2025届高考数学一轮总复习第六章数列高考解答题专项三数列中的综合问题课件

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考情分析数列是高考考查的重点内容,在近几年的高考试卷中,数列解答题的命题趋势是稳中求变、变中求新、新中求活,以考查数列的基本知识、基本方法为主,渗透综合应用能力的考查,一般放在解答题的前三个题目位置,对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学核心素养都有较深入的考查.
即(an+an-1)(an-an-1-2)=0(n≥2),∵an>0,则an-an-1=2(n≥2),∴{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1.选择②:∵Sn+1+Sn-1=2(Sn+1)(n≥2),则Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2(n≥2),于是当n≥2时,an+1=an+2,即an+1-an=2,
由S2=4S1,得a2+a1=4a1,即a2-a1=2a1=2,∴an+1-an=2(n∈N*),即{an}是以a1=1为首项,2为公差的等差数列,∴an=1+2(n-1)=2n-1.选择③:∵an=Sn-Sn-1(n≥2),
方法点拨解决结构不良试题的基本策略
对点训练1在①Sn+1=2Sn+1,②a2=2,③Sn=an+1-1这三个条件中选择两个,补充在下面的问题中,给出解答.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足　　　　　,　　　　　,又知等差数列{bn}为递增数列,且满足b1=2,b1,b2,b5成等比数列. (1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式;(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
解 方案一:选择条件①②.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1.又a2=2,∴a1=1.当n≥2时,由Sn+1=2Sn+1,可得Sn=2Sn-1+1,两式相减,可得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d.
∵b1,b2,b5成等比数列,∴ =b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.
(2)由(1)知,cn=anbn=(4n-2)·2n-1=(2n-1)·2n,则Tn=c1+c2+…+cn=1·21+3·22+5·23+…+(2n-1)·2n,2Tn=1·22+3·23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,两式相减得-Tn=1·21+2·22+2·23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1
方案二:选择条件①③.(1)由题意,当n=1时,S2=2S1+1,即a1+a2=2a1+1,化简得a2=a1+1,将n=1代入Sn=an+1-1,可得a1=a2-1,此时选择条件①③并不能计算出a1或a2的值,无法计算出数列{an}的通项公式,故方案二不成立.
方案三:选择条件②③.(1)由题意,当n=1时,a1=S1=a2-1=2-1=1.当n≥2时,由Sn=an+1-1,可得Sn-1=an-1,两式相减得an+1=2an.∵a2=2a1也满足上式,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,∴an=1·2n-1=2n-1.设等差数列{bn}的公差为d(d>0),则b2=2+d,b5=2+4d∵b1,b2,b5成等比数列,∴ =b1b5,即(2+d)2=2(2+4d),化简整理得d2-4d=0,解得d=0(舍去),或d=4,∴bn=2+4(n-1)=4n-2.
例2.(2023辽宁锦州一模)已知数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=n.(1)求{an}的通项公式;
解 (1)当n=1时,可得a1=1,当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-1)an=n,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=n-1(n≥2),
名师点析解决数列中奇偶项问题的方法(1)求奇偶分列的数列的通项公式时,首先要确定奇数项和偶数项的首项,其次要重点确定好通项公式中的项数n与an所在奇数项、偶数项中的项数之间的关系.一般地,当n为奇数时,an在奇数项组成的数列中为第 项;当n为偶数时,an在偶数项组成的数列中为第 项.(2)求奇偶分列的数列的前n项和时,可以分别求出奇数项的和与偶数项的和,然后相加,也可以采用整体思想,把a2k-1+a2k看作一项,求出S2k,再求S2k-1=S2k-a2k;还可以寻求奇数项和与偶数项和的关系,转化为求奇数项(或偶数项)和的问题.
考向1.数列与不等式的综合
所以Tn=2·2+3·22+…+n·2n-1+(n+1)·2n,①所以2Tn=2·22+3·23+…+n·2n+(n+1)·2n+1,②①-②得,-Tn=4+(22+23+…+2n)-(n+1)·2n+1=-n·2n+1,所以Tn=n·2n+1,所以λTn≤(n2+9)·2n,即λn·2n+1≤(n2+9)·2n,
名师点析数列与不等式综合问题的求解策略(1)判断数列问题中的一些不等关系时,可以利用数列的单调性或借助数列对应函数的单调性比较大小.(2)解决数列中不等式恒成立问题时,仍可采用分离参数求最值的方法,但要注意变量n的取值为正整数.
对点训练3(2023湖北武汉三模)已知各项均不为零的数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,2Sn=anan+1(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;(2)若Sk≤2 023恒成立,求正整数k的最大值.
解 (1)由题意,当n=1时,2a1=a1a2,解得a2=2,当n≥2时,由2Sn=anan+1,得2Sn-1=an-1an(n≥2),两式相减得2an=an(an+1-an-1)(n≥2),∵an≠0,∴an+1-an-1=2,∴数列{an}中奇数项是以a1为首项,2为公差的等差数列;偶数项是以a2为首项,2为公差的等差数列,当n=2k(k∈N*)时,a2k=a2+(k-1)×2=2k,即an=n;当n=2k-1(k∈N*)时,a2k-1=a1+(k-1)×2=2k-1,即an=n.综上,数列{an}的通项公式为an=n.
∵Sk≤2 023,∴k(k+1)≤4 046,当k≤63时,Sk<2 023,即不等式恒成立;当k=64时,Sk>2 023.故正整数k的最大值为63.
考向2.数列与函数、不等式的综合例4.在各项均为正数的数列{an}中,a1=1,
证明 (1)先证明ln(x+1)所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递减,所以当x>0时,f(x)名师点析数列与函数、不等式的综合问题数列与函数、不等式的综合问题,多以不等式的证明、求最值等问题的形式呈现,解决方法:(1)通过放缩,结合裂项相消求和法进行证明;(2)构造函数,借助导数研究其单调性,再通过变量替换进行证明.
所以Tn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n,又2Tn=1·22+2·23+3·24+…+n·2n+1,所以-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1,