2023-2024学年福建省厦门外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省厦门外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是( )
A. 金额
B. 数量
C. 单价
D. 金额和数量
2.如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠C的度数为( )
A. 70°
B. 40°
C. 110°
D. 140°
3.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是( )
A. 2，3，4B. 4，5，6C. 7，8，9D. 9，40，41
4.满足k>0，b=3的一次函数y=kx+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
5.如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
6.下列命题中，其逆命题是真命题的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对顶角相等
C. 同位角相等D. 若a=b，则a2=b2
7.如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD=10，则EF的长为( )
A. 8
B. 6
C. 5
D. 4
8.如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB=2，AC=3，则矩形AEFC的面积为( )
A. 3
B. 2 5
C. 4 5
D. 6
9.如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平.点E是AD上一点，且ED=2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上.若BC=6，则FN的长是( )
A. 32B. 3C. 3D. 2 3
10.定义：点A(x,y)为平面直角坐标系内的点，若满足x+y=0，则把点A叫做“零点”，例如M(1,−1)，N(2,−2)都是“零点”.当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”，则m的取值范围是( )
A. −3≤m≤9B. −9≤m≤3C. −9≤m≤−3D. 3≤m≤9
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.直线y=2x−1与y轴的交点坐标是______．
12.如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC的长是______．
13.如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=AD，E，F分别是AC，BD的中点，若EF=6，则AC的长是______．
14.如图，漏刻是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用.小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)与时间t(min)满足某种确定的关系.下表是小明记录的部分数据，则当h为4.2cm时，对应的时间t为______min．
15.勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1.柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数)，则其弦是______(结果用含m的式子表示)．
16.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA、将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF=CE．
19.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(1,3)且平行于直线y=−3x+2．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)画出这个一次函数的图象．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠DBC=90°，AB=4 5，DB=4，AD=8，BE/​/CD交AD于E，EA=EB.求四边形ABCD的面积．
21.(本小题8分)
秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，它制作轻巧、经典，使用便利.作为商品流通的主要度量工具，代代相传.其大致示意图如图所示.当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm．
(1)当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离y(cm)与秤钩所挂重物x(kg)之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数；
(2)当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，求秤钩所挂重物x．
22.(本小题10分)
如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB．
(1)作点A关于BD的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法.保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O，取BC的中点E，连接OE.若OE=132，BD=10，求点E到AD的距离．
23.(本小题10分)
#ZB7
24.(本小题12分)
如图，已知在正方形ABCD中，AB=4，点P是边CD上一点(不与点C，D重合)，联结AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F，联结DF．
(1)当CF=2 2时，求△ADF的面积；
(2)求证：AE=EF；
(3)联结CE，当CE/​/DF时，求CF的长．
25.(本小题14分)
已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为(8,6)，点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC=m，
(1)已知点D在第一象限且是直线y=2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为______，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
(2)直线y=2x+b过点(3,0)，请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
2.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°，
故选：A．
由平行四边形的性质得∠A=∠C，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、22+32≠42，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、92+402=412，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D．
根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若a，b，c满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
4.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k>0,b=3>0)，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数的图象经过哪几个象限，本题得以解决．
本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示，连接AB，
由题意得，AM= 12+22= 5，AB= 12+22= 5，BM= 12+32= 10，
∴AM2+AB2=BM2，AM=AB，
∴△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM=90°，
∴∠AMB=45°，
故选：C．
利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM=90°即可得到答案．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确记忆相关知识点是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，本选项符合题意；
B、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题是相等的角是同位角，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为如果a2=b2，那么a=b，错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
7.【答案】C
【解析】解：∵AD=AC，AE⊥CD，
∴CE=ED，
∵CE=ED，CF=FB，
∴EF=12BD=12×10=5，
故选：C．
根据等腰三角形的三线合一得到CE=ED，根据三角形内角和定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=2，AC=3，
，
过B作BG⊥AC于G，则BG=AE，
∵S矩形ABCD=AB⋅BC=2 5=2S△ABC，
而S△ABC=12AC⋅BG=12AC⋅AE=12S矩形AEFC，
即S矩形AEFC=S矩形ABCD=2 5，
故选：B．
由于矩形ABCD的面积等于2个△ABC的面积，而△ABC的面积又等于矩形AEFC面积的一半，所以可得两个矩形的面积关系．
本题主要考查了矩形的性质及面积的计算，熟练掌握矩形的性质是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，BC=6，
∴AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，
∵点E是AD上一点，且ED=2AE，
∴AE+2AE=6，
∴AE=2，
由折叠得FB=AB，点A与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分AB，
∴∠AMN=90°，FB=FA，
∴FB=AB=FA，四边形ADNM是矩形，
∴△ABF是等边三角形，MN=AD=6，
∴∠ABF=∠BAF=60°，
∴∠ABE=∠FBE=12∠ABF=30°，
∴BE=2AE=4，
∴FA=AB= BE2−AE2= 42−22=2 3，
∴AM=BM=12AB= 3，
∵MFAM=tan60°= 3，
∴MF= 3AM= 3× 3=3，
∴FN=MN−MF=6−3=3，
故选：C．
连接AF，由矩形的性质得AD=BC=6，∠BAD=∠D=90°，由ED=2AE，求得AE=2，由折叠得FB=AB，MN垂直平分AB，则∠AMN=90°，FB=FA，所以四边形ADNM是矩形，△ABF是等边三角形，则MN=AD=6，∠ABF=∠BAF=60°，所以∠ABE=30°，则BE=2AE=4，求得FA=AB=2 3，则AM= 3，所以MF= 3AM=3，FN=MN−MF=3，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的判定与性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明△ABF是等边三角形是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：由题意得：直线y=2x+m与线段AB有交点，其中A(−1,1)，B(3,−3)，
当直线y=2x+m经过A(−1,1)时，m=3，
当直线y=2x+m经过B(3,−3)时，m=−9，
∴m的取值范围为：−9≤m≤3，
故选：B．
由题意：当−1≤x≤3时，直线y=2x+m上有“零点”，所以直线y=2x+m与线段AB有交点(其中A(−1,1)，B(3,−3))，求出直线经过A、B两点时m的值即可判断．
本题考查一次函数与图象的关系，掌握待定系数法及转化思想是解题的关键．
11.【答案】(0,−1)
【解析】解：∵直线y=2x−1，
∴当x=0时，y=−1，
∴直线y=2x−1与y轴的交点坐标是(0,−1)，
故答案为：(0,−1)．
将x=0代入y=2x−1求出y的值，即可得到直线y=2x−1与y轴的交点坐标．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确直线与y轴的交点的横坐标都是0．
12.【答案】5
【解析】【分析】
根据菱形的性质及已知条件可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB后即可得解．
本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定，解答本题的关键是掌握菱形四边相等的性质，属于基础题．
【解答】
解：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=5．
故答案为5．
13.【答案】12
【解析】解：如图，连结AF，

∵AB=AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵在Rt△ACF中，E是AC的中点，EF=6，
∴AC=2EF=12，
故答案为：12．
连结AF，根据等腰三角形三线合一的性质得出AF⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC=2EF．
本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
14.【答案】8
【解析】解：设水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=kt+b，
代入表中数据得k+b=1.42k+b=1.8，
解得k=0.4b=1，
∴水位h(cm)与时间t(min)的一次函数关系式为h=0.4t+1；
当h=4.2时，4.2=0.4t+1，
解得t=8．
故答案为：8．
设水位h(cm)与时间t(min)的关系式为h=kt+b，用待定系数法求出解析式即可．
本题主要考查一次函数的知识，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】m2+1
【解析】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，(2m)2+a2=(a+2)2，
解得a=m2−1，
∴弦为a+2=m2−1+2=m2+1；
故答案为：m2+1．
根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
本题考查了勾股数，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
16.【答案】2.4
【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=3，BC=5，
∴AC= BC2−AB2=4，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO=QO，CO=AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，连接BO，
∵∠CP′O=∠CAB=90°，
∵S△ABO=S△BOC即12BC×OP′=12AB×AO，
∵CO=AO=2，BC=5，AB=3，
∴OP′=65，
∴则PQ的最小值为2OP′=125=2.4，
故答案为：2.4．
根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再根据S△ABO=S△BOC得到OP′的长度，继而得到PQ的长度．
本题考查平行四边形性质和勾股定理，利用勾股定理得到BC边的长度，解答本题的关键是作出辅助线构造直角三角形．
17.【答案】解：∵△ABC是直角三角形，
∴BC= AB2−AC2= 52−4．82=1.4(m)．
答：梯子底端离墙的距离BC为1.4m．
【解析】利用勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD/​/BC，AD=BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE//CF，AE=CF=12AD，
∴四边形AECF为平行四边形(对边平行且相等的四边形为平行四边形)，
∴AF=CE(平行四边形的对边相等)．
【解析】根据“平行四边形ABCD的对边平行且相等的性质”证得四边形AECF为平行四边形，然后由“平行四边形的对边相等”的性质证得结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
19.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b平行于直线y=−3x+2，
∴k=−3．
又∵一次函数y=−3x+b经过点A(1,3)，
∴3=−3×1+b，
解得b=6，
∴一次函数的关系式为y=−3x+6；
当x=0时，y=6，
∴这个一次函数的图象经过点(1,3)，(0,6)，
经过两点作直线，图象如图所示．

【解析】(1)，先求出k，再将点A(1,3)代入，即可求出答案；
对于(2)，先求出另一个点，再过两个点画直线即可．
本题主要考查了求一次函数的关系式，画一次函数的图象是解题的关键．
20.【答案】解：∵AB=4 5，DB=4，AD=8，
∴AB2=80，DB2+AD2=16+64=80，
∴AB2=DB2+AD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°，
又∵∠DBC=90°，
∴AD/​/BC，
∵BE/​/CD，
∴四边形EDCB是平行四边形，
∴BC=DE，
设DE=x，则AE=AD−x=8−x，
∵EA=EB，
∴BE=8−x，
在Rt△BDE中，BD2+ED2=BE2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得：x=3，
∴BC=DE=3，
∴四边形ABCD的面积为S△ABD+S△DBC=12×AD×BD+12×BD×BC=16+6=22．
【解析】根据勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，∠ADB=90°得出AD//BC，进而证明四边形ADCB是平行四边形，则BC=DE，在Rt△BDE中，勾股定理求得DE=3，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm，
∴y与x之间的函数关系式为：y=8x+4，
y是x的一次函数；
(2)当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，
将y=20代入得：
20=8x+4，
解得：x=2，
∴当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，秤钩所挂重物为2kg．
【解析】(1)依题意，可得y与x之间的函数关系式并作出判定；
(2)将y=20代入(1)的解析式即可求解．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22.【答案】解：(1)如图所示：点C即为所求；

(2)过B点作BF⊥AD于F，

∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB=AB，CD=AD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴AC⊥BD,OB=12BD=5，
∵E是BC的中点，OA=OC，
∴BC=2OE=13，
∴OC= BC2−OB2=12，
∴OA=12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=13，
∵S△ABD=12×BD×AO=12×AD×BF，
∴10×12=13×BF，
∴BF=12013，
∵BE/​/AD，
故点E到AD的距离是12013．
【解析】(1)根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
(2)过B点作BF⊥AD于F，先证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质，勾股定理得到OB=5，OA=12，AD=13，再根据三角形面积公式即可求解．
此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
23.【答案】解：(1)设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，
由题意得：21600x−216002x=18，
解得x=600，
经检验，x=600是原方程的解，也符合题意，
∴2x=1200，
∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
(2)由题意知：甲车间共有1200÷60=20(人)，乙车间共有600÷40=15(人)，
设甲乙车间各被抽走a人，
根据题意得：(20−a)×60×(1+20%)+(15−a)×40×(1+20%)=1200+600，
解得a=3，
∴甲、乙每个车间各被抽走了3人；
(3)设甲车间工作m天，乙车间工作n天，
根据题意得：60×(1+20%)×(20−3)m+40×(1+20%)×(15−3)n=21600，
整理得：17m+8n=300，
∴m=−817n+30017，
设总费用为W元，则W=3400m+1560n=3400×(−817n+30017)+1560n=−40n+60000，
∵−4045°，即∠DAB>45°，故∠DAP>45°，所以三角形APD是等腰直角的情况下，只能是∠DAP=90°.作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°，再由三角形ADP为等腰直角三角形，得到AD=AP，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到△ADE≌△APF，由全等三角形的对应边相等得到AE=PF，由AE+OA求出OE的长，即为D的纵坐标，代入直线解析式求出D的横坐标，即可确定出D的坐标；
(2)存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：由直线y=2x+b过点(3,0)求出直线的解析式，分三种情况考虑：当∠ADP=90°，AD=PD时，根据等腰直角三角形的性质易得D点坐标；当∠APD=90°，AP=PD时，由全等三角形的性质表示出D点坐标为(14−m,m+8)，列出关于m的方程，求出m的值，即可确定出D点坐标；当∠ADP=90°，AD=PD时，同理求出D的坐标，综上，得到所有满足题意D得坐标．
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，本题第二问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．t(min)
…
1
2
3
4
5
…
h(cm)
…
1.4
1.8
2.2
2.6
3
…
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1
某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成.由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．
素材2
经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包.为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人.策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%.因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2
探究抽走人数
甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3
拟定设计方案
甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？