2023-2024学年安徽省淮南二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省淮南二中高二（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有种取法．( )
A. 8B. 7C. 12D. 5
2.已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f′(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
3.(x−1x)5的展开式中含x3项的二项式系数为( )
A. −10B. 10C. −5D. 5
4.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出.则不同的播出方案共有( )
A. 108种B. 90种C. 72种D. 36种
5.已知(x2+a)(1+1x2)6的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为( )
A. 8B. 6C. 4D. 2
6.若函数f(x)=x3−2ax2+4x+a不存在极值，则a的取值范围是( )
A. [− 3, 3]B. (− 3, 3)C. [−2,2]D. (−2,2)
7.已知a=ln2.1，b=e0.1，c=1.1，则a，b，c的大小关系为( )
A. a8.已知不等式x+alnx+1ex≥xa对x∈(1,+∞)恒成立，则实数a的最小值为( )
A. − eB. −e2C. −eD. −2e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. (ln7)′=17
B. [(x2+2)sinx]=2xsinx+(x2+2)csx
C. (x2ex)′=2x−x2ex
D. [ln(3x+2)]′=13x+2
10.我国南宋数学家杨辉在约1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究推广，杨辉三角可以由组合数来表示.则下列结论正确的是( )
A. 第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
B. 1+C51+C62+C73=C83
C. 第2020行的第1010个数最大
D. 第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为2：11
11.已知函数f(x)=|x−3|ex+a−1，则下列选项正确的是( )
A. y=f(x)在(2,3)上单调递减
B. y=f(x)恰有一个极大值
C. 当a>1时，y=f(x)有三个零点
D. 当a=1时，f(f(x))=0有三个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为第______项.
13.某校安排5名同学去A，B，C，D四个爱国主义教育基地学习，每人去一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到A基地的排法总数为______．
14.已知函数f(x)=lnx，若存在区间(x1,x2)，当x∈(x1,x2)时，f(x)的值域为(kx1,kx2)，且[x1]+[x2]=4，其中[x]表示不超过x的最大整数，则k的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动．
(Ⅰ)甲当选且乙不当选，有多少种不同的选法？(用数字作答)；
(Ⅱ)至多有3名男生当选，有多少种不同的选法？(用数字作答)．
16.(本小题15分)
(1)计算：C71+2C72+3C73+⋯+7C77；(请用数字作答)
(2)解关于正整数n的方程：nCnn−3+An3=4Cn+13．
17.(本小题15分)
某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C(x)万元，当年产量小于7万件时，C(x)=13x2+2x(万元)；当年产量不小于7万件时，C(x)=6x+1nx+e3x−17(万元).已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的产M当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销售收人−固定成本−流动成本
(2)当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？(取e3≈20)
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=ax−lnx+1−2axx2(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2(lna−a2).
19.(本小题17分)
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=1x(x>0)，f(x)在区间[a,b]上的图像连续不断，从几何上看，定积分ab1xdx便是由直线x=a，x=b，y=0和曲线y=1x所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积，根据微积分基本定理可得ab1xdx=lnb−lna，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即S曲边梯形ABQP21a+1b．
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明：a−blna−lnb(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xlnx，其中a，b∈R．
(i)证明：对任意两个不相等的正数x1，x2，曲线y=f(x)在(x1,f(x1))和(x2,f(x2))处的切线均不重合；
(ii)当b=−1时，若不等式f(x)≥2sin(x−1)恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，
由此可得取法为1+3+4=8．
故选：A．
由分类加法计数原理计算．
本题考查排列组合，考查学生的推理能力，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可得到导函数的图象的大致形状。
本题考查了函数的单调性与导函数的关系，考查原函数的极值点与导函数零点的关系，需要注意的是，极值点处的导数等于0时，导数为0的点不一定是极值点。是基础题。
【解答】
解：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状。
故选A。
3.【答案】D
【解析】解：(x−1x)5的展开式的通项公式为Tr+1=C5rx5−r(−1x)r=C5r(−1)rx5−2r，r=0，1，…，5，
令5−2r=3，解得r=1，
则所求二项式系数为C51=5．
故选：D．
写出(x−1x)5的展开式的通项公式，再令x的指数为3，可得所求二项式系数．
本题考查二项式定理的运用，考查方程思想和运算能力，是一道基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，分2步进行分析：
在其余3个节目中任选1个，与学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，有C31A33=18种安排方法，
剩下的3个节目在第二天播出，有A33=6种安排方法，
则有18×6=108种安排方法．
故选：A．
根据题意，分2步进行分析：先在其余3个节目中任选1个，与学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，再将剩下的3个节目在第二天播出，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：令x=1，则有(1+a)(1+1)6=192，解得a=2，
在(x2+2)(1+1x2)6中，(1+1x2)6的展开式的通项公式为Tr+!=C6r(1x2)r=C6rx−2r，
所以(x2+a)(1+1x2)6的展开式中的常数项为x2C61x−2+2×C60=8．
故选：A．
通过赋值法，求出a的值，然后利用展开式的通项公式进行分析求解即可．
本题考查了二项式定理的应用，特定项的求解，二项展开式的通项公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=x3−2ax2+4x+a，则f′(x)=3x2−4ax+4，
因为函数f(x)不存在极值，则f′(x)≥0在R上恒成立，
则Δ=16a2−4×3×4≤0，得− 3≤a≤ 3，即a∈[− 3, 3].
故选：A．
由题意函数f(x)不存在极值，则f′(x)≥0在R上恒成立，从而Δ≤0可解．
本题主要考查函数的极值，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：令f(x)=ex−x−1，则f′(x)=ex−1，
令f′(x)>0，解得x>0，令f′(x)<0，解得x<0，
故f(x)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，
故f(x)≥f(0)=0，
故f(0.1)=e0.1−0.1−1>f(0)=0，
∴e0.1>1.1，
∴b>c；
令g(x)=lnx−x−1，则g′(x)=1x−1=1−xx，
令g′(x)>0，解得01，
故g(x)在(0,1)递增，在(1,+∞)递减，
故g(x)≤g(1)=0，
故g(2.1)=ln2.1−2.1−1=ln2.1−1.1∴a∴b>c>a，
故选：B．
令f(x)=ex−x−1，根据函数的单调性判断b，c的关系，令g(x)=lnx−x−1，根据函数的单调性判断a，c的关系即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数值的大小比较，是中档题．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立求参数问题，利用导数讨论函数的单调性，构造函数的构造思想，对数的等价变形等，属于难题．
将原不等式化为e−x−lne−x≥xa−lnxa 对x∈(1,+∞)恒成立；设函数f(x)=x−lnx，即f(e−x)≥f(xa) 对x∈(1,+∞)恒成立；讨论函数f(x)的单调性；
【解答】
解：不等式x+alnx+1ex≥xa对x∈(1,+∞)恒成立；
即x+1ex≥xa−alnx=xa−lnxa
═xa−lnxa对x∈(1,+∞)恒成立；
即e−x−lne−x≥xa−lnxa 对x∈(1,+∞)恒成立；
设函数f(x)=x−lnx，则f′(x)=1−1x=x−1x；
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；
即f(e−x)≥f(xa) 对x∈(1,+∞)恒成立；
∵x∈(1,+∞)时，e−x∈(0,1e)；
根据选项，只需讨论a<0的情况；
当a<0时，y=xa 在x∈(1,+∞)上单调递减，
则xa∈(0,1)；
则 e−x≤xa，两边取e为底的对数，
得：−x≤alnx (x>1)；
即 a≥−xlnx (x>1)
设函数h(x)=−xlnx，
则h′(x)=1−lnx(lnx)2；
所以h(x)在(1,e)上单调递增，
在(e,+∞)上单调递减；
则h(x)最小值=h(e)=−e，
即a≥−e；
故选：C．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查基本初等函数的导数公式、导数的乘、除法运算、简单复合函数的导数，属于基础题．
根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：对于A，(ln7)′=0，故A错误，
对于B，[(x2+2)sinx]=(x2+2)′sinx+(x2+2)(sinx)′=2xsinx+(x2+2)csx，故B正确，
对于C，(x2ex)′=(x2)′ex−x2(ex)′(ex)2=2x−x2ex，故C正确，
对于D，[ln(3x+2)]′=33x+2，故D错误，
故选BC．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A：第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为1+7+28=36；而第9行第8个数字就是36，故A正确；
对于B：因为1+C51+C62+C73=1+5+6×52×1+7×6×53×2×1=56,C83=8×7×63×2×1=56，所以1+C51+C62+C73=C83，故B正确；
对于C：由图可知：第n行有n+1个数字，
如果n是偶数，则第n2+1个数字最大；
如果n是奇数，则第n+12和第n+12+1个数字最大，并且这两个数字一样大，
所以第2020行的第1011个数最大，故C错误；
对于D：依题意：第12行从左到右第2个数为C121=12，第12行从左到右第3个数为C122=66，
所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为12：66=2：11，故D正确．
故答案为：ABD．
根据杨辉三角读出数据即可判断A；利用组合数公式判断B；分析各行数据的特征，即可判断C；求出第12行中从左到右第2个数与第3个数，即可判断D．
本题主要考查归纳推理，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：A：当2所以函数f(x)在(2,3)上单调递减，故A正确；
B：当x<2时，f(x)=(3−x)ex+a−1，则f′(x)=(2−x)ex>0，
所以函数f(x)在(−∞,2)上单调递增；
当x>3时，f(x)=(x−3)ex+a−1，则f′(x)=(x−2)ex>0，
所以函数f(x)在(3,+∞)上单调递增；
结合选项A的分析知，x=2是函数f(x)的极大值点，x=3是函数f(x)的极小值点，故B正确；
C：当a>1时，a−1>0，f(2)=e2+a−1>0，f(3)=a−1>0，
当x<2时，f(x)=(3−x)ex+a−1>a−1>0，
所以当a>1时，方程f(x)=0无实根，即函数f(x)无零点，故C错误；
D：当a=1时，f(x)=|x−3|ex，由以上讨论知，当f(t)=0时，t=3，
而f(2)=e2>3，f(3)=0<3，如图，
由图可知，方程f(x)=3有3个实根，所以f(f(x))=0有3个实根，故D正确．
故选：ABD．
根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时需注意函数值的变化趋势．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和零点，属于难题．
12.【答案】6
【解析】解：∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，
∴Cn3=Cn7，
∴n=10．
∴展开式中二项式系数最大的项为中间项，即第6项．
故答案为：6．
利用二项式定理的性质解答即可．
本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
13.【答案】60
【解析】解：当A基地只有甲同学在时，
那么总的排法是13C41CA22A33=36种；
当A基地有甲同学还有另外一个同学也在时，
那么总的排法是C41A33=24种；
则甲同学被安排到A基地的排法总数为36+24=60种．
故答案为：60．
分两种情况分类计算，一种是A基地只有甲同学在，另外一种是A基地有甲同学还有另外一个同学也在，两种情况相加即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
14.【答案】(ln33,1e)
【解析】解：f′(x)=1x，①
将①与方程y=k1x联立解得k1=1e，
将(3,ln3)代入y=k0x，解得k0=ln33，
由于ln33×2=ln323>ln2，
所以当ln33满足当x∈(x1,x2)时，f(x)的值域为((kx1,kx2)，且[x1]+[x2]=4．
故答案为：(ln33,1e).
求出与f(x)=lnx相切的直线y=k1x，其斜率即为符合条件的k的上限，过点(3,ln3)的直线y=k0x的斜率即为符合条件的k的下限．
本题主要考查对数函数的值域，属中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)若甲当选，乙不当选，则从剩余8人选4人即可，即C84=70种选法，
(Ⅱ)至多有3名男生当选，则有1男4女，2男3女，3男2女，三种情况，
共有C61C44+C62C43+C63C42=6+60+120=186种选法．
【解析】本题主要考查组合的计算，利用条件进行分类讨论是解决本题的关键，属于基础题．
(Ⅰ)利用组合公式进行进行计算即可．
(Ⅱ)至多有3名男生当选，则有1男4女，2男3女，3男2女，三种情况，然后进行求解即可．
16.【答案】解：(1)原式=C71+6C76+2C72+5C75+3C73+4C74+7C77=7(C70+C71+C72+C73)=7×64=448；
(2)由nCnn−3+An3=4Cn+13化简得nCn3+An3=4Cn+13，
展开得n×n(n−1)(n−2)3!+n(n−1)(n−2)=4(n+1)n(n−1)3!，
因n≥3，n∈N，
故可化简得：n(n−2)+6(n−2)=4(n+1)，
解得n=4或n=−4 (舍)，
故方程的正整数解为n=4．
【解析】(1)利用组合数的性质Cnm=Cnn−m(m≤n)，将原式化简重组即可求得结果；
(2)先利用组合数性质化简，再运用组合数和排列数公式展开计算即可求得．
本题主要考查了组合数的性质，考查了排列数公式的应用，属于基础题．
17.【答案】解：(1)∵每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得
当0当x≥7时，P(x)=6x−(6x+1nx+e3x−17)−2=15−lnx−e3x
∴P(x)=−13x2+4x−2,0(2)当0此时，当x=6时，P(x)取得最大值P(6)=10(万元)，
当x≥7时，P(x)=15−lnx−e3x，
∴P′(x)=−1x+e3x2=e3−xx2，
当7≤x0，函数P(x)单调递增，
当x>e3时，P′(x)<0，函数P(x)单调递减，
∴当x=e3时，P(x)取得最大值判P(e3)=1−lne3−1=11(万元)
∵10<11，
∴x=e3≈20时，P(x)取得最大值11万元，
故以当年产量约为20万件时，同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元
【解析】本题考查函数式的求法，考查年利润的最大值的求法，考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题
(1)根据年利润=销售额−投入的总成本−固定成本，分0(2)当018.【答案】(1)解：f′(x)=a−1x+2ax−2x3=(ax−1)(x2+2)x3，
当a≤0时，f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减，
当a>0时，令f′(x)<0，得00，得x>1a，
所以f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增．
(2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)min=f(1a)=1+lna−a2．
要证明f(x)>2(lna−a2)成立，只要证明1+lna−a2>2(lna−a2)，
即证a2−lna+1>0．
令g(a)=a2−lna+1，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a(a>0)，
令g′(a)<0(a>0)，得00(a>0)，得a> 22，此时g(a)单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=12+ln22+1=3+ln22>0，
故当a>0时，f(x)>2(lna−a2).
【解析】(1)先对函数求导，结合导数与单调性关系对a的范围进行分类讨论，即可求解；
(2)由(1)知，当a>0时，f(x)min=f(1a)=1+lna−a2.要证明f(x)>2(lna−a2)成立，只要证明1+lna−a2>2(lna−a2)，即证a2−lna+1>0，结合不等式特点构造函数g(a)=a2−lna+1，对其求导，结合导数与单调性关系即可求证．
本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：在曲线y=1x取一点M(a+b2,2a+b)，
过点M(a+b2,2a+b)作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，
因为S曲边梯形ABQP>S梯形ABM2M1，
所以lnb−lna>12(|AM1|+|BM2|)⋅|AB|=12⋅2⋅(b−a)，
即a−blna−lnb(2)(i)证明：由题意可得f′(x)=2ax+lnx+b+1，
不妨设0y−f(x1)=f′(x1)(x−x1)，即y=f′(x1)x+f(x1)−x1f′(x1)，
同理曲线y=f(x)在(x2,f(x2))处的切线l2的方程：y=f′(x2)x+f(x2)−x2f′(x2)，
假设l1与l2重合，则f′(x1)=f′(x2)f(x1)−x1f′(x1)=f(x2)−x2f′(x2)，
代入化简得lnx2−lnx1+2a(x2−x1)=0a(x2+x1)=−1(a<0)，
两式消去a得lnx2−lnx1−2x2−x1x2+x1=0，得x2−x1lnx2−lnx1=x1+x22，
由(1)的结论可知x2−x1lnx2−lnx1即对任意实数a，b及任意不相等的正数x1，x2，l1与l2均不重合．
(ii)当b=−1时，不等式f(x)≥2sin(x−1)恒成立，
所以h(x)=ax2−x+xlnx−2sin(x−1)≥0在(0,+∞)上恒成立，
所以h(1)≥0，即a≥1，
下证：当a≥1时，h(x)≥0恒成立，
因为a≥1，
所以h(x)≥x2−x+xlnx−2sin(x−1)，
设H(x)=x2−x+xlnx−2sin(x−1)，H′(x)=2x+lnx−2cs(x−1)，
①当x∈[1,+∞)时，由2x≥2，lnx≥0，−2cs(x−1)≥−2知H′(x)≥0恒成立，
即H(x)在[1,+∞)上为增函数，
所以H(x)≥H(1)=0成立，
②当x∈(0,1)时，设G(x)=2x+lnx−2cs(x−1)，
G′(x)=2+1x+2sin(x−1)，
由2sin(x−1)≥−2，1x>0知G′(x)≥0恒成立，
即G(x)=H′(x)在(0,1)为增函数，
所以H′(x)所以H(x)>H(1)=0成立，
综上所述，实数a的取值范围为[1,+∞)．
【解析】(1)在曲线y=1x取一点M(a+b2,2a+b)，过点M(a+b2,2a+b)作f(x)的切线分别交AP，BQ于M1，M2，由S曲边梯形ABQP>S梯形ABM2M1，即可得出答案．
(2)(i)由题意可得f′(x)=2ax+lnx+b+1，不妨设0(ii)当b=−1时，不等式f(x)≥2sin(x−1)恒成立，即h(x)=ax2−x+xlnx−2sin(x−1)≥0在(0,+∞)上恒成立，又h(1)≥0，得a≥1，下证：当a≥1时，h(x)≥0恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．