备考2024年中考数学计算能力训练3 整式的运算

这是一份备考2024年中考数学计算能力训练3 整式的运算，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．计算(−x2)3的结果是（ ）
A．−x6B．x6C．−x5D．−x8
2．下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x＝x7B．(−3x2)2=−9x4
C．x3•x3＝2x6D．（x3）2＝x6
3．下列计算正确的是（ ）
A．3x+3y=6xyB．a2•a3=a6C．b6÷b3=b2D．（m2）3=m6
4．下列计算正确的是（ ）
A．3a3⋅2a3=6a3B．(−4a3b)2=8a6b2
C．(a+b)2=a2+b2D．−2a2+3a2=a2
5．下列运算正确的是（ ）
A．(x−1)(x+1)=x2−x−1B．x2−2x+3=(x−1)2+4
C．(x−1)2=x2−2x−1D．(x−1)(−1−x)=1−x2
6．观察一列单项式：x，−3x3，7x5，−15x7，31x9，⋯．则第n个单项式是（ ）
A．(−1)n+1(2n−1)x2n−1B．(−1)n(2n−1)x2n+1
C．(−1)n+1(2n−1)x2n−1D．(−1)n(2n+1)x2n−1
7． 若k为任意整数，则(2k+3)2−4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
8．已知10a=25,100b=40，则a+2b的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9． 对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除C．总能被6整除D．总能被7整除
10．若2a-3b=-1，则代数式 4a2−12ab+9b2的值为（ ）
A．-1B．1C．2D．3
11．已知关于x的两个多项式A=x2−ax−2，B=x2−2x−3．其中a为常数，下列说法：
①若A−B的值始终与x无关，则a=−2；
②关于x的方程A+B=0始终有两个不相等的实数根；
③若A⋅B的结果不含x2的项，则a=52；
④当a=1时，若AB的值为整数，则x的整数值只有2个．
以上结论正确的个数有（ ）
A．4B．3C．2D．1
12．对于若干个单项式，我们先将任意两个单项式作差，再将这些差的绝对值进行求和并化简，这样的运算称为对这若干个单项式作“差绝对值运算”． 例如：对2，3，4作“差绝对值运算”，得到|2−3|+|2−4|+|3−4|=4，则
①对1，3，4，7作“差绝对值运算”的结果是19；②对x2，x，−3(x2>x>−3)进行“差绝对值运算”的结果是38，则x=±4；③对a，b，c（互不相等）进行“差绝对值运算”的结果一共有7种．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
13．已知3x+y=-3， xy=-6，则 xy3+9x3y= .
14．若实数m满足(m−2023)2+(2024−m)2=2025，则(m−2023)(2024−m)= ．
15． 已知 m+n+2m+n=4，则 m+n2+2m+n2的值为 .
16．小明在化简：(4x2−6x+7)−(4x2−□x+2)时发现系数“□”印刷不清楚，老师提示他：“此题的化简结果是常数”，则多项式中的“□”表示的数是 .
17．如果一个三位自然数m=abc的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足a+c=b，那么称这个三位数为“中庸数”．将“中庸数”m=abc的百位、个位数字交换位置，得到另一个“中庸数”m'=cba，记F(m)=m−m'99，T(m)=m+m'121．例如：m=792，m'=297．F(m)=792−29799=5，T(m)=792+297121=9．计算F(583)= ；若“中庸数”m满足2F(m)=s2，2T(m)=t2，其中s，t为自然数1，2，3……，则该“中庸数”m是 ．
18．一个四位自然数M，若它的千位数字与十位数字的差为3，百位数字与个位数字的差为2，则称M为“接二连三数”，则最大的“接二连三数”为 ；已知“接二连三数”M能被9整除，将其千位数字与百位数字之和记为P，十位数字与个位数字之差记为Q，当PQ为整数时，满足条件的M的最小值为 ．
三、计算题
19．计算：
（1）x(1−x)；
（2）(a−1)(2a+3)−2a(a−4)；
（3）x2x−1−x−1．
20．计算：
（1）(−2xy2)2⋅3x2y．
（2）(−2a2)(3ab2−5ab3)．
（3）(3m2n)2⋅(−2m2)3÷(−m2n)2．
（4）(a−2b−3c)(a−2b+3c)．
21．（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝−12.．
22．−12(xy−x2)+3(y2−12x2)+2(14xy−12y2)，其中x=−2，y=12．
23．先化简，再求值：[(x+2y)2−(x+2y)(x−2y)]÷4y，其中x=1，y=−1．
四、解答题
24．观察下面的等式：32−12=8×1，52−32=8×2，72−52=8×3，92−72=8×4，⋯
（1）写出192−172的结果．
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
25．尝试：①152=225=1×2×100+25.
②252=625=2×3×100+25.
③352=1225=_▲_
...
运用：小滨给出了猜想和证明，请判断是否正确，若有错误请给出正确解答.
猜想：(10a+5)2=100a(a+1)+25.
证明：(10a+5)2=100a(a+1)+25，
所以10a2+100a+5=100a2+100a+25.
所以10a2=100a2.
因为a≠0，
所以10a2≠100a2.
所以等式不成立，结论错误.
26．已知实数a、b满足（2a2+b2+1）（2a2+b2-1）＝80，试求2a2+b2的值．解：设2a2+b2＝m，则原方程可化为（m+1）（m-1）＝80，即m2＝81，解得：m＝±9，∵2a2+b2≥0，∴2a2+b2＝9，上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）已知实数x、y满足（2x2+2y2-1）（x2+y2）＝3，求3x2+3y2-2的值；
（2）若四个连续正整数的积为120，求这四个正整数．
27．阅读下列材料：
我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方公式，如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值．
例如：求代数式x2+2x-3的最小值．
解：x2+2x-3＝x2+2x+12-12-3＝（x2+2x+12）-4＝（x+1）2-4．
∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2-4≥-4，
∴当x＝-1时，x2+2x-3的最小值为-4．
再例如：求代数式-x2+4x-1的最大值．
解：-x2+4x-1＝-（x2-4x+1）＝-（x2-4x+22-22+1）
＝-[（x2-4x+22）-3]＝-（x-2）2+3
∵（x-2）2≥0，∴-（x-2）2≤0，∴-（x-2）2+3≤3．
∴当x＝2时，-x2+4x-1的最大值为3．
（1）【直接应用】代数式x2+4x+3的最小值为 ；
（2）【类比应用】若M＝a2+b2-2a+4b+2023，试求M的最小值；
（3）【知识迁移】如图，学校打算用长20m的篱笆围一个长方形菜地，菜地的一面靠墙（墙足够长），求围成的菜地的最大面积．
28．在学习《完全平方公式》时，某数学学习小组发现：已知a+b＝5，ab＝3，可以在不求a、b的值的情况下，求出a2+b2的值．具体做法如下：
a2+b2＝a2+b2+2ab-2ab＝（a+b）2-2ab＝52-2×3＝19．
（1）若a+b＝7，ab＝6，则a2+b2＝ ；
（2）若m满足（8-m）（m-3）＝3，求（8-m）2+（m-3）2的值，同样可以应用上述方法解决问题．具体操作如下：
解：设8-m＝a，8-m＝a，m-3＝b，
则a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，a+b＝（8-m）+（m-3）＝5，ab＝（8-m）（m-3）＝3，
所以（8-m）2+（m-3）2＝a2+b2＝（a+b）2-2ab＝52-2×3＝19．
请参照上述方法解决下列问题：若（3x-2）（10-3x）＝6，求（3x-2）2+（10-3x）2的值；
29． 利用完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2和a2−2ab+b=2(a−b)2的特点可以解决很多数学问题.下面给出两个例子：
例1、分解因式：x2+2x−3
x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)
例2、求代数式2x2−4x−6的最小值：
2x2−4x−6=2(x2−2x)−6=2(x2−2x+1−1)−6=2[(x−1)2−1]−6=2(x−1)2−8
又∵2(x−1)2≥0
∴当x=1时，代数式2x2−4x−6有最小值，最小值是−8．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：m2−8m+12；
（2）代数式−x2+4x−2有最 (大、小)值，当x= 时，最值是 ；
（3）当x、y为何值时，多项式2x2+y2−8x+6y+25有最小值？并求出这个最小值．
30．发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数．如：132−32=160，160是20的8倍；262−62=640，640是20的32倍．
（1）请你仿照上面的例子，再举出一个例子：(⋅⋅⋅⋅)2−(⋅⋅⋅⋅⋅)2=(⋅⋅⋅⋅⋅)；
（2）十位数字为1，个位数字为a的两位数可表示为 ，若该两位数的平方与a的平方的差是20的5倍，则a= ；
（3）设一个两位数的十位数字为m，个位数字为n（0x>−3)进行“差绝对值运算”得到：
|x2−x|+|x2−(−3)|+|x−(−3)|=38，
∴x2−x+x2+3+x+3=38，
解得x=−4(舍去)或x=4，故②错误；
③对a，b，c(互不相等)进行“差绝对值运算”得到：|a−b|+|a−c|+|b−c|，
当a>b>c时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c+b−c=2a−2c；
当a>c>b时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b+a−c−b+c=2a−2b；
当b>a>c时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b+a−c+b−c=2b−2c；
当b>c>a时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c+b−c=−2a+2b；
当c>a>b时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=a−b−a+c−b+c=−2b+2c；
当c>b>a时，
|a−b|+|a−c|+|b−c|=−a+b−a+c−b+c=−2a+2c；
综上，a，b，c的“差绝对值运算”的化简结果一共有6种，故③错误；
∴正确的个数为1个，
故答案为：B．
【分析】根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出对应式子计算即可判断①，根据新定义及绝对值的性质并结合选项条件列出一元二次方程求解即可判断②，根据分类讨论的思想，分出所有a，b，c大小比较的情况并根据新定义求出所有对应的结果，据此即可求解。
13．【答案】-270
【解析】【解答】解：∵3x+y=-3， xy=-6，
∴（3x+y）2=9
∴y2+9x2+6xy=9
∴y2+9x2=9-6×（-6）=45，
∴原式=xy（y2+9x2）=-6×45=-270.
故答案为：-270.
【分析】利用已知3x+y=-3，两边平方可求出y2+9x2的值，利用因式分解法将代数式转化为xy（y2+9x2），然后整体代入求值.
14．【答案】−1012
【解析】【解答】解：∵[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，
∴1=2025+2(m-2023)·(2024-m)，
∴2(m-2023)·(2024-m)=-2024，
∴(m-2023)·(2024-m)=-1012.
故答案为：-1012.
【分析】根据完全平方公式可得[(m-2023)+(2024-m)]2=(m-2023)2+(2024-m)2+2(m-2023)·(2024-m)，然后代入计算即可.
15．【答案】12
【解析】【解答】解：∵m+n+2m+n=4，
∴m+n+2m+n2=16
∴m+n2+2m+n2+4=16，
∴m+n2+2m+n2=12.
故答案为：12.
【分析】将m+n+2m+n=4的两边同时平方，可求出m+n2+2m+n2的值.
16．【答案】6
【解析】【解答】解：设“口”表示的数为a，
(4x2−6x+7)−(4x2−ax+2)
=4x2−6x+7−4x2+ax−2
=(a−6)x+5，
∵此题的化简结果是常数，
∴a−6=0，
∴a=6，
故答案为：6
【分析】设“口”表示的数为a，根据整式的加减混合运算结合题意即可求解。
17．【答案】2；121或484或583
【解析】【解答】解：由题意得：F(583)=583−38599=2，
因为2F(m)=s2，2T(m)=t2，
∴2F(m)=100a+10b+c−(100c+10b+a)99×2=99a−99c99×2=2(a−c)，
2T(m)=2×100a+10(a+c)+c+100c+10(a+c)+a121=2×121a+121c121=2(a+c)均为完全平方数，
即2(a−c)，2(a+c)为完全平方数，且为偶数，可能为4、16、36、64、100等，
则(a−c)，(a+c)可能为0、2、8、18、50等，
因为0