福建省厦门外国语学校集美分校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份福建省厦门外国语学校集美分校2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）下列交通指示标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．3，3，6D．4，5，10
4．（4分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
5．（4分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
6．（4分）已知AD是△ABC的中线，且S△ABC＝8，则S△ABD等于（ ）
A．6B．4C．2D．1
7．（4分）已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．15或7B．15C．11D．7
8．（4分）一个多边形的内角和为α，外角和为β，则α＝2β的多边形的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段AD上，则下列结论正确的是（ ）
A．AD平分∠BAC
B．AD为BC的中垂线
C．BD＝CD
D．△ABD的周长等于△ACD的周长
10．（4分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x＝d或x≥aB．x≥aC．x＝dD．x＝d或x＞a
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若点A（1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 ．
12．（4分）两直角三角形如图放置，∠ABC＝∠DBE＝90°且BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 ．
13．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠A＝60°，则BC＝ ．
14．（4分）如图，直线MN是线段AB的中垂线，点C不在MN上，连接CA与MN相交于点D，连接DB、CB，如果AC＝8，BC＝5，那么△BCD的周长等于 ，
15．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝15°，且AB＝6，则△ABC的面积为 ．
16．（4分）已知点P（a+1，2a﹣5）关于x轴对称点在第一象限，则符合条件a的整数值为 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（1）在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在图中利用无刻度直尺与圆规作AB边上的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，某海岸沿线有A，B两个码头，在该海域内有两座小岛C，D，航线AC与BD相交于点O，经测量，AC＝BD，OA＝OB，求证：∠D＝∠C．
19．求证：等腰三角形的两个底角相等．
（1）请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知： ，求证： ．
（2）请证明此命题．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°．
（1）尺规作图：在BC边上确定一点D，使得D点到AC边和到AB边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）猜想：AB、AC、CD之间有何数量关系？并证明．
21．如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．
（1）尺规作图：请在AC上求作一点D，使得PD∥BC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，AB＝AC，∠A＝60°，求证：△APD是等边三角形．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线．
（2）若△ABC的面积为32，AC＝10，DE＝4，求AB的长．
23．如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
（1）如图（1），如果沿直线DE折叠，且DE⊥AC，则∠BDA′与∠A的关系是 ．
（2）如图（2），如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
（3）如果折成图（3）的形状，探究∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B关于y轴对称．
（1）如图1，若AB＝4，∠AOB＝90°，求点A的坐标；
（2）如图2，若点A（5，0），点C（﹣2，0），点D为y轴正半轴上一点，CD＝7，连接BD．点E在DC的延长线上，且CE＝3，求证AD＝AE．
25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（3，0），连接AB，设P（a，0），且a≥0，以AP为腰作等腰三角形PAQ，∠PAQ＝90°．
（1）①当a＝0时，点Q的坐标为 ；
②当0＜a＜3时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＞0且a≠3时，过点Q作QF⊥AQ交y轴于点F，过P作PD⊥AP交AB于点D，连接DF．则当点P在运动过程中时，线段DF、QF、DP会有怎样的数量关系？请说明理由．
2024-2025学年福建省厦门外国语学校集美分校八年级（上）期中
数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．（4分）下列交通指示标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意；
B、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意；
C、图形中线段BE不是△ABC的高，本选项不符合题意；
D、图形中线段BE是△ABC的高，本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
3．（4分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3B．3，4，5C．3，3，6D．4，5，10
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵2+1＝3，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵3+4＞5，∴能构成三角形，符合题意；
C、∵3+3＝6，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵4+5＜10，∴不能构成三角形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
4．（4分）安装空调一般会采用如图的方法固定，其依据的几何原理是（ ）
A．三角形的稳定性
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【分析】根据三角形具有稳定性求解即可．
【解答】解：安装空调依据的几何原理是三角形的稳定性，
故选：A．
【点评】本题考查三角形的稳定性，两点确定一条直线，垂线段最短及三角形的三边关系，熟知以上知识是解题的关键．
5．（4分）平面直角坐标系中，点P（a，1）与点Q（3，b）关于x轴对称，则a的值是（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点P（a，﹣1）与点Q（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝1，
则a＝3．
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
6．（4分）已知AD是△ABC的中线，且S△ABC＝8，则S△ABD等于（ ）
A．6B．4C．2D．1
【分析】根据中线平分三角形的面积即可求解．
【解答】解：由AD是中线，且S△ABC＝8，
∴S△ABD＝S△ABC＝＝4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．
7．（4分）已知等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则该等腰三角形的底边长是（ ）
A．15或7B．15C．11D．7
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为7时，当等腰三角形的底边长为7时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为7时，
∵等腰三角形的周长为29，
∴该等腰三角形的底边长＝29﹣2×7＝15，
∴等腰三角形的三边长为7，7，15，
∵7+7＝14＜15，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的底边长为7时，
∵等腰三角形的周长为29，
∴该等腰三角形的腰长＝×（29﹣7）＝11，
∴等腰三角形的三边长为11，11，7，
∵7+11＝18＞11，
∴能组成三角形；
综上所述：该等腰三角形的底边长是7，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．
8．（4分）一个多边形的内角和为α，外角和为β，则α＝2β的多边形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设这个多边形的边数是n，依据等量关系α＝2β就得到方程，从而求出边数．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，则n边形的内角和α＝（n﹣2）•180°，多边形的外角和β＝360°，
∵α＝2β，
∴（n﹣2）•180°＝360°×2，
解得n＝6，
∴此多边形的边数为6．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形内角和定理与外角和定理，关键是要注意多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关．
9．（4分）如图，在△ABC中，AD交边BC于点D．设△ABC的重心为Q，若点Q在线段AD上，则下列结论正确的是（ ）
A．AD平分∠BAC
B．AD为BC的中垂线
C．BD＝CD
D．△ABD的周长等于△ACD的周长
【分析】利用重心的性质得到AD为△ABC的中线，便可对各选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC的重心为Q，
∴AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．重心到三角形3个顶点距离的和最小．
10．（4分）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．x＝d或x≥aB．x≥aC．x＝dD．x＝d或x＞a
【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可．
【解答】解：过B作BD⊥AM于D，
∵点B到射线AM的距离为d，
∴BD＝d，
①如图，
当C点和D点重合时，x＝d，此时△ABC是一个直角三角形；
②如图，
当d＜x＜a时，此时C点的位置有两个，即△ABC有两个；
③如图，
当x≥a时，此时△ABC是一个三角形；
所以x的范围是x＝d或x≥a，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的三边关系，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）若点A（1，3）与点B关于y轴对称，则点B的坐标为 （﹣1，3） ．
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点A（1，3）与点B关于y轴对称，则B的坐标为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（4分）两直角三角形如图放置，∠ABC＝∠DBE＝90°且BC＝BE，若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是 DE＝AC ．
【分析】根据直角三角形全等的判定解决此题．
【解答】解：添加：DE＝AC．
理由如下：
在Rt△BDE和Rt△BAC中，
∴Rt△BDE≌Rt△BAC（HL）．
故答案为：DE＝AC．
【点评】本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决本题的关键．
13．（4分）在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠A＝60°，则BC＝ 10cm ．
【分析】根据AB＝AC知，∠B＝∠C，由∠A＝60°，可根据等边三角形的判定知AB＝AC＝BC，答案可得．
【解答】解：∵AB＝AC＝10cm，
∴∠B＝∠C，
又∵∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝10cm．
故填10cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；得到角的关系利用三角形的内角和求解时比较重要的方法，注意掌握．
14．（4分）如图，直线MN是线段AB的中垂线，点C不在MN上，连接CA与MN相交于点D，连接DB、CB，如果AC＝8，BC＝5，那么△BCD的周长等于 13 ，
【分析】根据MN是线段AB的垂直平分线可得AD＝BD，故AC＝AD+CD＝BD+CD，再由AC＝8，BC＝5，即可求出△BCD的周长．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BCD的周长＝BD+CD+BC＝CA+BC＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
15．（4分）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝15°，且AB＝6，则△ABC的面积为 9 ．
【分析】根据题意作出图形，求得AC边上的高，再根据面积公式计算即可．
【解答】解：如图，作AC边上的高BD，
∵∠B＝∠C＝15°，
∴∠BAD＝30°，AB＝AC＝6，
∵AB＝6，
∴BD＝3，
∴S△ABC＝×AC•BD＝×6×3＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
16．（4分）已知点P（a+1，2a﹣5）关于x轴对称点在第一象限，则符合条件a的整数值为 0、1、2 ．
【分析】先判断出点P在第四象限，再根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点P（a+1，2a﹣5）关于x轴对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a＞﹣1，
解不等式②得，a＜，
所以，a的取值范围是﹣1＜a＜，
∵a是整数，
∴a＝0、1、2．
故答案为：0、1、2．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（1）在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线l成轴对称．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在图中利用无刻度直尺与圆规作AB边上的垂直平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】（1）分别从三角形的三个顶点向直线l作垂线，并延长相同距离，得到三个对应点，顺次连接就是所求的轴对称图形．
（2）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）如图，直线DE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、作图—基本作图，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的作图方法是解答本题的关键．
18．如图，某海岸沿线有A，B两个码头，在该海域内有两座小岛C，D，航线AC与BD相交于点O，经测量，AC＝BD，OA＝OB，求证：∠D＝∠C．
【分析】证明△AOD≌△BOC（SAS），可得结论．
【解答】证明：∵AC＝BD，AO＝OB，
∴OD＝OC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠D＝∠C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．求证：等腰三角形的两个底角相等．
（1）请根据以上命题和图形写出已知和求证：
已知： AB＝AC ，求证： ∠B＝∠C ．
（2）请证明此命题．
【分析】（1）根据命题和图形即可直接写出已知和求证；
（2）取BC中点D，连接AD，证明△ABD和△ACD全等即可得出结论．
【解答】（1）解：根据命题和图形可直接写出已知和求证如下：
已知：AB＝AC，求证：∠B＝∠C，
故答案为：AB＝AC；∠B＝∠C；
（2）证明：如图，取BC中点D，连接AD，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，命题的题设与结论，全等三角形的判定与性质等知识点，作底边中线，构造全等三角形是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°．
（1）尺规作图：在BC边上确定一点D，使得D点到AC边和到AB边的距离相等；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）猜想：AB、AC、CD之间有何数量关系？并证明．
【分析】（1）结合角平分线的性质，作∠CAB的平分线，交BC于点D，则点D即为所求．
（2）过D点作DE⊥AB于点E，可得CD＝DE，证明Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AC＝AE，由已知条件可得∠B＝∠BDE＝45°，则DE＝BE，即CD＝DE＝BE，进而可得AB＝AE+BE＝AC+CD．
【解答】解：（1）如图，作∠CAB的平分线，交BC于点D，
则点D即为所求．
（2）AB＝AC+CD．
理由：过D点作DE⊥AB于点E，
∵D点到AC边和到AB边的距离相等，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ADC和Rt△ADE中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE．
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠B＝∠BAC＝45°，
∵DE⊥AB，
∴∠B＝∠BDE＝45°，
∴DE＝BE，
∴CD＝DE＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．如图，在△ABC中，点P为AB边上一点．
（1）尺规作图：请在AC上求作一点D，使得PD∥BC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，AB＝AC，∠A＝60°，求证：△APD是等边三角形．
【分析】（1）过点P作射线PD交AC于点D，使∠APD＝∠B，按尺规作图的要求作出图形即可；
（2）由PD∥BC，则∠APD＝∠B，∠ADP＝∠C，由AB＝AC，得∠B＝∠C，则∠APD＝∠ADP，所以AP＝AD，即可由∠A＝60°，根据“有一个角等于60°的三角形是等边三角形”证明△APD是等边三角形．
【解答】（1）解：作法：1．以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB、BC于点E、F；
2．以点P为圆心，以BE的长为半径作弧，交PA于点H；
3．连接EF，以点H为圆心，以EF长为半径作弧，交前弧于点I；
4．作射线PI交AC于点I，交AC于点D，
点D就是所求的图形．
证明：由作图得∠APD＝∠B，
∴PD∥BC，
∴点D就是所求的图形．
（2）证明：∵PD∥BC，
∴∠APD＝∠B，∠ADP＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠APD＝∠ADP，
∴AP＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△APD是等边三角形．
【点评】此题重点考查尺规作图、基本作图“作一个角等于已知角”、平行线的判定与性质、等边三角形的判定等知识，按尺规作图的要求正确地作出∠APD是解题的关键．
22．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF，EF与AD相交于点G．
（1）求证：AD是EF的垂直平分线．
（2）若△ABC的面积为32，AC＝10，DE＝4，求AB的长．
【分析】（1）由角平分线的性质得到DE＝DF，再由“HL”证Rt△AED≌Rt△AFD，得AE＝AF，然后再结合DE＝DF即可得出结论；
（2）由S△ABD+S△ACD＝S△ABC列式计算即可．
【解答】（1）证明：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
∴△AED和△AFD是直角三角形，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵DE＝DF，
∴AD是EF的垂直平分线；
（2）解：结合图形，得S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴，
∵DE＝DF＝4，AC＝10，
∴，
解得：AB＝6，
即AB的长为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23．如图，△ABC是一个三角形的纸片，点D，E分别是△ABC边AB，AC上的两点．
（1）如图（1），如果沿直线DE折叠，且DE⊥AC，则∠BDA′与∠A的关系是 ∠BDA′＝2∠A ．
（2）如图（2），如果沿直线DE折叠后A落在四边形BCED内部，探究∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
（3）如果折成图（3）的形状，探究∠BDA′，∠CEA′和∠A的关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据折叠性质得∠A＝∠AA′D，然后根据三角形外角性质易得∠BDA′＝2∠A；
（2）连接AA′，先根据三角形外角性质得∠BDA′＝∠DAA′+∠DA′A，∠CEA′＝∠EAA′+∠EA′A，则∠BDA′+∠CEA＝∠EAD+∠EA′D，所以∠BDA′+∠CEA′＝2∠DAE；
（3）由折叠性质得∠A′＝∠A，∠DEA′＝∠DEA，∠A′DE＝∠ADE，再根据三角形内角和得（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）＝360°，接着利用平角定理得到2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°﹣∠BDA′）＝360°，然后整理得到∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【解答】解：（1）∠BDA′＝2∠A，
理由：∵△ABC沿直线DE折叠，且DE⊥AC，
∴A点落在CE上，如图（1），
∴∠A＝∠AA′D，
∴∠BDA′＝∠A+∠AA′D＝2∠A；
故答案为：∠BDA′＝2∠A；
（2）∠BDA′+∠CEA′＝2∠DAE，
理由：连接AA′，如图，
∵∠BDA′＝∠DAA′+∠DA′A，∠CEA′＝∠EAA′+∠EA′A，
∴∠BDA′+∠CEA′＝∠DAA′+∠EAA′+∠DA′A+∠4＝∠DAE+∠EA′D，
又∵∠DAE＝∠EA′D，
∴∠BDA′+∠CEA′＝2∠DAE；
（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
理由：如图（3），由翻折可得：∠A′＝∠A，∠DEA′＝∠DEA，∠A′DE＝∠ADE，
∵（∠A′+∠A′DE+∠A′ED）+（∠A+∠ADE+∠AED）＝180°+180°，
（∠A′+∠A）+（∠DEA′+∠DEA）+（∠A′DE+∠ADE）＝360°，
∴2∠A+（180°+∠CEA′）+（180°﹣∠BDA′）＝360°，
∴2∠A+∠CEA′﹣∠BDA′＝0，
∴∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，翻折变换，熟知以上知识是解题的关键．
24．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B关于y轴对称．
（1）如图1，若AB＝4，∠AOB＝90°，求点A的坐标；
（2）如图2，若点A（5，0），点C（﹣2，0），点D为y轴正半轴上一点，CD＝7，连接BD．点E在DC的延长线上，且CE＝3，求证AD＝AE．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质和轴对称的性质可求解；
（2）由“SAS”可证△BDC≌△EAC，可得AE＝BD＝AD．
【解答】（1）解：如图1，设AB与y轴交于点H，
∵点A，B关于y轴对称，
∴y轴垂直平分AB，
∴AO＝BO，
∵AB＝4，∠AOB＝90°，
∴OH＝AH＝BH＝2，
∴点A（2，2）；
（2）证明：∵点A（5，0），点C（﹣2，0），
∴AC＝7，AO＝5，CO＝2，
∵CD＝7，
∴AC＝DC，
∵点A，B关于y轴对称，
∴BD＝AD，BO＝AO＝5，
∴BC＝3＝CE，
在△BDC和△EAC中，
，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴AE＝BD，
∴AE＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，证明三角形全等是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，3），B（3，0），连接AB，设P（a，0），且a≥0，以AP为腰作等腰三角形PAQ，∠PAQ＝90°．
（1）①当a＝0时，点Q的坐标为 （﹣3，3） ；
②当0＜a＜3时，求点Q的坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＞0且a≠3时，过点Q作QF⊥AQ交y轴于点F，过P作PD⊥AP交AB于点D，连接DF．则当点P在运动过程中时，线段DF、QF、DP会有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（2）过点Q作QN⊥y轴于N，证明△AOP≌△QNA（AAS），由全等三角形的性质得出AO＝QN＝3，AN＝PO＝a，求出ON的长，则可得出答案；
（3）当P在线段BO上时，过点A作HA⊥AB交QF于点H，当P在线段OB的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AB交FQ的延长线于点H，由全等三角形的性质可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝0时，P（0，0），
∵以AP为腰作等腰三角形PAQ，∠PAQ＝90°．
∴AQ∥y轴，
∴AQ＝OA＝3，
∴Q（﹣3，3），
故答案为：（﹣3，3）；
（2）如图，过点Q作QN⊥y轴于N，
∴∠ANQ＝∠AOB＝90°，
∵A（0，3），P（a，0），0＜a＜3，
∴OA＝3，OP＝a，
∵∠APO+∠PAO＝90°，∠QAN+∠OAP＝90°，
∴∠APO＝∠QAN，
又∴AQ＝AP，
∴△AOP≌△QNA（AAS），
∴AO＝QN＝3，AN＝PO＝a，
∴NO＝3﹣a，
∵点Q在第二象限，
∴点Q（﹣3，3﹣a）；
（3）DF＝QF﹣DP或DF＝DP+QF，理由如下：
如图所示：当P在线段BO上时，过点A作HA⊥AB交QF于点H，
∵QA⊥AP，HA⊥AB，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，
∴∠QAH＝∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ＝AP，
在△AQH和△APD中，
，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH＝AD，QH＝PD，
∵HA⊥AB，∠OAB＝45°，
∴∠HAF＝45°＝∠DAF，
在△AHF和△ADF中，
，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
∴HF＝DF，
∵HF＝QF﹣QH＝QF﹣DP，
∴DF＝QF﹣DP；
当P在线段OB的延长线上时，如图，过点A作HA⊥AB交FQ的延长线于点H，
同理可得：△AQH≌△APD，
∴QH＝PD，
同理可得：△AHF≌△ADF，
∴HF＝DF，
∴DF＝HF＝HQ+QF＝DP+QF．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
A
C
B
D
D
C
A