7(→))经过线段AB的中点，所以直线NC也经过线段AB的中点，同理直线NA经过线段BC的中点，直线NB经过线段AC的中点，故N是△ABC三条中线的交点，即点N是△ABC的重心．由eq \o(PA,\s\up7(→))·eq \o(PB,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→))·eq \o(PC,\s\up7(→))，得eq \o(PA,\s\up7(→))·eq \o(PB,\s\up7(→))－eq \o(PC,\s\up7(→))·eq \o(PB,\s\up7(→))＝(eq \o(PA,\s\up7(→))－eq \o(PC,\s\up7(→)))·eq \o(PB,\s\up7(→))＝eq \o(CA,\s\up7(→))·eq \o(PB,\s\up7(→))＝0，即CA⊥PB．同理AB⊥PC，BC⊥PA，即点P是△ABC的垂心．(2)由题意知eq \o(OA,\s\up7(→))与eq \f(\o(AB,\s\up7(→)),|\o(AB,\s\up7(→))|)＋eq \f(\o(CA,\s\up7(→)),|\o(CA,\s\up7(→))|)＝eq \o(AE,\s\up7(→))(E在∠BAC的外角平分线上)垂直，所以点O在∠BAC的平分线上．同理，点O在∠ABC的平分线上，点O在∠ACB的平分线上．故点O为△ABC的内心．] 类型2　利用向量数量积解决平面几何问题【例2】　在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，E是线段CD上一点，满足|eq \o(CE,\s\up7(→))|＝2|eq \o(DE,\s\up7(→))|，如图所示，设eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，eq \o(AD,\s\up7(→))＝b．(1)用a，b表示eq \o(BE,\s\up7(→))；(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE？若存在，确定F点的位置，并求|eq \o(AF,\s\up7(→))|；若不存在，请说明理由．[解]　(1)根据题意得：eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AD,\s\up7(→))＝b，eq \o(CE,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \o(BA,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)eq \o(AB,\s\up7(→))＝－eq \f(2,3)a，所以eq \o(BE,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CE,\s\up7(→))＝b－eq \f(2,3)a．(2)结论：在线段BC上存在使得4|eq \o(BF,\s\up7(→))|＝|eq \o(BC,\s\up7(→))|的一点F满足AF⊥BE，此时|eq \o(AF,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(,21),4)．理由如下：设eq \o(BF,\s\up7(→))＝teq \o(BC,\s\up7(→))＝tb，则eq \o(FC,\s\up7(→))＝(1－t)b(0≤t≤1)，所以eq \o(AF,\s\up7(→))＝eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(BF,\s\up7(→))＝a＋tb，因为在边长为1的菱形ABCD中，∠A＝60°，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝|a||b|cos 60°＝eq \f(1,2)，因为AF⊥BE，所以eq \o(AF,\s\up7(→))·eq \o(BE,\s\up7(→))＝(a＋tb)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(2,3)a))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)t))a·b－eq \f(2,3)a2＋tb2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)t))×eq \f(1,2)－eq \f(2,3)＋t＝0，解得t＝eq \f(1,4)，从而eq \o(AF,\s\up7(→))＝a＋eq \f(1,4)b，所以|eq \o(AF,\s\up7(→))|＝eq \r(,\o(\o(AF,\s\up7(→))2))＝eq \r(,a2＋\f(1,2)a·b＋\f(1,16)b2)＝eq \r(,1＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,16))＝eq \f(\r(,21),4)．用向量法解决平面几何问题时通常选择恰当的基底(基底中的向量的长度和夹角尽量已知)；如果所给条件容易建系，那么可以建立平面直角坐标系，用向量坐标法解决有关问题．【例3】　如图所示，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF．[证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜eq \r(2))，则A(0,1)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，\f(\r(2),2)λ))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)λ))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ，0))，∴eq \o(PA,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ，1－\f(\r(2),2)λ))，eq \o(EF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1，－\f(\r(2),2)λ))，∴|eq \o(PA,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2))＝eq \r(λ2－\r(2)λ＋1)，|eq \o(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)λ－1))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)λ))eq \s\up12(2))＝eq \r(λ2－\r(2)λ＋1)，∴|eq \o(PA,\s\up7(→))|＝|eq \o(EF,\s\up7(→))|，∴PA＝EF．一般地，利用向量求线段长度的关系有两种方法：(1)适当选择基底向量，利用向量的线性运算转化，结合相等向量、平面向量基本定理等求解线段长度的关系；(2)建立平面直角坐标系，利用向量坐标法求出所求线段的长度再确定线段长度的关系．