山东省烟台重点中学2024届高考诊断性测试数学模拟试题（二）（含答案）

这是一份山东省烟台重点中学2024届高考诊断性测试数学模拟试题（二）（含答案），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合A＝{x∣x2－3x＜0}，B＝{x∣x≥1}，则图中阴影部分表示的集合为( )．
A．{x∣x＞0}
B．{x∣0＜x≤1}
第1题
C．{x∣1≤x ＜3}
D．{x∣0＜x＜1或x≥3}
2．已知复数z＝1＋i，则＝( )．
A．2iB．－2iC．2D．－2
3．一个圆锥的侧面展开图的圆心角为90°，它的表面积为a，则它的底面积为( )．
A．B．C．D．
4．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤∣f()∣对xR恒成立，且f()＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )．
A．[π－，π＋](Z)
B．[π，π＋](Z)
C．[π＋，π＋](Z)
D．[π－，π](Z)
5．椭圆的左焦点为F，直线x＝t与椭圆相交于A，B两点，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积为( )．
A．B．C．D．3
6．已知函数f(x)＝2sin(x－)，x∈R．设α，β [0，]，f(3α＋)＝，f(3β＋2π)＝，则cs(α＋β)的值为( )．
A．B．C．D．
7．已知f(x)＝alnx＋x2，若方程f(x)＝(a＋1)x恰有两个不同的解，则实数a的取值范围是( )．
A．(，0)B．(－1，0)C．(0，1)D．(1，＋∞)
8．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的种数为( )．
A．60B．72C．84D．96
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，不一定符合该标志的是( )．
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
10．已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且，，与交于点，则下列结论正确的是( )．
A．B．
C．D．在方向上的投影为
11．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )．
A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0
B．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0
C．公共弦AB的长为
D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
12．已知函数f(x)＝ex·x3，则以下结论正确的是( )．
A．f(x)在R上单调递增
B．f(lg5 2)＜＜f(ln π)
C．方程f(x)＝－1有实数解
D．存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题后的横线上．
13．如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，若|BC|＝1，则的值为__________．
14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作直线AB交抛物线于A，B两点，O为原点，则＝__________．
15．点O是平面α上一定点，A，B，C是平面α上△ABC的三个顶点，∠B，∠C分别是边AC，AB的对角．有以下五个命题：
①动点P满足＝＋＋，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的垂心一定在满足条件的P点集合中．
⑤动点P满足＝＋λ(＋)(λ＞0)，则△ABC的外心一定在满足条件的P点集合中．
其中所有正确命题的编号是________．
16．已知数列{an}，若an＝－n2＋n＋4，且对于任意n∈N*，都有an＋1＜an，则实数的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cs A＋sin A＝0，a＝，b＝．
(1)求c；
(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
18．(12分)数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an+1＝2Sn(nN*)．
(1)求数列{an}的通项an；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn．
19．(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD，点E，F分别为BC，AP的中点．
(第19题)
(1)求证：EF∥平面PCD；
(2)若AD＝AP＝PB＝AB＝1，求三棱锥P-DEF的体积．
20．(12分)某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阴性．现有n()份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：(1)逐份检验，则需要检验n次；(2)混合检验，将其中(，≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，则这份血液全为阴性，因而这份血液只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为＋1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0＜p＜1)．
(1)假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中 (，k≥2)份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为．
①若＝，试运用概率统计的知识， 求p关于的函数关系式p＝f()；
②若p＝1－，采用混合检验的方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 4≈1.386 3，ln 5≈1.609 4，ln 6≈1.791 8．
21．(12分)如图，已知椭圆(a＞b＞0)的长轴AB长为4．梯形ABCD的两顶点C，D在椭圆上(点C在第一象限)，且|CD|＝2，∠ABC＝30°．
(1)求椭圆的方程；
(2)点P是线段CD上的点，过点B作与PB垂直的直线交椭圆于点Q．若△PBQ的面积为，求直线BQ的斜率．
22．(12分)设函数f(x)＝ex－ax＋3(aR)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间[1，2]上的最小值是4，求a的值．
2024年高考诊断性测试
数学模拟试题（二）参考答案及评分标准
一、选择题
1．C． 2．A． 3．A．
4．C．提示：因为f(x)≤∣f()∣对x R恒成立，所以∣f()∣＝1．x＝是一条对称轴．
因为T＝π，f()＞f(π)＝f(0)，而(0，)，所以x＝时函数取得最小值．
于是[π＋，π＋](Z)是f(x)的单调递增区间．
5．A． 6．B． 7．A．
8．C．提示：解法1：若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母不相邻，先在其父母中选1人与小明相邻，有种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中有种情况，此时有＝48种不同的坐法；若小明的父母中只有1人与小明相邻且父母相邻，即将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序有2种情况，则这个整体内部有2×2＝4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有4×＝24种不同的坐法；若小明的父母与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有2×＝12种不同的坐法．
综上，一共有48＋24＋12＝84种不同的坐法．
二、选择题
9．ABC．
10．BCD．提示：由题E为AB中点，则．
如图，以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，
所以．
设，
∥，所以，解得，
即O是CE中点，，所以选项B正确．
，所以选项C正确．
因为，，所以选项A错误．
，，在方向上的投影为，
所以选项D正确．故选BCD．
11．ABD．解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确．
对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1，0)，AB＝1则线段AB中垂线斜率为－1，即线段AB中垂线方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确．
对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，所以，故C不正确．
对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到x－y＝0的距离为，半径r＝1，
即P到直线AB距离的最大值为，故D正确．
故选ABD．
12．BCD．提示：f(x)＝ex·x3，则f '(x)＝ex·x3＋ex·3x2＝x2ex(x＋3)，
故函数在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，A错误；
0＜lg52＜，＜＜1，ln π＞1，根据单调性知f(lg52)＜＜f(ln π)，B正确；
f(0)＝0，f(－3)＝－＜－1，故方程f(x)＝－1有实数解，C正确；
f(x)＝x，易知当x＝0时成立，当x≠0时，＝＝exx2，设g(x)＝exx2，
则g '(x)＝exx(x＋2)，故函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－2，－0)内单调递减，在(－∞，－2)上单调递增，且g(－2)＝．
画出函数图象如图所示，当0＜＜时有3个交点．
综上所述：存在实数，使得方程f(x)＝x有4个实数解，D正确．故选BCD．
三、填空题
13．． 14．．
15．②③．提示：①当动点P满足＝＋＋＝＋时，则点P是△ABC的重心，所以①不正确；②显然＋在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，所以△ABC的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；③变形为＝λ(＋)，而sinB，sinC表示点A到BC边的距离，设为AD，所以＝(＋)，而＋表示BC边的中线向量，所以表示 BC边的中线向量，因此△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；④当∠A＝90°时，△ABC的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；⑤当BC的中点即为△ABC的外心时，公式显然不成立，所以⑤不正确．
16．＜3．
四、解答题
17．解：(1)由已知可得tan A＝－，所以A＝．（2分）
在△ABC中，由余弦定理得28＝12＋c2－ccs，（3分）即c2＋6c－16＝0，（4分）
解得c＝－8(舍去)，c＝2．（5分）
(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝．（6分）
故＝＝2．（8分）又S△ABC＝×2×sin＝，（9分）
所以S△ABD＝．（10分）
18．解：(1)因为an＋1＝2Sn，所以Sn+1－Sn＝2Sn，即＝3(显然Sn＞0)．（1分）
又因为S1＝a1＝1，因此，数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，（2分）
从而Sn＝3n-1(nN*)．（3分）
当n≥2时，an＝2Sn-1＝2·3n-2(n≥2)，（4分）故an＝（5分）
(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，（6分）
当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n-2，①（7分）
3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n-1， ②（8分）
(第19题)
①－②得：－2Tn＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n-2)－2n·3n-1＝2＋2·－2n·3n-1＝－1＋(1－2n)·3n-1．（10分）
得Tn＝＋(n－)3n-1 (n≥2)(T1＝a1＝1也满足上式)，（11分）
所以Tn＝＋(n－)3n-1(nN*)．（12分）
19．解：(1)如图，取PD中点G，连接GF，GC．
在△PAD中，∵ G，F分别为PD，AP中点，∴GF∥AD，且GF＝AD．（1分）
在矩形ABCD中，∵E为BC中点，∴CE∥AD，且CE＝AD，∴GF∥EC，且GF＝EC．（2分）
∴四边形GCEF是平行四边形，∴GC∥EF．（3分）
∵GC平面PCD，EF平面PCD，∴EF∥平面PCD．（4分）
(2)∵ 四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，AD∥BC．（5分）
∵ 平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCD＝AB，AD平面PAB，AD⊥平面PAB，（6分）∴ 平面PAD⊥平面PAB，BC∥平面PAD．（7分）
∵AD＝AP＝PB＝AB＝1，∴AB＝，∴AP2＋PB2＝AB2，（8分）
∴AP⊥BP，∴BP⊥平面PAD．（9分）
∵BC∥平面PAD，∴点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离．（10分）
而S△PDF＝×PF×AD＝，∴VP-DEF＝S△PDF·BP＝××1＝．（12分）
20．解：(1)设恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，
则P(A)＝ ＝．（1分）
故恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为． （2分）
(2)①由已知得E＝，的所有可能取值为1，＋1，
P(＝1)＝，P(＝＋1)＝，（3分）
所以E＝＋(＋1)[1－]＝．（4分）
若E＝ E，则＝p＝1－，（5分）
所以p关于的函数关系式p＝f()＝1－(，≥2)．（6分）
②由题意可得E＞E，得＜＝ln＞．（7分）
设f(x)＝ ln x－x(x＞0)，则f'(x)＝－．（8分）
当x∈(0，3)时，f'(x)＞0，则f(x)单调递增；（9分）
当x∈(3，＋∞)时，f'(x)＜0，则f(x)单调递减；（10分）
又ln 4≈1.386 3，≈1.333 3，所以ln 4＞．因为ln 5≈1.609 4，≈1.666 7，（11分）
所以ln 5＜．故的最大值为4．（12分）
21．(1)由题意，得a＝2．点C的坐标为，（1分）代入，得，解得．（2分）所以椭圆的方程为．（3分）
(2)设直线BQ的斜率为，则直线BQ的方程为y＝(x－2)．
由PB⊥BQ，得直线PB的方程为(x－2)．（4分）
联立方程组消去y，得(1＋92)x2－362x＋362－4＝0．（5分）设点B，Q的横坐标分别为，，则，所以．（6分）所以．（7分）
由得，所以．（8分）所以，解得．（9分）
由题意得直线BC的斜率为，直线BD的斜率为．（10分）所以，得．．（11分）
所以直线BQ的斜率为．（12分）
22．解：(1)f '(x)＝ex－a，（1分）当a≤0时，f '(x)＞0，f(x)在R上单调递增；（2分）
当a＞0时，f '(x)＞0解得x＞lna，由f '(x)＜0解得x＜lna．（3分）
综上所述：当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增；
当a＞0时，函数f(x)在(lna，＋∞)上单调递增，在(－∞，lna)上单调递减．（4分）
(2)由(1)知，当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，
所以函数f(x)在[1，2]上的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，矛盾．（5分）
当a＞0时，x＝lna是函数f(x)在R上的极小值点．（6分）
①当lna≤1即0＜a＜e时，函数f(x)在[1，2]上单调递增，
则函数f(x)的最小值为f(1)＝e－a＋3＝4，即a＝e－1＞0，符合条件．（7分）
②当lna≥2即a≥e2时，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
则函数f(x)的最小值为f(2)＝e2－2a＋3＝4即a＝＜e2，矛盾．（8分）
③当1＜lna＜2即e＜lna＜e2时，函数f(x)在[1，lna]上单调递减，函数f(x)在[lna，2]上单调递增，则函数f(x)的最小值为f(lna)＝elna－alna＋3＝4，即a－alna－1＝0．（9分）
令h(a)＝a－alna－1(e＜a＜e2)，则h'(a)＝－lna＜0，（10分）
所以h(a)在(e，e2)上单调递减，而h(e)＝－1，所以h(a)在(e，e2)上没有零点，
即当e＜a＜e2时，a－alna－1＝0无解．（11分）
综上，实数a的值为e－1．（12分）