重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期4月阶段练习数学试卷(含答案)

这是一份重庆市第八中学校2023-2024学年高一下学期4月阶段练习数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在中,已知,,,则角C为( )
A.B.C.D.
2．在中,,则k的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．已知中,D为BC边上一点,且,则( )
A.B.C.D.
4．已知向量,不共线,且,,,则一定共线的是( )
A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D
5．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量,.若,则角C的大小为( )
A.B.C.D.
6．如图,A,B两点在河的两岸,在B同侧的河岸边选取点C,测得BC的距离10m,,,则A,B两点间的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知,,一条对称轴为,若关于x的方程在有两个不同的实数根,则m的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在中,,是的外心,M为BC的中点,,N是直线OM上异于M,O的任意一点,则( )
A.3B.6C.7D.9
二、多项选择题
9．已知,是夹角为的单位向量,且,,则( )
A.B.C.与的夹角为D.在方向上的投影向量为
10．已知O为坐标原点,点,,,,则( )
A.B.
C.D.
11．中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为的面积,且,,下列选项正确的是( )
A.
B.若,则有两解
C.若为锐角三角形,则b取值范围是
D.若D为BC边上的中点,则AD的最大值为
三、填空题
12．如图,正方形ABCD的边长为,E是AB的中点,F是BC边上靠近点B的三等分点,AF与DE交于点M,则______.
13．如图,已知的面积为,D,E分别为边AB,BC上的点,且,AE,CD交于点P,则的面积为_____.
14．我国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”,即以小斜幂,并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积,把以上文字写出公式,即(其中S为三角形面积,a,b,c为三角形的三边).在非直角中,a,b,c为内角A,B,C所对应的三边,若且,则面积的最大值是________,此时外接圆的半径为____
四、解答题
15．某地一天的时间x(,单位:时)随气温变化的规隼可近似看成正弦函数的图象,如图所示.
（1）根据图中数据,试求表达式.
（2）该地居民老张因身体不适在家休养,医生建议其外出进行活动时,室外气温不低于,根据（1）中模型,老张该日可在哪一时段外出活动,活动时长最长不超过多长时间?
16．为直角三角形,斜边BC上一点D,满足.
（1）若,求;
（2）若,,求BC.
17．已知向量,,设.
（1）,求当取最小值时实数t的值;
（2）若,问:是否存在实数t,使得向量与向量的夹角为?若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
18．如图所示,某镇有一块空地,其中,,.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中M,N都在边AB上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见,需在的周围安装防护网.
（1）当时,求防护网的总长度;
（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小;
（3）为节省投入资金,人工湖的面积要尽可能小,问如何设计施工方案,可使的面积最小?最小面积是多少?
19．如图,A,B是单位圆上的相异两定点(O为圆心,且(为锐角).点C为单位圆上的动点,线段AC交线段OB于点M.
（1）求(结果用表示);
（2）若.
①求的取值范围;
②设,记,求函数的值域.
参考答案
1．答案：B
解析：由,,及余弦定理的推论,得,
因为,
所以.
故选:B.
2．答案：D
解析：由正弦定理知,
所以,
根据三角形成立的条件可知,解得,
故选:D.
3．答案：A
解析：在中,.
因为,所以.
所以.
故选:A
4．答案：A
解析：向量,不共线,且,,,
,则有,而有公共点B,有A,B,D共线,A是;
,不存在实数,使得,因此不共线,A,B,C不共线,B不;
,不存在实数,使得,因此不共线,B,C,D不共线,C不是;
,不存在实数t,使得,因此,不共线,A,C,D不共线,D不是.
故选:A
5．答案：B
解析：因为向量,,
因,
所以,即,
由余弦定理可得.
因为,所以,
故选:B.
6．答案：D
解析：因为,,故,由正弦定理,,故m
故选:D
7．答案：A
解析：因为的一条对称轴为,
所以,,解得,,
又因为,所以,
所以,
因为,,即,,
令,则,则在上有两个实根,
即与在上有两个交点,
又,则大致图象如图,
结合图象可知,即.
故选:A.
8．答案：B
解析：因为O是的外心,M为BC的中点,设AC的中点为D,连接OD,
所以,,设,
则
,
又O是的外心,所以
,
所以.
故选:B
9．答案：ABD
解析：设与的夹角为,
对B,因为,B正确;
对A,,A正确;
对C,,
所以,C错误;
对D,在方向上的投影为,D正确.
故选:ABD
10．答案：ACD
解析：对于A,,,
,,故A正确;
对于B,,,
,,
,故B错误;
对于C,,,,
又,
,故C正确;
对于D,,,
,故D正确.
故选:ACD.
11．答案：BCD
解析：因为,所以,,又,所以,A错;
若,则,三角形有两解,B正确;
若为锐角三角形,则,,所以,,
,,C正确;
若D为BC边上的中点,则,,
又,,
由基本不等式得,,当且仅当时等号成立,
所以,所以,当且仅当时等号成立,D正确.
故选:BCD.
12．答案：
解析：如图所示,建立以点A为原点的平面直角坐标系.
则,,,,
,.
由于就是,的夹角.
.
故答案为:
13．答案：4
解析：设,,以,为一组基底,则,.
点A,P,E与点D,P,C分别共线,
存在实数和,使.
又,
,解得,
,,
.
14．答案：,
解析：因为,
由正弦定理得,
所以,
即,
因为,
所以,
由正弦定理得,
由题意可得
,
当即时三角形ABC的面积最大,最大值为,
所以,又,所以,
又,所以,设外接圆的半径为R,则,
所以;
故答案为:;3.
15．答案：（1）;
（2）老张可在外出活动,活动时长最长不超过8小时;
解析：（1）依题意可得解得,又即,解得,所以,又函数过点,所以,即,所以,,解得,,因为,所以,所以
（2）依题意令,即
所以,
解得,
因为
所以,又
即老张可在外出活动,活动时长最长不超过8小时.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由正弦定理:,
得,
,,,
,.
（2）设,
,,,
从而,
由余弦定理,即,
解得,所以.
17．答案：（1）时
（2）或
解析：（1）当时,,
所以
所以,所以当时
（2）依题意,
若,则,又,,
所以,
又因为,
所以,,
,
则有,且,
整理得,解得或,
所以存在或满足条件.
18．答案：（1）9km
（2）
（3）时,面积取最小值为
解析：（1）中,,,,,
在中,由余弦定理得:,;
,则,,
为正三角形,则的周长为,即防护网的总长度为9km.
（2）设,
,,即,
在中,由得:,
,即,又,
,解得:,即.
（3）设,由（2）知:,
在中,由得:,
,
当且仅当,即时,面积取最小值为.
19．答案：（1）
（2）①;
②
解析：（1）因为,,
所以.
（2）①.
设,又,所以,
则,,,
所以
,
因为,则,
所以,则
故;
②设,
则,
所以,由得,
即,整理得,
所以,
所以.
所以,.
令,,
,,令,
则,
因为,,,
则,即,
所以在上单调递增,则,
所以的取值范围是.