2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一　第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题（课件）

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考向1.“分离参数法”解决不等式恒成立问题例1.(2021湖北荆州高三期中)已知函数f(x)=asin x-2x+1,x∈(0,π)(a∈R).(1)证明:当a=2时,f(x)0).(1)因为直线斜率为1且与函数f(x)相切,所以f'(x)=1,即2- =1,解得x=1,而f(1)=0,所以切点为(1,0),故直线方程为x-y-1=0.
考向2.“最值法”解决不等式恒成立问题例2.(2021河南洛阳高三月考)已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=(x-1)ex- .(1)若a=e,讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)≤3在(0,2]上恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=xex-ax=x(ex-a),当a=e时,f'(x)=x(ex-e).在(0,1)上,f'(x)0,因此f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,2]上单调递增,又因为f(0)=-10或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立⇔g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)x,所以f'(x)=ex-x>0,因此函数f(x)在R上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞),无单调递减区间.(2)函数f(x)的导数f'(x)=ex-x-a,又因为f'(0)=1-a,令f'(0)=1-a≥0得a≤1.①当a≤1时,因为x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a(x≥0),则g'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)单调递增,所以f'(x)≥f'(0)=1-a≥0,因此f(x)在[0,+∞)上单调递增,于是f(x)≥f(0)=0恒成立.
②当a>1时,因为x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令g(x)=ex-x-a(x≥0),则g'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)单调递增,而f'(0)=1-a