208.2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（文科）（二）

这是一份208.2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（文科）（二），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（文科）（二）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合，，，且有4个子集，则实数的取值范围是　　
A． B．，，
C． D．，，
2．（5分）已知实数，满足为虚数单位），记，则是　　
A． B． C．5 D．25
3．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
5．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，为中点，则的值是　　
A．10 B． C．20 D．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为　　

A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
8．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的值是　　

A．4 B．5 C．6 D．7
9．（5分）若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
10．（5分）若，则　　
A．1 B． C． D．
11．（5分）已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
12．（5分）设函数满足，（2），则，时，　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为　　．
14．（5分）在三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积是　 　．
15．（5分）定义在上的奇函数满足，且在，上是增函数，则，，的大小关系是　 　．
16．（5分）过动点作圆：的切线，其中为切点，若为坐标原点），则的最小值是　　．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知各项都为正数的数列满足，，数列满足，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和为．
18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．
等级
不合格
合格
得分
，
，
，
，
频数
6

24

（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取5人进行座谈．现再从这5人中任选2人，求这两人都合格的概率．

19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，，
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求与面成角的正弦值．

20．（12分）已知抛物线，设、是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）
（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）过点作的垂线与抛物线交于、两点，求四边形面积的最小值．
21．（12分）设函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，直线，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，若直线与轴正半轴交于点，与曲线交于、两点，其中点在第一象限．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及点对应的参数（用表示）；
（Ⅱ）设曲线的左焦点为，若，求直线的倾斜角的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数的定义域为．
（Ⅰ）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．

2017年黑龙江省大庆实验中学高考考前数学模拟试卷（文科）（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合，，，且有4个子集，则实数的取值范围是　　
A． B．，，
C． D．，，
【考点】：交集及其运算
【专题】：集合
【分析】求出中不等式的解集确定出，根据与交集有4个子集，得到与交集有2个元素，确定出的范围即可．
【解答】解：由中不等式变形得：，
解得：，即，
，，且有4个子集，即有两个元素，
的范围为，，．
故选：．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知实数，满足为虚数单位），记，则是　　
A． B． C．5 D．25
【考点】：复数的运算
【专题】34：方程思想；：转化法；：数系的扩充和复数
【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．
【解答】解：实数，满足为虚数单位），
，可得，，
解得，．
，
则．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（5分）设，是非零向量，则“，共线”是“”的　　
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件
【专题】35：转化思想；：转化法；：简易逻辑
【分析】根据向量共线的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若，共线，则，但时，满足“”，当时，“”，则充分性不成立，
反之若“”，平方得“”，
即，，则，，则，，即，共线，即必要性成立，
则“，共线”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量共线的等价条件是解决本题的关键．
4．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
【考点】：幂函数的图象
【分析】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来．
【解答】解：在时是增函数

又在时是减函数，所以
故选：．
【点评】本题主要考查幂函数与指数的关系．要充分利用函数图象、函数的单调性来解决问题．
5．（5分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，为中点，则的值是　　
A．10 B． C．20 D．
【考点】：平面向量数量积的性质及其运算
【专题】38：对应思想；：定义法；：平面向量及应用
【分析】根据平面向量的坐标表示与运算性质，求出向量、，计算．
【解答】解：平面直角坐标系中，为坐标原点，，，
；
又为的中点，
，；
．
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与运算性质的应用问题，是基础题．
6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知1丈为10尺，该锲体的三视图如图所示，则该锲体的体积为　　

A．10000立方尺 B．11000立方尺 C．12000立方尺 D．13000立方尺
【考点】：由三视图求面积、体积
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；：空间位置关系与距离
【分析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，利用所给数据，即可求出体积
【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：

沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积，四棱锥的体积，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
立方丈立方尺．
故选：．
【点评】本题考查几何体体积的计算，正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是关键．
7．（5分）函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【考点】：函数的图象与图象的变换
【专题】51：函数的性质及应用
【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．
【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除，两个选项；
又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在轴下方，
当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在轴上方，故可排除，选项符合，
故选：．
【点评】本题考查由函数的性质确定函数图象，其研究规律一般是先研究单调性与奇偶性，再研究某些特殊值．
8．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行输出的值是　　

A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】：循环结构
【专题】11：计算题
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算，值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
是否继续循环
循环前 100
第一圈 1 是
第二圈 2 是

第六圈 6 是
则输出的结果为7．
故选：．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
9．（5分）若直线上存在点满足约束条件，则实数的取值范围是　　
A． B．， C． D．，
【考点】：简单线性规划
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；：不等式
【分析】要使直线上存在点满足约束条件，画出可行域，求出与的交点坐标，然后求解即可．
【解答】解：由题意，约束条件，的可行域如图，
由，可求得交点坐标为．
要使直线上存在点满足，
如图所示．可得．
则实数的取值范围
故选：．

【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于中档题．
10．（5分）若，则　　
A．1 B． C． D．
【考点】：三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】11：计算题；29：规律型；56：三角函数的求值
【分析】利用两角和与差的三角函数以及诱导公式化简所求的表达式，代入求解即可．
【解答】解：，则．
故选：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力．
11．（5分）已知椭圆与圆，若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是　　
A． B． C．， D．，
【考点】：椭圆的性质
【专题】11：计算题；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】作出简图，则，则．
【解答】解：由题意，如图
若在椭圆上不存在点，使得由点所作的圆的两条切线互相垂直，
由，
即，
即，
则，
故选：．

【点评】本题考查了椭圆的基本性质应用，属于基础题．
12．（5分）设函数满足，（2），则，时，　　
A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值
【考点】：利用导数研究函数的单调性
【专题】11：计算题；49：综合法；53：导数的综合应用
【分析】推出的表达式，当时，（2），构造辅助函数，求导，由在，恒成立，则在处取最小值，即可求得在，单调递增，即可求得的最小值．
【解答】解：由，
当时，
故此等式可化为：，且当时，（2），
（2），
令，（2），
求导，
当，时，，
则在，上单调递增，
的最小值为（2），
则恒成立，
的最小值（2），
故选：．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查构造法求函数的单调性及最值，考查计算能力，属于中档题．
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为　　．
【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积
【专题】：空间位置关系与距离
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出，进而求出底面上的高，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面，
延长交球于点，则平面．
，
，
高，
是边长为1的正三角形，
，
．
故答案为．

【点评】利用截面圆的性质求出是解题的关键．
14．（5分）在三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的面积是　2　．
【考点】：正弦定理；：余弦定理
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形
【分析】由正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式解得，进而根据三角形面积公式即可计算得解．
【解答】解：，
，可得：，
，可得：，
由余弦定理，可得：，整理可得：，
，解得，
．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
15．（5分）定义在上的奇函数满足，且在，上是增函数，则，，的大小关系是　　．
【考点】：奇偶性与单调性的综合
【专题】11：计算题；35：转化思想；51：函数的性质及应用
【分析】根据题意，分析可得，又由函数在，上是增函数，结合函数的奇偶性可得在，上也是增函数，则有，即可得答案．
【解答】解：根据题意，对于函数，有，即，
则有，
又由函数为奇函数，则有，
，即，
综合有，
又由函数在，上是增函数，则其在，上也是增函数，
则有，
即
故答案为：．
【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析与的关系．
16．（5分）过动点作圆：的切线，其中为切点，若为坐标原点），则的最小值是　　．
【考点】：轨迹方程；：圆的切线方程
【专题】11：计算题；35：转化思想；：直线与圆
【分析】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，由圆的切线的性质可得，结合题意可得，代入点的坐标可得，变形可得：，可得的轨迹，分析可得的最小值即点到直线的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则
为圆的切线，则有，
又由，
则有，
即，
变形可得：，
即在直线上，
则的最小值即点到直线的距离，
且；
即的最小值是；
故答案为：．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质、勾股定理、两点之间的距离公式，关键是求出点的轨迹．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（12分）已知各项都为正数的数列满足，，数列满足，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和为．
【考点】：数列的求和；：数列递推式
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列
【分析】（Ⅰ）推出数列是等比数列，然后求解通项公式，利用作差法，然后求解的通项公式；
（Ⅱ）化简通项公式，利用错位相减法求和即可．
【解答】解：（Ⅰ）变形可得，
即有或，
又由数列各项都为正数，则有，
故数列是首项为，公比为2的等比数列，则（3分）
由题意知，当时，，故，
当时，，
和
作差得，，整理得：，，
；，（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
因此，
，
两式作差得：（12分）．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．
18．（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记为0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．
等级
不合格
合格
得分
，
，
，
，
频数
6

24

（Ⅰ）求，，的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中选取5人进行座谈．现再从这5人中任选2人，求这两人都合格的概率．

【考点】：分层抽样方法；：频率分布直方图
【专题】11：计算题；31：数形结合；：定义法；：概率与统计
【分析】利用频率分布直方图的性质即可得出．
（Ⅱ）采用分层抽样法，抽取“合格”和“不合格”学生分别为3人和2人，利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值
【解答】解：样本容量．，．，．
从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取5人进行座谈，其中“不合格”的学生数，记为、
则“合格”的学生数，记为、、，
现再从这5人中任选2人，基本事件数是：
、、、、、、、、、、共10种，
这两人都合格基本事件数是，，共3种，
故所求的概率为．
【点评】本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题
19．（12分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是边长为2的正三角形，，
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是棱上的点，当平面时，求与面成角的正弦值．

【考点】：平面与平面垂直；：直线与平面所成的角
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；：空间角
【分析】（Ⅰ）取中点，连结，，求解三角形可得，，再由线面垂直的判定可得平面，进一步得到平面平面；
（Ⅱ）连接交于，连接，由线面平行的性质可得，则为的中点．过作平面，垂足为，则．然后证明平面，得，求解直角三角形可得，则与面成角的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：取中点，连结，，
是边长为2的正三角形，，
，
，则，
，平面，
又平面，平面平面；
（Ⅱ）解：连接交于，连接，
平面，，
又为的中点，为的中点．
过作平面，垂足为，则．
连接，，则为与面所成角，
平面，，
又，，，
，平面，则．
在中，由，，可得，
则．
．
即与面成角的正弦值为．

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，考查线面角的求法，正确找出线面角是关键，是中档题．
20．（12分）已知抛物线，设、是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）
（Ⅰ）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）过点作的垂线与抛物线交于、两点，求四边形面积的最小值．
【考点】：圆锥曲线的综合；：直线与抛物线的综合
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】（Ⅰ）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用数量积为0，求出，化简直线方程推出直线必过定点，并求出该定点的坐标；
（Ⅱ）利用韦达定理以及弦长公式，表示出三角形的面积，通过换元法，利用函数的单调性求解最小值即可．
【解答】解：（Ⅰ）设直线的方程为：，，、，，
联立得，则，与，
由得：或（舍．
即，所以直线过定点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
同理得，，
则四边形面积
，
令，
则是对称轴为，开口向上，函数是关于的增函数，当时函数取得最小值．
故．
当且仅当时取到最小值88．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，韦达定理以及弦长公式，函数与方程思想的应用，考查转化思想以及计算能力．
21．（12分）设函数
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值．
【考点】：利用导数研究函数的单调性
【专题】15：综合题；33：函数思想；：转化法；53：导数的综合应用
【分析】（Ⅰ）利用导数的运算法则即可得出，并对分类讨论即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合根的存在性原理，可以判断存在，，当，（a）；
【解答】解：（Ⅰ）．
当时，在上恒成立，
所以函数单调递增区间为，此时无单调减区间．
当时，由，得，
由，得，得，
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数有两个零点，
所以，的最小值，即．
因为，所以．
令（a），显然（a）在上为增函数，且（2），（3），
所以存在，．
当时，（a）；当时，（a），
所以满足条件的最小正整数．
又当时，（3），（1），
所以时，有两个零点．
综上所述，满足条件的最小正整数的值为3．
【点评】本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在直角坐标系中，直线，在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，若直线与轴正半轴交于点，与曲线交于、两点，其中点在第一象限．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及点对应的参数（用表示）；
（Ⅱ）设曲线的左焦点为，若，求直线的倾斜角的值．
【考点】：简单曲线的极坐标方程；：参数方程化成普通方程
【专题】11：计算题；35：转化思想；：转化法；：坐标系和参数方程
【分析】（Ⅰ）由，得，利用，，，能求出曲线的直角坐标方程；由题意可知点的横坐标为0，代入，由此能求出点对应的参数．
（Ⅱ）直线过定点，将代入，得，由此利用，能求出直线的倾斜角的值．
【解答】解：（Ⅰ）由得，
，，，
曲线的直角坐标方程为．（2分），
又由题意可知点的横坐标为0，
代入，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线过定点，
将代入，
化简可得，
设、对应的参数分别为，，
，，，
，．（10分）
【点评】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查角的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数的定义域为．
（Ⅰ）求实数的范围；
（Ⅱ）若的最大值为，当正数，满足时，求的最小值．
【考点】33：函数的定义域及其求法；：绝对值不等式的解法；：柯西不等式在函数极值中的应用
【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用
【分析】利用绝对值不等式的性质即可得出．
利用柯西不等式的性质即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由柯西不等式知，，当且仅当时取等号，的最小值为．
【点评】本题考查了绝对值不等式的性质、柯西不等式的性质、函数的定义域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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日期：2019/4/18 23:43:20；用户：tp；邮箱：lsgjgz137@xyh.com；学号：21474120