人教B版高中数学必修第三册第8章微专题3三角函数的值域和最值问题学案

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微专题3　三角函数的值域和最值问题三角函数的值域和最值问题因其题型的灵活多变，一直是高考的热点．求三角函数的最值问题通常有以下三种途径：(1)将所求三角函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(正弦型三角函数)，然后结合角x的取值范围求最值；(2)将所求三角函数式转化为关于sin x(或cos x)的二次函数的形式，然后结合二次函数的性质求解；(3)利用正弦函数、余弦函数的有界性求最值．此外换元法、数形结合法等都是常用于求最值的方法．一般函数求值域的方法(如分离常数法、判别式法、图像法等)在三角函数中也适用． 类型1　利用y＝Asin(ωx＋φ)＋k求解【例1】　求函数y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值．[解]　∵x∈[0，π]，∴x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，∴－eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≤1．∴当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝1，即x＝eq \f(π,3)时，y取得最小值，为1；当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，即x＝π时，y取得最大值，为4．故函数y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1． 类型2　可化为sin x或cos x的二次三项式型【例2】　已知|x|≤eq \f(π,4)，则函数f(x) ＝cos2x＋sin x的最小值为________．eq \f(1－\r(2),2)　[y＝f(x) ＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1．令t＝sin x，∵|x|≤eq \f(π,4)，∴－eq \f(\r(2),2)≤t≤eq \f(\r(2),2)．∴y＝－t2＋t＋1＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)≤t≤\f(\r(2),2)))，∴当t＝－eq \f(\r(2),2)，即x＝－eq \f(π,4)时，f(x) 有最小值，最小值为－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(5,4)＝eq \f(1－\r(2),2)．] 类型3　可化为sin x＝f (y)型【例3】　求y＝eq \f(3sin x＋1,sin x＋2)的最大值和最小值．[解]　由已知y＝eq \f(3sin x＋1,sin x＋2)，得sin x＝eq \f(2y－1,3－y)(y≠3)．∵|sin x|≤1，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2y－1,3－y)))≤1，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2y－1,3－y)))eq \s\up12(2)≤1，∴(y＋2)(3y－4)≤0，解得－2≤y≤eq \f(4,3)．故所求函数的最大值为eq \f(4,3)，最小值为－2． 类型4　f(x) ＝a(sin x±cos x)＋bsin xcos x＋c型此类型问题，可以采用换元法将原函数转化为二次函数求解．令sin x±cos x＝t，则sin xcos x＝±eq \f(t2－1,2)，显然原函数可化为二次函数，将问题转化为求二次函数在某一区间上的最值．注意t的取值应与sin x±cos x的取值保持一致．不要忽略t的取值范围．【例4】　若x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，求函数y＝(sin x＋1)(cos x＋1)的最值及取得最值时相应的x的值．[解]　y＝(sin x＋1)(cos x＋1)＝sin x＋cos x＋sin xcos x＋1，令sin x＋cos x＝t，则sin xcos x＝eq \f(t2－1,2)．∵eq \f(π,12)≤x＋eq \f(π,4)＜eq \f(3π,4)，∴t＝sin x＋cos x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\r(2)))．从而原函数化为y＝t＋eq \f(t2－1,2)＋1＝eq \f(1,2)(t＋1)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)≤t≤\r(2)))，问题转化为求关于t的二次函数在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，\r(2)))上的最值．显然，由二次函数的性质可知，当t＝sin x＋cos x＝eq \f(\r(3)－1,2)，即x＝－eq \f(π,6)时函数取得最小值eq \f(\r(3)＋2,4)；当t＝sin x＋cos x＝eq \r(2)，即x＝eq \f(π,4)时函数取得最大值eq \f(3＋2\r(2),2)． 类型5　化为某个角的一种三角函数的一次式对于三角函数，我们研究其性质一般是化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，然后利用正、余弦函数的性质研究．化简函数式我们常用的方法有：①对于y＝asin ωx＋bcos ωx型的函数，利用公式asin ωx＋bcos ωx＝eq \r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan φ＝\f(b,a)))；②对于y＝asin2x＋bcos2x＋csin xcos x＋d型的函数，利用降幂公式，将高次的式子转化为低次的式子；③对于y＝sin(ωx＋φ)±sin(ωx＋θ)型的函数，利用和差化积公式来解决；④对于y＝sin(ωx＋φ)sin(ωx＋θ)型的函数，利用积化和差公式来解决．【例5】　已知函数f(x) ＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cos2x．(1)求f(x) 的最小正周期和最小值；(2)将函数f(x) 的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图像，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，求g(x)的值域．[解]　(1)f(x) ＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \r(3)cos2x＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)(1＋cos 2x)＝eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(\r(3),2)cos 2x－eq \f(\r(3),2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)，因此f(x) 的最小正周期为π，最小值为－eq \f(2＋\r(3),2)．(2)由条件可知，g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)．当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，有x－eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，从而y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，那么g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \f(\r(3),2)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2)))．故g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(2－\r(3),2)))．