2023-2024学年安徽省淮南市高二(下)期中数学试卷-普通用卷
展开1.已知函数f(x)=3+cs2x,则y=f(x)在x=π12处的瞬时变化率为( )
A. 1B. 0C. −1D. −2
2.在(x+x−1)8的展开式中,x−2的系数为( )
A. 8B. 28C. 56D. 70
3.法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上是连续不断的,在开区间(a,b)上都有导数,则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)−f(a)=f′(t)(b−a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=12x2+x在区间[0,1]上的“拉格朗日中值”t=( )
A. 12B. 32C. 2D. 52
4.设事件A,B满足A⊆B,且P(A)=15,P(B)=12,则P(B|A−)=( )
A. 58B. 38C. 14D. 18
5.在2024年第22届上海国际茶博会中,某展区展出6种茗茶,分别是武夷山大红袍、西湖龙井、安溪铁观音、普洱茶、正山小种、福鼎白茶.将这6种茶排成一排,若武夷山大红袍和西湖龙井不能相邻,则不同的排序方法有( )
A. 240种B. 280种C. 340种D. 480种
6.若函数f(x)=mex−3x2在R上单调递增,则m的最小值是( )
A. −6cB. 6eC. 12e2D. 12e3
7.如图,某考古队在挖掘一古墓群,古墓外面是一个正方形复杂空间,且有4个形状、大小均相同的入口1,2,3,4,其中只有1个入口可以打开,其他的是关闭的.现让一个机器狗从点O出发探路,从4条路线中任选一条寻找打开的入口,找到后直接进入古墓,若未找到,则沿原路返回到出发点,继续重新寻找.若该机器狗是有记忆的,它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次,且每次选哪条路线是等可能的,则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是( )
A. 43B. 2C. 73D. 52
8.已知函数f(x)=x−sinx,若关于x的不等式f(x+lna)≥f(lnx)恒成立,则实数a的最小值为( )
A. 13B. 1eC. 12D. 1
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.下列结论正确的是( )
A. Anm=m!n!
B. Cnm=AnnAmm(n−m)!
C. C21+C32+C43+⋯+Cmm−1=m(m+1)2(m≥2)
D. 2n=Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+⋯+Cnn
10.已知函数f(x)=x3−6x(x≥0)|x+2|(x<0),则( )
A. f(x)有3个不同的零点
B. f(x)在区间[−2,0)和[ 2,+∞)上单调递增
C. 不存在x0∈R,使得f(x0)<−5
D. 存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=f(−x0)
11.围棋棋理博大精深,蕴含着中华文化的丰富内涵,被列为“琴棋书画”四大文化之一,是中华文化与文明的体现.在某次国际围棋比赛中,甲、乙两人进行最后的决赛.比赛采取五场三胜制,即先胜三场的一方获得冠军,比赛结束.假设每场比赛甲胜乙的概率都为13,且没有和棋,每场比赛的结果互不影响,记决赛的比赛总场数为X,则下列结论正确的是( )
A. X≤4且甲获得冠军的概率是127
B. 有连续三场比赛都是乙胜的概率是827
C. P(X=4)=1027
D. 若甲赢了第一场,则乙仍有超过50%的可能性获得冠军
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知函数f(x)=lnx+ax2x的图象在x=1处的切线与直线x+y−1=0平行,则实数a=______.
13.有一枚质地不均匀的游戏币,若随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍,则随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为______.
14.已知关于x的方程x2+x−1=kex有且只有两个实数根,则实数k的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知(2x+1 x)n(n∈N*).
(Ⅰ)若展开式的第3项和第5项的二项式系数相等,求n的值,并求常数项;
(Ⅱ)若展开式中所有项的系数之和为81,求展开式中二项式系数最大的项.
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+x−a,点A(1,0)在f(x)的图象上.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点A处的切线方程;
(Ⅱ)设函数g(x)=f(x)−10x,求g(x)在[−2,4]上的值域.
17.(本小题15分)
某企业生产手机加密芯片,有3台机器生产同一型号的芯片,质量合格的为正品,不合格的为次品,第1台生产的次品率为6%,第2,3台生产的次品率均为5%,将生产出来的芯片混放在一起,已知第1,2,3台机器生产的芯片数分别占总数的25%,30%,45%.
(Ⅰ)任取一个芯片,求它是正品的概率;
(Ⅱ)任取一个芯片,如果它是次品,求它分别是第1,2,3台机器生产的概率.
18.(本小题17分)
大学毕业生入职某国企需要笔试,笔试题目分为A,B两种类型,且两种类型的题目数量相同,每个笔试者选择2题作答,第1题从A,B两类试题中随机选择1题作答,笔试者若答对第1题,则第2题选择同一类试题作答的概率为23,若答错第1题,则第2题选择同一类试题作答的概率为13,试题不重复选择.已知甲答对A类试题的概率均为12,答对B类试题的概率均为23,且每道试题答对与否相互独立.
(Ⅰ)求甲两题均选择A类试题作答的概率;
(Ⅱ)若甲第1题选择B类试题作答,设甲答对的试题数为X,求X的分布列与期望.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xex.
(Ⅰ)当x>0时,证明:f(x)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:f(x)=3+cs2x,
则f′(x)=−2sin2x,
故f′(π12)=−2sinπ6=−1.
故选:C.
对函数求导,再将x=π12代入导函数,即可求解.
本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
2.【答案】C
【解析】解:根据(x+x−1)8的展开式Tr+1=C8r⋅x8−2r(r=0,1,2,3,4,5,6,7,8),
当r=5时,x−2的系数为C85=56.
故选:C.
直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果.
本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于基础题.
3.【答案】A
【解析】解:因为g(x)=12x2+x,
所以g′(x)=x+1,
则g′(t)=t+1=g(1)−g(0)1−0=32,
所以t=12.
故选:A.
由已知定义,结合函数的求导公式即可求解.
本题主要考查了函数的求导公式的应用,属于基础题.
4.【答案】B
【解析】解:∵A⊆B,∴P(BA−)=P(B)−P(A)=12−15=310,
∴P(B|A−)=P(BA−)P(A−)=3101−15=38.
故选:B.
利用条件概率公式求解.
本题主要考查了条件概率公式,属于基础题.
5.【答案】D
【解析】解:先将除武夷山大红袍和西湖龙井之外的4种茶排序,形成5个空,
再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空,则不同的排法有A44A52=480种.
故选:D.
不相邻问题插空法,先将其它4种茶排序,再将武夷山大红袍和西湖龙井插入5个空即可.
本题主要考查了排列组合知识,属于基础题.
6.【答案】B
【解析】解:由题可知f′(x)=mex−6x,
因为函数f(x)=mex−3x2在R上单调递增,
所以f′(x)≥0在R上恒成立,即mex−6x≥0在R上恒成立,
所以m≥6xex在R上恒成立,
令g(x)=6xex,则g′(x)=6(1−x)ex,
令g′(x)>0,则x<1;令g′(x)<0,则x>1,
所以g(x)在(−∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,g(x)取得极大值,即最大值,
因为g(1)=6e,所以m≥6e,所以m的最小值为6e.
故选:B.
根据题意将问题转化为m≥6xex在R上恒成立,构造函数g(x)=6xex,利用导数求出最大值即可.
本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值,考查运算求解能力,属于中档题.
7.【答案】D
【解析】解:设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,4,
所以P(X=1)=14,P(X=2)=11C31CA42=14,P(X=3)=12C31CC11A43=14,P(X=4)=1112C31CC11CA44=14,
所以E(X)=1×14+2×14+3×14+4×14=52.
故选:D.
设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,4,利用古典概型的概率公式求出相应的概率,再结合期望公式求解即可.
本题主要考查了古典概型的概率公式,考查了离散型随机变量的期望,属于中档题.
8.【答案】B
【解析】解:函数f(x)=x−sinx,
所以f′(x)=1−csx≥0,即f(x)单调递增,
故不等式f(x+lna)≥f(lnx)恒成立,
即x+lna≥lnx,
即lna≥lnx−x恒成立,
令g(x)=lnx−x,则g′(x)=1x−1=1−xx,
故当x>1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当0
所以g(x)=lnx−x有最大值g(1)=ln1−1=−1,
可得lna≥−1,解得a≥e−1=1e.
故选:B.
先求导,研究f(x)的单调性,把问题转化为lna≥lnx−x恒成立,构造函数g(x)=lnx−x,研究其最值,即可求解结论.
本题主要考查导数知识的综合应用,考查计算能力,属于中档题.
9.【答案】BD
【解析】解:对于A,Anm=n!(n−m)!,故A错误;
对于B,Cnm=n!m!(n−m)!=AnnAmm(n−m)!,故B正确;
对于C,因为C21+C32+C43+…+Cmm−1=C11+C21+C31+C41+…+Cm1−1=1=2+3+4+…+m−1=m(1+m)2−1,故C错误;
对于D,Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=(1+1)n=2n,故D正确.
故选:BD.
利用排列数公式可判断A,根据组合数公式可判断BC,根据二项式定理可判断D.
本题主要考查了排列数公式和组合数公式,考查了二项式定理的应用,属于基础题.
10.【答案】ABD
【解析】解:因为当x≥0时,f(x)=x3−6x,
f′(x)=3x2−6=3(x− 2)(x+ 2),
所以当x∈[0, 2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈[ 2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(−∞,−2]时,f(x)=−x−2,单调递减;
当x∈(−2,0)时,f(x)=x+2,单调递增;
作出函数y=f(x)的图象,如图所示:
令f(x)=0,可得x1=−2,x2=0,x3= 6,
所以函数y=f(x)有3个零点,故A正确;
函数在[−2,0)和[ 2,+∞)上单调递增,故B正确;
因为当x≥0时,f(x)极小值=f( 2)=2 2−6 2=−4 2<−5,
所以存在x0∈R,使得f(x0)<−5,故C错误;
当x0>0时,−x0<0,
所以f(x0)=x03−6x0,f(−x0)=|2−x0|,
作出y=x3−6x与y=|2−x|的图象,如图所示:
由此可得两函数的图象只有一个交点,
所以存在唯一的x0∈(0,+∞),使得f(x0)=f(−x0),故D正确.
故选:ABD.
利用导数确函数函数在(0,+∞)上的单调性、极值,作出函数的图象,结合图象可判断A,B,C;
对于D,由题意可得f(x0)=x03−6x0,f(−x0)=|2−x0|,将问题转化化函数y=x3−6x与y=|2−x|的图象的交点问题,作出图象,结合图象即可判断.
本题考查了转化思想、数形结合思想及导数的综合运用,作出图象是关键,属于中档题.
11.【答案】CD
【解析】解:对于A,X≤4且甲获得冠军有两种情况:X=3且甲获得冠军,X=4且甲获得冠军,
X=3且甲获得冠军表示甲连胜三场,X=4且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜,
所以X≤4且甲获得冠军的概率为P=(13)3+C32×(13)2×23×13=19,故A错误;
对于B,有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况:前三场比赛都是乙获胜,第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜,
所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为P=(23)3+13×(23)3+(13)2×(23)3=104243,故B错误;
对于C,X=4包含两种情况:比赛四场甲获得冠军,比赛四场乙获得冠军,
所以P(X=4)=C32×(13)2×23×13+C32×(23)2×13×23=1027,故C正确;
对于D,甲赢了第一场,乙获得冠军包含两种情况:第二至第四场都是乙获胜,第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜,
所以甲赢了第一场,乙获得冠军的概率为P=(23)3+C32×(23)2×13×23=1627,
因为为1627>12,所以若甲赢了第一场,则乙仍有超过50%的可能性获得冠军,故D正确.
故选:CD.
利用独立事件的概率乘法公式逐个判断各个选项即可.
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式,属于中档题.
12.【答案】−2
【解析】解:f(x)=lnx+ax2x,
则f′(x)=1+ax2−lnxx2(x>0),
故f′(1)=1+a,
直线x+y−1=0的斜率为−1,
则1+a=−1,解得a=−2.
故答案为:−2.
对函数求导,利用导数的几何意义,以及直线平行的性质,即可求解.
本题主要考查导数的几何意义,属于基础题.
13.【答案】49
【解析】解:有一枚质地不均匀的游戏币,
随机抛掷它两次均得到正面的概率是均得到反面的概率的4倍,
设一枚质地不均匀的游戏币随机抛掷一次,得到正面的概率为p,
则p2=4(1−p)2,
由0≤p≤1,得p=23,
∴随机抛掷它两次得到正面、反面各一次的概率为:
P=C21×23×(1−23)=49.
故答案为:49.
利用相互独立事件概率公式求解.
本题考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.【答案】(−e,0]∪[5e2)
【解析】解:原方程可变形为k=x2+x−1ex,
令函数f(x)=x2+x−1ex,则f′(x)=−(x+1)(x−2)ex,
令f(x)=0,得x=−1或x=2,当x>2或x<−1时,f′(x)<0,当−1
所以f(x)在(2,+∞),(−∞,−1)上单调递减,在(−1,2)上单调递增,
所以当x=2时,f(x)取得极大值,且极大值为f(x)=5e2,
当x=−1时,f(x)取得极小值,且极小值为f(−1)=−e,
又当x趋向于+∞时,f(x)趋向于0,当x趋向于−∞时,f(x)趋向于+∞,
所以f(x)的大致图象如图,
所以实数k的取值范围是(−c,0]∪[5e2).
故答案为:(−e,0]∪[5e2).
原方程可变形为k=x2+x−1ex,对该函数求导,并利用导数求得单调区间与极值,再画出函数图象,即可求得k的取值范围.
本题主要考查了由方程根的个数求解参数范围,体现了转化思想及数形结合思想的应用,属于中档题.
15.【答案】解:(Ⅰ)二项式(2x+1 x)n的第3项和第5项的二项式系数相等,
故Cn2=Cn4,解得n=6;
根据(2x+1 x)6的展开式Tr+1=C6r⋅26−r⋅x6−32r(r=0,1,2,3,4,5,6),
当r=4时,常数项为C64⋅=60.
(Ⅱ)由于展开式中所有项的系数之和为81,令x=1得:3n=81,解得n=4,展开式为Tk+1=C4k⋅24−k⋅x4−32k(k=0,1,2,3,4),
二项式系数的最大项为第三项,T3=C42⋅22x1=24x.
【解析】(Ⅰ)首先利用第3项和第5项的二项式系数相等,求出n的值,进一步求常数项;
(Ⅱ)利用赋值法求出n的值,进一步利用二项式的展开式求出二项式系数的最大项.
本题考查的知识点:二项式的展开式,组合数,主要考查学生的运算能力,属于中档题.
16.【答案】解:(I)由题知f(1)=0,即1+1−a=0,得a=2,
所以f(x)=x3+x−2,f′(x)=3x2+1,
则f′(1)=3×12+1=4.,
故曲线y=f(x)在点A处的切线方程为y−0=4(x−1),即4x−y−4=0;
(Ⅱ)由题可知g(x)=x3−9x−2,则g′(x)=3x2−9,
令g′(x)=0,可得x=±5,
当x∈(−2,− 3)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x∈(− 3, 3)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈( 3,4)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
所以当x=− 3时,g(x)取得极大值g(− 3)=(− 3)3+9 3−2=6 3−2,
当x= 3时,g(x)取得极小值g( 3)=( 3)3−9 3−2=−6 3−2,
又g(−2)=8,g(4)=26,
所以g(x)在[−2,4]上的值域为[−6 3−2,26].
【解析】(I)对f(x)求导,求出f(1),f′(1),由导数的几何意义求解即可;
(Ⅱ)对g(x)求导,得到g(x)的单调性,比较g(x)的极值点和端点值的大小,即可得出答案.
本题主要考查了导数的几何意义在切线方程求解中的应用,还考查了导数与单调性及最值关系的应用,属于中档题.
17.【答案】解:(Ⅰ)任取一个芯片是次品的概率为:0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.0525,
则它是正品的概率为:1−0.0525=0.9475;
(Ⅱ)次品是第一台机器生产的概率为:0.06×;
次品是第二台机器生产的概率为:0.05×,
次品是第三台机器生产的概率为:1−27−27=37.
【解析】(Ⅰ)结合全概率公式,以及对立事件概率和为1,即可求解;
(Ⅱ)结合贝叶斯公式,即可求解.
本题主要考查全概率公式,贝叶斯公式,属于基础题.
18.【答案】解:(Ⅰ)若甲第1题选择A类试题作答并且答错,则第2题选择A类试题作答的概率P1=12×12×13=112,
若甲第1题选择A类试题作答并且答对,则第2题选择A类试题作答的概率P2=12×12×23=16,
故甲2题均选择A类试题作答的概率P=112+16=14;
(Ⅱ)由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=13×13×13+13×23×12=427,P(X=1)=23×23×13+23×13×12+13×13×23+13×23×12=49,P(X=2)=23×23×23+23×13×12=1127,
故X的分布列为:
则E(X)=0×427+1×49+2×1127=3427.
【解析】(Ⅰ)利用独立事件的概率乘法公式求解;
(Ⅱ)由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,求出相应的概率,得到X的分布列,再结合期望公式求解.
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式,考查了离散型随机变量的分布列和期望,属于中档题.
19.【答案】解:(Ⅰ)证明:当x>0时,要证f(x)
设g(x)=ex−x−1,则g′(x)=ex−1,当x>0时,g′(x)>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=0,即ex−x−1>0,即ex>x+1,
故当x>0时,f(x)
①当x=0时,不等式为0≥0,显然成立,符合题意.
②当x>0时,有a≥−ex−12x3−x−1x2,
记m(x)=−ex−12x3−x−1x2,
则m′(x)=−(x−2)(ex−12x2−x−1)x3.
令h(x)=ex−12x2−x−1(x≥0),则h′(x)=ex−x−1,
由(Ⅰ)可得h′(x)≥0,
故h(x)在[0,+∞)上单调递增,则h(x)≥h(0)=0,
故当x∈(0,2)时,m′(x)>0,m(x)单调递增,
当x∈(2,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减,
故[m(x)]max=m(2)=7−e24.
综上可得,实数a的取值范围是[7−e24,+∞).
【解析】(Ⅰ)对所证不等式等价变形为ex>x+1,构造函数,利用导数求解函数最值,即可证明;
(Ⅱ)把恒成立化简为不等式−12x3+ax2+ex−1≥x恒成立,根据x=0和x>0分类讨论,当x>0时,参变分离,构造函数,利用导数研究函数的最值即可求解参数范围.
本题主要考查利用导数求函数的单调性和极值,属于难题.X
0
1
2
P
427
49
1127
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