重庆市清华中学校2023-2024学年高一下学期4月阶段测试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市清华中学校2023-2024学年高一下学期4月阶段测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列命题中,正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,,则D.若,,则
2．在中,,则( )
A.B.C.D.
3．若是关于x的实系数方程的一个复数根,设,则( )
A.B.C.D.
4．已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,的面积,则( )
A.B.C.D.
5．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸）( )
A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸
6．下图四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知,,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.四边形的周长为D.四边形的面积为
7．如图,圆锥的母线长为2,点M为母线的中点,从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点,这条绳子的长度最短值为,则此圆锥的表面积为( )
A.B.C.D.
8．在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若,又的面积,且,则( )
A.64B.84C.-69D.-89
二、多项选择题
9．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论里面占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥．依据欧拉公式,下列说法中正确的是( )
A.对应的点位于第二象限B.为实数
C.的模长等于D.的共轭复数为
10．已知,,则( )
A.若,则
B.若,则
C.的最小值为2
D.若向量与向量的夹角为钝角,则t的取值范围为
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且．则下列结论正确的是( )
A.B.若,则该三角形周长的最大值为6
C.若的面积为2,则a有最小值D.设,且,则为定值
三、填空题
12．若复数（i为虚数单位）是纯虚数,则实数m的值为__________．
13．如图,正方体的棱长为4,E是侧棱的中点,则平面截正方体所得的截面图形的周长是____________．
14．设向量,,满足,,,则的最大值____________．
四、解答题
15．已知,,．
（1）求;
（2）当k为何值时,与垂直?
16．如图,在正四棱锥中,,E是棱的中点;
（1）求证：平面;
（2）求三棱锥的体积.
17．如图,在平面四边形ABCD中,已知,,.在AB边上取点E,使得,连接EC,ED.若,.
（1）求的值;
（2）求CD的长.
18．已知圆锥的顶点为P,母线,所成角的余弦值为,轴截面等腰三角形的顶角为,若的面积为．
（1）求该圆锥的侧面积;
（2）求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值;
（3）求圆锥的内切球体积．
19．已知,角A、B、C的对边分别为a、c,D、E均在线段上,为中线,为的平分线．
（1）若,求证;
（2）在（1）的条件下,若,求;
（3）若,,求的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：A.若,,则或,所以该选项错误;
B.若,,则或a,b异面,所以该选项错误;
C.若,,则或a,b异面或a,b相交,所以该选项错误;
D.若,,,由,过b作平面,使,
则,又,,,,,
所以该选项正确.
故选：D.
2．答案：B
解析：由正弦定理可知,,
设,,
则.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为是关于x的实系数方程的一个复数根,
则另一个复数根为,
所以,即,解得,
所以.
故选：D.
4．答案：C
解析：由余弦定理得,
又三角形面积公式得,
故,
又,故,即,
又,故.
故选：C.
5．答案：C
解析：如图,由题意可知,天池盆上底面半径为14寸,下底面半径为6寸,高为18寸,
因为积水深9寸,所以水面半径为寸,
则盆中水的体积为立方寸,
所以平地降雨量等于寸.
故选：C.
6．答案：D
解析：如图过作交于点E,
由等腰梯形且,又,,可得是等腰直角三角形,
即,故B错误;
还原平面图如下图,
则,,,故A错误;
过C作交于点F,则,
由勾股定理得,
故四边形的周长为：,即C错误;
四边形的面积为：,即D正确.
故选：D.
7．答案：B
解析：将圆锥侧面沿母线AB剪开,其侧面展开图为扇形,如图,
从点M处拉一条绳子,绕圆锥的侧面转一周达到B点,最短距离即为线段BM长,则有,
而M是线段中点,又母线长为2,于是得,即,
设圆锥底面圆半径为r,从而有：,解得,
所以圆锥的表面积为.
故选:B.
8．答案：C
解析：由,得,
所以,
则,即,即,
又,即,
又,得,
联立、、,解得,
则,即,
由,平方知,
所以.
故选：C.
9．答案：AB
解析：对于A：由题意可得：,则对应的点为,
,则,
对应的点位于第二象限,故A正确;
对于B：由题意可得实数,故B正确;
对于C：由题意可得,则,故C错误;
对于D：由题意可得,
则的共轭复数为,故D错误;
故选：AB.
10．答案：AB
解析：已知,
若,则,解得,A选项正确;
若,则,解得,B选项正确;
,,
当时,有最小值,C选项错误;
当时,,,
向量与向量的夹角为,D选项错误.
故选：AB.
11．答案：BCD
解析：对于A：因为,由正弦定理可得,
而,
故,
因为且位于分母位置,故,,
所以,又,所以,故A错误;
对于B：由余弦定理得,
即,
所以,,当且仅当时等号成立,
此时,所以的周长的最大值为,故B正确;
对于C：因为,所以,
由余弦定理得,当且仅当时等号成立,
所以a有最小值,故C正确;
对于D：因为,即,
所以,
两边平方并化简得,
即,即,所以,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：2
解析：由于复数（i为虚数单位）是纯虚数,所以,
解得,
故答案为：2.
13．答案：
解析：取中点H,连接,,

中点为H,E是侧棱的中点,
,,
又直角三角形中,
,
正方体中,,,
四边形为平行四边形,
,,
,
,H,C,四点共面,即为正方体的截面.
在直角三角形中,
同理,则截面周长为.
故答案为:.
14．答案：4
解析：由题设,,而,则,
令,,,则,,又,如下图所示：
所以,,则,故A,O,B,C四点共圆,
而,即,
故外接圆直径,
对于,当为直径时最大,从而的最大值为.
故答案为：4.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,,,
所以,即,则,
所以;
（2）若与垂直,
则,
即,
即,解得.
16．答案：（1）证明见解析;
（2）
解析：（1）证明：在正四棱锥中,四边形为正方形,
连接AC交BD于O,则O为AC的中点,
又因为E为PC的中点,所以,
因为平面,平面,
所以平面.
（2）在正四棱锥中,O为底面的中心,则底面,
所以为直角三角形,
因为E为PC的中点,则点到E平面的距离,
因此,三棱锥的体积.
17．答案：（1）;
（2）7.
解析：（1）在中,由正弦定理,知,
因为,,,
所以;
（2）因为,所以,
所以,
因,所以为直角三角形,又,
所以,
在中,,
所以.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）设圆锥母线长、底面半径分别为、,
由圆锥的轴截面为等腰三角形且顶角为,则,解得,
又,所以,
又因为的面积为,
,解得（负值舍去）,
又,所以,
圆锥的侧面积．
（2）作出轴截面如下所示：
设圆柱底面半径,即,
由（1）可知,则,又圆锥的高,
所以,即圆柱的高为,
所以圆锥内接圆柱侧面积,
当且仅当,即时取等号,
所以圆锥内接圆柱的侧面积的最大值为.
（3）作出轴截面如图所示：
根据圆锥的性质可知内切球球心在上,设球心为G,切于点D,
设内切球半径为R,即,则,
所以,
由（1）可知,圆锥的高,,
则有,解得,
所以圆锥的内切球的体积.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
（3）
解析：（1）设边上的高为h．
因为,即,所以,
又因为为的平分线,所以,
在中,由正弦定理得,
在中,由正弦定理得,
又,所以,
所以,即,即.
（2）因为,D为的中点,所以,
又,
所以,即,
又,
故;
（3）在中,,
在中,,
又,所以,
两式相加得,
因为,,,
在中,由正弦定理得,
在中,由正弦定理得,
又,则,
所以,则,
又,即,所以,
所以,
又,
设,则,即,解得,
所以,所以,
所以,
所以．