2024年高一数学下册（苏教版）-第12章 复数 章末题型归纳总结（原卷版+解析版）

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第12章 复数 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：复数的概念经典题型二：复数的几何意义经典题型三：复数的四则运算经典题型四：复数最值问题经典题型五：复数方程经典题型六：复数的三角表示模块三：数学思想与方法①分类与整合思想②等价转换思想③数形结合的思想模块一：本章知识思维导图模块二：典型例题经典题型一：复数的概念例1．（2024·高三·河南商丘·阶段练习）若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，因为为纯虚数，所以所以，，因为，所以，解得，则，即z的虚部为.故选：A.例2．（2024·内蒙古赤峰·三模）若复数满足，则（    ）A．B．是纯虚数C．复数在复平面内对应的点在第二象限D．若复数在复平面内对应的点在角的终边上，则【答案】D【解析】由题设，且对应点在第一象限，A、C错误；不是纯虚数，B错误；由在复平面内对应的点为，所以，D正确.故选：D例3．（2024·高二·山西太原·阶段练习）已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（    ）A．或 B．或 C． D．【答案】A【解析】由题意，故为实数或故选：A例4．（2024·高二·北京海淀·期末）已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个.故选例5．（2024·山东潍坊·二模）下面四个命题中，正确的是A．若复数，则 B．若复数满足，则C．若复数，满足，则或 D．若复数，满足，则，【答案】A【解析】分析：由复数的基本概念及基本运算性质逐一核对四个选项得答案.对于A，若复数，则，故A正确；对于B，取，则，而，故B错误；对于C，取，，满足，但不满足或，故C错误；对于D，取，，满足，但不满足，，故D错误.故选A.例6．（2024·高二·全国·课时练习）下列命题中为假命题的是(　　)．A．复数的模是非负实数B．复数等于零的充要条件是它的模等于零C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D．复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|【答案】D【解析】A中任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立，∴A正确；B中由复数为零的条件z＝0⇔ ⇔|z|＝0，故B正确；C中若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|，反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时，|z1|＝|z2|，故C正确；D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．选D.经典题型二：复数的几何意义例7．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 .【答案】13【解析】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得，由根与系数的关系可得，整理得，设、、在复平面上对应的点分别为、、，则，可知A，B关于x轴对称，若复平面上、、对应点构成直角三角形，则，即，解得，所以.故答案为：13.例8．（2024·高一·上海嘉定·期末）已知复平面上有点和点，使得向量所对应的复数是，则点的坐标为 .【答案】【解析】因向量所对应的复数是，所以，因，所以.故答案为：.例9．（2024·高一·北京西城·期末）已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为 ．【答案】1【解析】由已知得该复数，则，故答案为：1.例10．（2024·高一·江苏淮安·期末）复数与复数在复平面内对应的点分别为、，若为坐标原点，则钝角的大小为 .【答案】/【解析】依题意，，，，则，，，在中，由余弦定理得，又，所以.故答案为：例11．（2024·高一·江苏·专题练习）在复平面内，是原点，向量对应的复数是，将绕点按逆时针方向旋转，则所得向量对应的复数为 .【答案】【解析】如图，由题意可知，与轴正向夹角为，绕点逆时针方向旋转后到达轴上点，又，所以的坐标为，所以对应的复数为.故答案为：例12．（2024·高一·浙江·期中）复数与复数在复平面上对应点分别是A，B，则 ．【答案】1【解析】根据复数与对应的点的坐标为，如下图所示：易知；则.故答案为：1例13．（2024·高一·河南郑州·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，试写出一个与复数的虚部相等．且模为1的复数z的代数形式 ．【答案】【解析】因为向量，，所以，故，则可设，由，解得，所以，故答案为：经典题型三：复数的四则运算例14．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）（1）化简 ；（2）已知复数的，求 .【解析】（1）;（2）由已知得，∴ .例15．（2024·高一·全国·单元测试）计算：(1)；(2)【解析】（1）（2）因为，所以，因为，所以，所以例16．（2024·高一·河北石家庄·期末）已知复数，，其中是实数.(1)若，求实数的值；(2)若是纯虚数，求.【解析】（1）复数，则，又a是实数，因此，解得，所以实数a的值是.（2）复数，，，则，因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，则，即有，所以.例17．（2024·高一·河南焦作·阶段练习）计算：(1)；(2).【解析】（1）.（2）.例18．（2024·高一·全国·课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例19．（2024·高二·广西百色·期末）已知复数，.(1)求；(2)求.【解析】（1）由题可得：，所以（2）因为所以.例20．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）计算：（1）；（2）.【解析】（1）；（2）.经典题型四：复数最值问题例21．（2024·高一·河南郑州·期中）已知复数z满足，则的最小值为（    ）A．1 B．3 C． D．【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．例22．（2024·高一·山东菏泽·期中）已知复数，，且，在复平面内对应向量为，，，（O为坐标原点），则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，，，且，所以得，设,∴, ，，其中, ∴时, 取最小值为.故选：B.例23．（2024高一·全国·专题练习）（2024·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期中）复数满足（为虚数单位），则的最小值为（ ）A．3 B．4 C． D．5【答案】B【解析】设， 复数的对应点在以原点为圆心，半径的圆上运动， 表示点与复数的对应点的距离，故选：B.例24．（2024·全国·模拟预测）设是复数且，则的最小值为（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故选：C例25．（2024·高三·江西赣州·阶段练习）若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．+1【答案】C【解析】设，则.由已知可得，.设，，则.所以，.当，即时，该式有最大值，所以，，所以，.故选：C.例26．（2024·安徽安庆·一模）设复数z满足条件|z|＝1，那么取最大值时的复数z为（    ）A．+i B．+i C．i D．i【答案】A【解析】复数满足条件，它是复平面上的单位圆，那么表示单位圆上的点到的距离，要使此距离取最大值的复数，就是和连线和单位圆在第一象限的交点．点到原点距离是2．单位圆半径是1，又，所以．故对应的复数为．故选：A例27．（2024·湖北黄冈·二模）已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由可设：，，（其中），当时，即时，.故选：C.经典题型五：复数方程例28．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则 .【答案】1【解析】由题，，即，所以，得，，所以.故答案为：1.例29．（2024·高三·全国·课时练习）若关于x的方程无实根，则实数p的取值范围是 ．【答案】【解析】若方程无实根，即：无实根，假定方程有实数根，而为实数，则，且，解得或，因此原方程无实数根时，且，故实数p的取值范围是.故答案为：例30．（2024·高三·全国·课时练习）设关于x的实系数方程的两个虚根为、，则 ．【答案】【解析】由题可知，，设，a，b∈R，则，则．故答案为：例31．（2024·高二·江西新余·开学考试）已知关于的方程，其中a，b为实数．(1)设（是虚数单位）是方程的根，求a，b的值；(2)证明：当，且时，该方程无实数根．【解析】（1）∵是方程的根，∴也是方程的根，由一元二次方程根与系数的关系得，得，解得，；（2）∵，∴，∴，即，∴，∴原方程无实数根．例32．（2024·高一·上海闵行·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程(1)若，求方程的两个根；(2)若方程有两虚根，，求的值；(3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围.【解析】（1）当时方程为，则，所以方程的根为、（2）因为方程有两虚根，所以，解得，此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以，所以，解得或（舍去）.（3）若，即或时，此时，，则，，，显然，所以，则，即，解得或，所以或；若，即时，设，（），则，，，所以，，所以，即，又，，所以，解得或，所以；综上可得的取值范围为.例33．（2024·高一·江苏无锡·期末）已知复数，其中是正实数，是虚数单位(1)如果为纯虚数，求实数的值；(2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值.【解析】（1）因为，所以，因为为纯虚数，所以，解得（负值舍去），所以.（2）因为，所以，则，因为是关于的方程的一个复根，所以与是的两个复根，故，则，所以.经典题型六：复数的三角表示例34．（2024·高一·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.（5）.（6）.例35．（2024·高一·全国·随堂练习）计算：(1)；(2)；(3)．【解析】（1）（2）（3）例36．（2024·高一·全国·课时练习）计算：(1)；(2)；(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3） .（4）.例37．（2024·高一·全国·课时练习）在复平面内，把复数对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对应的复数为，绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为(1)求复数；(2)若复数，求复数.【解析】（1）复数逆时针旋转后得,顺时针旋转后得.（2）由（1）得.例38．（2024·高二·河南商丘·阶段练习）已知复数z满足，的虚部是2，z对应的点A在第一象限，(1)求z的值；(2)若在复平面上对应点分别为A，B，C，求cos∠ABC.【解析】（1）设，，则，由题意得，故，因为z对应的点A在第一象限，所以，解得，故；（2）由（1）知，，，对应的复数为，对应的复数为，因为，且的辐角为，所以例39．（2024·高一·全国·课时练习）回答下面两题(1)求证：；(2)写出下列复数z的倒数的模与辐角：①；②；③．【解析】（1）证法1：左边右边证法2：，∴原等式成立.（2）①时，，的模为，辐角为.②时，.的模为1，辐角为.③时，，的模为1，辐角为.例40．（2024·高一·全国·课时练习）设i为虚数单位，n为正整数，．(1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）；(2)若复数，利用（1）的结论计算．【解析】（1）由观察得；（2），由（1）得模块三：数学思想方法分类与整合思想例41．（2024·高一单元测试）已知复数z满足的虚部为2.（1）求复数z；（2）设在复平面上对应的点分别为，求△的面积.【解析】（1）设，则，即有.由的虚部为2，有.∴或即或.（2）当时，.∴点，知：且到的距离为1；∴.当时，.∴点，知：且到的距离为1；∴.∴△的面积为1.例42．（2024·高一单元测试）已知复数的实部和虚部相等，其中为虚数单位.(1)求复数z的模；(2)若复数是纯虚数，求实数m的值.【解析】（1）由题意得：，解得，复数；（2）由题知：的实部为零，虚部不为零，，令得：或，当时，，不合题意，当时，，符合题意，所以.例43．（2024·江苏南通·高二启东中学校考阶段练习）设复数z的实部为正数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z；（2）若有，，对任意均有成立，试求实数a的取值范围.【解析】（1）设，①，，且在一、三象限角平分线上，②由①、②得或，，，；（2），，，，均有成立，∴，即对恒成立，①时，恒成立，②，，解得，综上所述，.等价转换思想例44．（2024·全国·高三专题练习）设复数，，其中．(1)若复数为实数，求θ的值；(2)求的取值范围．【解析】（1），又复数为实数，故，即，∵，∴；（2），∴，∵，∴，故例45．（2024·湖北恩施·高一校联考期中）已知复数（1）若，求角；（2）复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围.【解析】（1）由，可得，由，可得：，所以，所以或；（2）由题意可得，由，所以，所以，所以的取值范围为.例46．（2024·山东烟台·高一统考期中）已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x的方程的两个根.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积【解析】（1）因为为纯虚数，所以，即，解得，此时，由韦达定理得，.（2）复数满足，即，不等式的解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界..数形结合的思想例47．（2024·全国·高一专题练习）在复平面上，作出表示下列复数的向量：，，，．【解析】，，，对应复平面的坐标分别为，其表示的复数的向量分别为：，如下图所示：例48．（2024·江苏·高一专题练习）已知复数z满足的虚部为8．(1)求复数z；(2)设在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的长度．【解析】（1）设，则，即有．由的虚部为8，有．∴或即或．（2）当时，∴点，知：当时，．∴点综上，得．例49．（2024·上海闵行·高一校考期末）设、为实数，关于的方程有四个互不相同的根，它们在复平面上对应四个不同的点.(1)当时，求方程在复数集上的解集，并求对应四点围成图形的面积；(2)若对应的四个点构成正方形，求实数、的值.【解析】（1）当时，方程为，解得其在复平面对应的点的坐标分别为：，如图四点围成的图形为等腰梯形面积为（2）若对应的四个点构成正方形，由（1）的解为，则的解为或则或，解得或.例50．（2024·江苏·高一专题练习）已知，i是虚数单位．(1)求；(2)设复数在复平面内所对应的点分别为，O为坐标原点，若所构成的四边形为平行四边形，求复数．【解析】（1）（2）若为平行四边形，则若为平行四边形，则，得若为平行四边形，则，得．