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    2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立能成立问题课件

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    这是一份2024版高考数学一轮总复习第3章导数及其应用第2节导数的应用第4课时利用导数研究不等式恒成立能成立问题课件,共52页。

    关键能力·研析考点强“四翼”
    考点1 分离参数法解决恒(能)成立问题——综合性
    考点2 等价转化法解决恒(能)成立问题——综合性
    考点3 双参不等式恒(能)成立问题——综合性
    分离参数法解决恒(能)成立问题的策略(1)分离变量,构造函数,把问题转化为求函数最值问题.(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min;a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max.
    当x在(0,+∞)内变化时,h′(x),h(x)随x的变化情况如下表:
    等价转化法解决恒成立问题的关键是将不等式进行等价转化,构造新函数,通过求新函数单调性与最值解决问题.
    已知函数f(x)=eaxln x-x+1(a∈R).(2)若对任意x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.解:由(1)知当a=0时,f(x)的单调递增区间为(0,1),则f(x)<f(1)=0符合题意.当a>0时,x∈(0,1),则eax>1,ln x<0,所以eaxln x<ln x.由(1)知f(x)=ln x-x+1<f(1)=0,所以eaxln x<ln x<x-1,故f(x)<ln x-x+1<0成立,则a>0符合题意.
    一题N解·深化综合提“素养”
    思路参考:构造函数h(x)=x ln x-ax+a+e-2的方式,把不等式问题直接转化为函数的最值问题来研究.解:x2f(x)+a≥2-e,即x ln x-ax+a+e-2≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立.令h(x)=x ln x-ax+a+e-2,则h′(x)=ln x+1-a.
    令h′(x)=0,得x=ea-1.当x∈(0,ea-1)时,h′(x)<0;当x∈(ea-1,+∞)时,h′(x)>0.所以h(x)的最小值是h(ea-1)=a+e-2-ea-1.令t(a)=a+e-2-ea-1,则t′(a)=1-ea-1.令t′(a)=0,得a=1.
    令h′(a)=0得到a=3-e.当a∈[0,3-e)时,h′(a)>0,h(a)单调递增;当a∈(3-e,+∞)时,h′(a)<0,h(a)单调递减.而h(0)=ln (e-2)+1>0,且h(3-e)=e-2>0,但是因为h(2)=0,所以0≤a≤2.
    思路参考:把不等式通过等价变形后,使不等号的一边出现直线的方程h(x)=a(x-1)+(2-e),再分析不等号另外一边的函数g(x)=x ln x的单调性,就会发现二者相切时即为参数的临界值.解:通过变形原不等式等价于证明:x ln x≥a(x-1)+(2-e),x∈(0,+∞).若令g(x)=x ln x和h(x)=a(x-1)+(2-e).则只需证明函数g(x)的图象在直线h(x)的上方.
    首先分析g(x)=x ln x的图象.由解法3可知:当x∈(0,e-1)时,g(x)单调递减;当x∈(e-1,+∞)时,g(x)单调递增,且g(x)min=g(e-1)=-e-1.其次分析h(x)=a(x-1)+(2-e)的图象.因为a≥0,所以h(x)表示过定点(1,2-e)的直线,且g(x)min=-e-1>2-e.两个函数的图象大致如图(1)所示:
    图(1)       
    当t′(a)=0时,a=1.当a∈[0,1]时,t′(a)≥0,t(a)单调递增;当a∈[1,+∞)时,t′(a)<0,t(a)单调递减.因为t(0)=-e-1+e-2>0且t(1)=e-2>0,所以函数t(a)在区间[0,1]上无零点,在区间(1,+∞)有且仅有一个零点a=2.综上所述,a∈[0,2].
    也就是说a=0时,g(x)的图象在h(x)的图象上方.如图(3):
    所以当a越来越大时,两个图象会越来越接近.所以当g(x)和h(x)的图象相切时,a取得最大值,如图(4).
    1.本题考查应用导数研究不等式恒成立问题,基本解题方法是——参变分离、数形结合、最值分析等.在求解过程中,力求“脑中有‘形’,心中有‘数’”.依托端点效应,缩小范围,借助数形结合,寻找临界点.2.基于课程标准,解答本题一般需要有良好的运算求解能力、逻辑思维能力.本题的解答体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.3.基于高考数学评价体系,本题涉及函数、不等式、方程、导数等知识,渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论等思想方法,有一定的综合性,属于能力题.此类题在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养方面起到了积极的作用,是高考考查的一个热点.
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