备考2024年中考数学计算能力训练13 锐角三角形

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练13 锐角三角形，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．tan45°的值为（ ）
A．12B．22C．32D．1
2．tan30° 的值等于（ ）
A．33B．32C．1D．3
3．sin45∘+22的值等于（ ）
A．1B．2C．3D．2
4．2sin60°的值等于（ ）
A．12B．22C．32D．3
5．2sin45°的值为（ ）
A．2B．1C．32D．22
6．在△ABC中，若∠B=90°，sinA=12则∠C的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cs260°=1B．sin30°+cs30°=1
C．sin35°=cs55°D．cs45°=sin45°
8．已知α为锐角，且sin(α−10°)=32，则α等于（ ）
A．70°B．60°C．40°D．30°
9． 在△ABC中，∠A、∠B为锐角，满足|tanB−33|+(2sinA−2)2=0，则∠C等于（ ）
A．105°B．75°C．60°D．45°
10．在锐角△ABC中，(tanC−3)2+2−2sinB=0，则∠A=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=53，AB=10，则∠A为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
12．在锐角△ABC中，若（sinA﹣32）2+|12﹣csB|＝0，则∠C等于（ ）
A．60°B．45°C．75°D．105°
二、填空题
13．计算：(3−π)0+2sin30°= ．
14．有下列几个数：−5tan45°，0，2sin45°，5，从这四个数中随机抽取一个数，恰好是一元二次方程x2−25=0的根的概率是 ．
15．2tan⁡45∘−(2−π)0＝ ．
16．在△ABC中，(3tanA−3)2+|2csB−1|=0，则△ABC为 三角形．
17．计算：sin30°⋅tan30°+cs60°⋅tan60°= .
18．在△ABC中，若∠A，∠B满足|csA−32|+(1−tanB)2=0，则∠C= ．
三、计算题
19．计算：(π+2023)0+2sin45°−(12)−1+|2−2|．
20．计算：9−2cs30°−(12)−1+(π−3.14)0+|1−3|
21．计算：(12)−1−(π−2024)0+23⋅cs60°−13+2．
22．计算：3sin45°−(−2024)0+|−2|．
23．计算：2sin45°+20230×tan60°−2cs60°．
24．计算：4⋅sin60°−6÷12+(3+2)2．
25．求 tan260∘+4sin30∘cs45∘ 的值.
26．计算：
（1）sin230°＋2sin60°＋tan45°＋cs230°；
（2）(π−3.14)0+(−12)−1+|3−8|−4cs45°．
27． 计算：
（1）2cs60°+|1-2sin45°|+（12）0．
（2）1−2tan60°+tan260°-tan60°．
四、解答题
28．先化简，再求值：(1−4x+1)÷x2−9x+3，其中x=2sin60°−tan45°．
29．先化简，再求代数式(1−3x+2)÷x2−1x+2的值，其中x=4sin45°−2cs60°.
30．先化简，再求值：aa2+2a+1÷(1−1a+1)，其中a＝tan30°-1．
31．先化简，再求代数式(1x−2−3x2−4)÷1x−2的值，其中x=2cs60°-2tan45°
32．先化简，再求值：a−4a÷(a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)，其中a满足a2−(14)−1⋅a+6cs60°=0．
33．先化简，再求值：xx2−1÷(1−1x+1)，其中x=2sin45°+2tan60°.
34．
（1）根据个人爱好，从sin30°，cs45°和tan60°中任取两个，然后求选取的两个三角函数的平方和；
（2）采用配方法或公式法解一元二次方程x2+4x−5=0．
35．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin(180∘−α)，csα=−cs(180∘−α).
（1）求sin120∘，cs120∘，sin150∘的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，csB是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
36．阅读下列材料，并完成相应的任务.
我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系：
如图(1)所示.sin α=BCAB，cs α=ACAB，
tan α=BCAC.
一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得
sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β；sin(α-β)=sin α
cs β-cs αsin β.
例如：sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cs 30°-cs 45°
sin 30°=6−24.
任务：
（1）计算：sin 75°= ；
（2）如图(2)所示，在△ABC中，∠B=15°，∠C=45°，AC=23-2，求AB和BC的长.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：tan45°=1；
故答案为：D．
【分析】正切等于对边与邻边的比值，等腰直角三角形的两条直角边相等，比值为1。
2．【答案】A
【解析】【解答】解： tan30°=33 .
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：原式=22+22=2.
故答案为：B.
【分析】根据特殊的正弦值代入式子通分化简即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】2sin60°=2×32=3，
故答案为：D.
【分析】根据特殊三角函数的值求得sin60°的值，即可求解.
5．【答案】A
【解析】【解答】2sin45°=2×22=2，
故答案为：A.
【分析】先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵sinA=12
∴∠A=30°
∴∠C=90°-∠A=60°
故答案为：C
【分析】根据特殊角的三角函数值可得∠A，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：sin30°=12，cs30°=32，tan45°=1，sin45°=22，
A、sin260°+cs260°=(32)2+(12)2=1， 正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
B、sin30°+cs30°=12+32=1+32，错误，符合题意；
C、sin35°=cs55° ，正确，符合同角三角函数的关系，不符合题意；
D、cs45°=sin45°=22，正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据特殊角三角函数值可判定A、B、D，根据互余两角三角函数的关系判定C，解答即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】∵ sin(α−10°)=32，
∴α−10°=60°，
∴α=70°，
故答案为：A.
【分析】利用特殊角的三角函数值得到α−10°=60°，解之即可求解.
9．【答案】A
【解析】【解答】∵ |tanB−33|+(2sinA−2)2=0，
∴ tanB−33=0，2sinA−2=0，
∴ tanB=33，sinA=22，
∴∠B=30°，∠A=45°，
∴∠C=180°-30°-45°=105°，
故答案为：A.
【分析】根据绝对值、偶次方的非负性得到tanB−33=0，2sinA−2=0，由特殊角的三角函数值求得∠B=30°，∠A=45°，利用三角形的内角和定理即可求解.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵(tanC−3)2+|2−2sinB|=0，
∴tanC=3，sinB=22，
∴∠C＝60°，∠B＝45°，
∴∠A＝75°．
故答案为：D．
【分析】先利用偶次方和绝对值的非负性，求出tanC=3，sinB=22，然后结合特殊角的三角函数值得出∠C＝60°，∠B＝45°，进而得出答案．
11．【答案】C
【解析】【解答】解：由题可得：Rt△ABC 如图所示：
∵BC=53，AB=10，
∴sinA=BCAB=5310=32，
∴∠A=60°.
故答案为：C.
【分析】根据题意画出Rt△ABC，即可发现BC、AB分别为∠A 的对边和斜边，利用正弦即可求解.
12．【答案】A
【解析】【解答】解：∵(sinA−32)2+|12−csB|=0，
∴sinA−32=0，12−csB=0，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，
故答案为： A；
【分析】依题意sinA−32=0，12−csB=0，由特殊角的三角函数值求得∠A和∠B，再由三角形内角和定理即可求解．
13．【答案】2
【解析】【解答】解：由题意得(3−π)0+2sin30°=1+2×12=2，
故答案为：2
【分析】根据零指数幂结合特殊角的三角函数值进行运算，进而即可求解。
14．【答案】12
【解析】【解答】解：由题意得−5tan45°=−5，2sin45°=2×22=1，
解x2−25=0得x=±5，
∴随机抽取一个数，恰好是一元二次方程x2−25=0的根的概率是24=12，
故答案为：12
【分析】先根据特殊角的三角函数值结合题意计算−5tan45°，2sin45°，进而解一元二次方程，再根据简单事件的概率结合题意即可求解。
15．【答案】1
【解析】【解答】解：原式=2×1-1=1.
故答案为：1.
【分析】利用特殊角三角函数值及零指数幂的性质进行计算即可.
16．【答案】等边
【解析】【解答】解：∵(3tanA−3)2+|2csB−1|=0
∴3tanA−3=02csB−1=0，则tanA=3csB=12
∴∠A=60°∠B=60°
∴∠C=180°−∠A−∠B=60°
∴△ABC为等边三角形
故答案为：等边
【分析】根据偶次幂和绝对值的非负性可得tanA=3csB=12，再根据特殊角的三角函数值可得∠A=60°∠B=60°，再根据三角形内角和定理可得∠C=180°−∠A−∠B=60°，再根据等边三角形的判定定理即可求出答案.
17．【答案】233​​​​​​​
【解析】【解答】解： sin30°⋅tan30°+cs60°⋅tan60°= 12×33+12×3=12×433=233.
故答案为：233.
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可.
18．【答案】105°
【解析】【解答】解：由题意得csA−32=0，1−tanB=0
∴∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=105°，
故答案为：105°
【分析】根据非负性和特殊角的三角函数值即可得到∠A=30°，∠B=45°，进而运用三角形内角和定理即可求解。
19．【答案】解：(π+2023)0+2sin45°−(12)−1+|2−2|
=1+2×22−2+2−2
=1+2−2+2−2
=1．
【解析】【分析】运用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值进行运算，进而即可求解。
20．【答案】解：原式=3-2×32-2+1 +3-1
=1
【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、实数的绝对值进行化简，再进行计算，即可得出答案.
21．【答案】解：(12)−1−(π−2024)0+23⋅cs60°−13+2
=2−1+23⋅12−3−2(3+2)(3−2)
=2−1+3−3+2
=1+2．
【解析】【分析】先化简负整数指数幂、零次幂、代入特殊角三角函数值，分母有理化，再进行计算即可作答．
22．【答案】解：原式=3×22−1+2=522−1
【解析】【分析】根据实数的混合运算结合特殊角的三角函数值即可求解。
23．【答案】解：2sin45°+20230×tan60°−2cs60°
=2×22+1×3−2×12
=1+3−1
=3．
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，0指数幂的性质，结合二次根式的运算即可求出答案.
24．【答案】解：原式=4×32−6×2+9+62+2
=23−23+9+62+2
=11+62．
【解析】【分析】先计算特殊角的三角函数值、二次根式的除法、完全平方公式，再合并同类二次根式即可求解.
25．【答案】解：原式 =(3)2+4×12×22
=3+2 .
【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可.
26．【答案】（1）解：原式＝sin230°＋cs230°＋2sin60°＋tan45°＝1＋2×32＋1＝2＋3
（2）解：原式＝1＋（－2）＋|3−22|−4×22
＝1－2＋3－22−22=2−42
【解析】【分析】（1）利用sin2α+cs2α=1，只需要把sin60°和tan45°代入计算即可.
（2）根据实数的混合运算法则运算即可.其中非零数的零次幂，负整数指数幂，绝对值和特殊角的三角形函数值可以同时计算.
27．【答案】（1）解：原式＝2×12+|1−2×22|+1
＝1+|1−2|+1
＝1+2−1+1
＝2+1.
（2）解：原式＝(1−tan60°)2−tan60°
＝(1−3)2−3
＝3−1−3
＝-1．
【解析】【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，再进行实数的混合运算即可，注意绝对值的非负性；
（2）先利用完全平方公式，再代入特殊角的三角函数值，然后进行开方运算，最后进行减法运算.
28．【答案】解：原式=(x+1x+1−4x+1)÷x2−9x+3
=(x+1x+1−4x+1)⋅x+3x2−9
=x−3x+1⋅x+3(x+3)（x−3）
=1x+1
∵x=2sin60°−tan45°
=2×32−1=3−1
∴原式=1x+1=13−1+1=33
【解析】【分析】根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，根据特殊锐角三角函数值，将x的值化简后代入化简后的分式计算可求解.
29．【答案】解：原式=(x+2x+2−3x+2)÷(x+1)(x−1)x+2，
=x−1x+2⋅x+2(x+1)(x−1)，
=1x+1，
∵x=4×22−2×12=22−1，
∴原式=122−1+1=122=24.
【解析】【分析】先将分式进行化简，再将x的值计算出后代入，即可求得.
30．【答案】解：aa2+2a+1÷(1−1a+1)
＝a(a+1)2÷a+1−1a+1
＝a(a+1)2•a+1a
＝1a+1，
当a＝tan30°-1＝33-1时，原式＝133−1+1＝3．
【解析】【分析】分式化简求值，涉及分式通分、乘除、因式分解.通分、因式分解得最简式子，最后化a的最简值代入即可.
31．【答案】解：原式=(x+2(x−2)(x+2)−3(x−2)(x+2))×(x−2)
=x−1(x−2)(x+2)×(x−2)
=x−1x+2
∵x=2cs60°−2tan45°=2×12−2×1=−1
∴原式=x−1x+2=−1−1−1+2=−2
【解析】【分析】先根据平方差公式将x2−4因式分解，再通分化简，将x的值代入式中化简求值即可.
32．【答案】解：a−4a÷(a+2a2−2a−a−1a2−4a+4)
=a−4a÷[(a+2)(a−2)a(a−2)2−a(a−1)a(a−2)2]
=a−4a÷(a+2)(a−2)−a(a−1)a(a−2)2
=a−4a×a(a−2)2a2−4−a2+a
=(a−2)2
=a2−4a+4；
∵a2−(14)−1⋅a+6cs60°=0，
即a2−4a+3=0，
∴原式=a2−4a+3+1=0+1=1．
【解析】【分析】运用分式的混合运算进行化简，进而运用负整数指数幂、特殊三角函数值进行运算即可得到a2−4a+3=0，再代入即可求解。
33．【答案】解： xx2−1÷(1−1x+1)
=x(x+1)(x−1)÷x+1−1x+1
=x(x+1)(x−1)⋅x+1x
=1x−1，
当x=2sin45°+2tan60°=2×22+2×3=1+23时，
1x−1=11+23−1=123=36，
原式=36.
【解析】【分析】对第一个分式的分母进行分解，对括号中的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
34．【答案】（1）解：若选取sin30°和cs45°，
∴sin230°+cs245°=(12)2+(22)2=14+12=34；
若选取tan60°和cs45°，
∴tan260°+cs245°=(3)2+(22)2=3+12=72；
若选取sin30°和tan60°，
∴sin230°+tan260°=(12)2+(3)2=14+3=134；
（2）解：配方法：x2+4x−5=0，
x2+4x=5，
x2+4x+4=5+4，
(x+2)2=9，
x+2=±3，
解得：x1=1，x2=−5；
公式法：x2+4x−5=0，
∵Δ=42−4×1×(−5)=16+20=36，
∴x=−4±362=−2±3，
∴x1=1，x2=−5．
【解析】【分析】（1）熟记 sin30°=12，cs45°=22和tan60°=3 ，再任意选取两个计算三角函数的平方和即可.
（2）根据配方法解一元二次方程的一般步骤或公式法求解方程即可.
35．【答案】（1）解：由题意得sin120∘=sin(180∘−120∘)=sin60∘=32，
cs120∘=−cs(180∘−120∘)=−cs60∘=−12，
sin150∘=sin(180∘−150∘)=sin30∘=12；
（2）解：∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30∘，30∘，120∘．
①当∠A=30∘，∠B=120∘时，方程的两根为x1=12，x2=−12．
将x=12代入方程，得4×(12)2−m×12−1=0，解得m=0，
∴方程为4x2−1=0．
经检验，x=−12是方程4x2−1=0的根，
∴m=0满足题意．
②当∠A=120∘，∠B=30∘时，方程的两根为x1=x2=32，不满足题意．
③当∠A=30∘，∠B=30∘时，方程的两根为x1=12，x2=32．
将x=12代入方程，得4×(12)2−m×12−1=0，解得m=0，
∴方程为4x2−1=0．
经检验，x=32不是方程4x2−1=0的根，
∴此种情况不满足题意．
综上所述，m=0，∠A=30∘，∠B=120∘．
【解析】【分析】（1）根据钝角三角形函数值定义，将其中的钝角转化为相应的锐角，再按特殊锐角三角函数值进一步化简即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出三角形三个内角的度数分别为30°，30°，120°；然后分三种情况：①当∠A=30°，∠B=120°，②当∠A=120°，∠B=30°，③当∠A=30°，∠B=30°，三种情况，分别求出sinA及sinB的值，进而根据方程根的定义及题意分别代入方程求出m的值即可.
36．【答案】（1）6+24
（2）解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，在BC上找点E，使BE=AE，
∵∠C=45°，AC=23-2，∴∠DAC=45°.
∴AD=CD，sin C=ADAC，即22=AD23−2.
∴AD=6-2.
∵∠B=15°，sin B=ADAB，即6−24=6−2AB，
∴AB=4.
∵BE=AE，∴∠B=∠EAB=15°.
∴∠AED=30°.
∴AE=2AD=26-22.
tan∠AED=ADED，即33=6−2ED，
∴ED=32-6.
∴CB=BE+DE+DC=26-22+32-6+6-2=26.
【解析】【解答】解：根据题意可得sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cs30°+sin30°cs45°=22×32+12×22=6+24，
故答案为： 6+24 .
【分析】（1）根据 sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β 代入数据计算即可求解；
（2） 过点A作AD⊥BC于点D，在BC上找点E，使BE=AE， 根据已知条件利用三角函数求得 AD、AB的值，结合BE=AE，求得∠AED=30°，进而得到AE=2AD，利用 ∠AED 的正切求得ED的值，根据CB=BE+DE+DC代入数据计算即可求解.