人教B版（2019）必修三 第八章 向量的数量积与三角函数恒等变换 章节测试题(含答案)

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人教B版（2019）必修三 第八章 向量的数量积与三角函数恒等变换 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知是边长为4的等边三角形,P为所在平面内一点,则的最小值为( )A.-8 B.-6 C.-4 D.-22．若两个非零向量,满足,则向量与的夹角是( )A. B. C. D.3．若,则( )A. B.3 C. D.-34．已知向量,满足,,,则向量,夹角的大小等于( )A.30° B.45° C.60° D.120°5．在中,已知,向量在向量方向上的投影向量为,,则( )A.12 B.8 C.6 D.46．已知,那么( )A. B. C. D.7．已知,是单位向量,若,则在上的投影向量为( )A. B. C. D.8．已知向量,,,,的夹角为,若存在实数m使得,则m的取值范围是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．如图,平行四边形ABCD中,,,,E为CD的中点,AE与BD交于F,则( )A.在方向上的投影向量为 B. C. D.10．如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论中正确的有( )A. B.C. D.11．已知点O为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有( )A.B.直线AO过BC边的中点C.D.若，则12．已知向量，，，则的值可以是( )A. B. C.2 D.三、填空题13．设向量,为单位正交基底,若,,且,则_________．14．已知,,若,,则__________15．已知,,若,则__________.16．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得,阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值(且)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆,在平面直角坐标系xOy中,,,点P满足,则的最小值为___________.四、解答题17．如图,在中,,,P为CD上一点,且满足,若的面积为.(1)求m的值;(2)求的最小值.18．如图所示，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从点A出发航行到河对岸，船航行速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为.（1）当多大时，船能垂直到达对岸？（2）当船垂直到达对岸时，航行所需时间是否最短？为什么？19．如图，AB为半圆O的直径，，C为上一点（不含端点）.（1）用向量的方法证明；（2）若C是上更靠近点B的三等分点，Q为上的任意一点（不含端点），求的最大值.20．如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为P，AC与BD交于点O.（1）若，求AP的长；（2）设，，，，求的值.21．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知，，.（1）求的模；（2）若，，求的值.22．如图,在四边形ABCD中,,,,且,.（1）求实数的值;（2）若M,N是线段BC上的动点,且,求的最小值.参考答案1．答案：B解析：取BC中点O,以O为原点,OC,OA为x,y轴建立如图所示平面直角坐标系,则,,,设,则,,,所以,所以,当且仅当,时等号成立,所以的最小值为-6,故选：B.2．答案：D解析：,,,,,设与的夹角为,.,.故选：D.3．答案：C解析：因为,可得,整理得,所以.故选：C.4．答案：B解析：因为,,,所以,即,所以所以,因为,所以故选：B.5．答案： B解析：如下图,若,则在方向上的投影向量为,又向量在向量方向上的投影向量为,则,即,所以,又,所以.故选：B.6．答案：A解析：因为,可得,又由.故选：A.7．答案：D解析：根据已知可得,所以,.所以,在上投影向量为.故选:D.8．答案：C解析:,则,,则,故,,由题意可知,.故选:C.9．答案：AB解析：平行四边形ABCD中,,,所以,则,所以,E为CD的中点,AE与DB交于F,所以在方向上的投影为0,即在方向上的投影向量为,所以A正确;因为,所以,则,故,,所以B正确;,所以C不正确;,即,所以D不正确．故选：AB．10．答案：BC解析：A选项，，故A错误；B选项，，，由正六边形的性质知，，故B正确；C选项，设正六边形的边长为1，则，，，式子显然成立，故C正确；D选项，设正六边形的边长为1，，，故D错误.故选BC.11．答案：ACD解析：，则，A正确；如图，若，，，则，所以O是的重心，直线AO过EF中点，而EF与BC不平行，所以直线AO不过BC边的中点，B错误；又，而，，所以，C正确；若，且，所以，而，D正确.故选ACD.12．答案：ABC解析：由向量，，可得，，，则.因为，所以，所以，即，故选项ABC符合题意.故选ABC.13．答案：2解析：因为向量,为单位正交基底,,,所以,即所以,即故答案为：2.14．答案：或0.5解析：,,且,,,故故答案为:15．答案：解析：因为,,则,且,则,解得.故答案为：.16．答案：解析：设点,由可得,整理可得,化为标准方程可得,因为O为AB的中点,所以,,记圆心为,当点P为线段OM与圆的交点时,取最小值,此时,,所以,.故答案为:.17．答案：(1)(2)当,时取得等号解析：(1)建立如图所示直角坐标系,设,,则,,由得,故,由得,所以,因为C,P,D三点共线,所以,所以,解得.(2)由(1)得,因为,所以,所以,所以,当且仅当,时取得等号.18．答案：（1）（2）不是最短，理由见解析解析：（1）船垂直到达对岸，即与垂直，即，所以，即，所以，解得.（2）设船航行到对岸所需的时间为t，则.故当时，船的航行时间最短，而当船垂直到达对岸时，由（1）知，并不是最短.19．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）证明：建立平面直角坐标系如图所示.由题意可知，，，设，则，得.由于，，所以，故，即.（2）由题意知，则，连接OQ，设，则，.因为，，所以，又，所以，故当，即时，取得最大值.20．答案：（1）2（2）解析：（1）在平行四边形ABCD中，，垂足为P，，，解得，故AP的长为2.（2），且B，P，O三点共线，.①又，，，.由可知展开得，化简得到.②联立①②解得，，故.21、（1）答案：解析：.（2）答案：解析：因为，，所以.22．答案：（1）;（2）.解析：（1）, ,, ,,.（2）过A作,垂足为O,则,,,以O为原点,以BC,OA所在直线为坐标轴建立平面坐标系如图所示：则,设,,,,,,当时,取得最小值.