2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数课时规范练27正弦定理和余弦定理及其应用

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1.(2023辽宁丹东二模)在△ABC中,AC=,BC=,A=60°,则cs B=( )
A.±B.±C.D.
2.在△ABC中,c2=bccs A+accs B+abcs C,则此三角形必是( )
A.等边三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.钝角三角形
3.(2023广西梧州一模)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinC+=csin A.若a=2,b=4,则c=( )
A.2B.2C.4D.2
4.在△ABC中,若AB=2,AC=3,=3,则BC=( )
A.B.
C.D.
5.设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若B=C≠A,且a(b2+c2-a2)=b2c,则A=( )
A.B.
C.D.
6.(多选)在△ABC中,若(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论中正确的有( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为
7.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .
8.为了测量一个不规则公园中C,D两点之间的距离,如图,在东西方向上选取相距1 km的A,B两点,点B在点A的正东方向上,且A,B,C,D四点在同一水平面上.从点A处观测得点C在它的东北方向上,点D在它的西北方向上.从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上,点D在它的北偏西75°方向上,则C,D之间的距离为 km.
9.在△ABC中,AB=2,若,则A的最大值是 .
综合提升组
10.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且=2+,则B的大小为( )
A.B.
C.D.
11.已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当取得最小值时,BD= .
12.如图,在四边形ABCD中,CD=3,BC=,
cs∠CBD=-.
(1)求∠BDC;
(2)若∠A=,求△ABD周长的最大值.
创新应用组
13.某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图所示,线段AB表示角楼的高,C,D,E为三个可供选择的测量点,点B,C在同一水平面内,CD与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案,从以下六组几何量中选择三组进行测量,则可以选择的几何量的编号为 .(只需写出一种方案)
①C,D两点间的距离;②C,E两点间的距离;③由点C观察点A的仰角α;④由点D观察点A的仰角β;⑤∠ACE和∠AEC;⑥∠ADE和∠AED.
14.(2023四川南充二模)在△ABC中,内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,已知bsin(B+C)=asin,且△ABC的面积为,则△ABC周长的最小值为( )
A.2B.6
C.6D.6+2
课时规范练27 正弦定理和余弦定理及其应用
1.D
解析由正弦定理,得sinB=,∵BC>AC,∴csB=.故选D.
2.B
解析由c2=bccsA+accsB+abcsC,则c2=bc·+ac·+ab·,即c2=,整理可得a2+b2=c2,所以△ABC为直角三角形,故选B.
3.B
解析由asinC+=csinA,得sinAsinC+=sinCsinA,又∵sinA≠0,则sinC+=sinC,
即sinC+csC=sinC,∴tanC=.
∵C∈(0,π),∴C=,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcsC=4+16-2×2×4×=12,得c=2.故选B.
4.B
解析由AB=2,AC=3,=3,可得2×3×csA=3,所以csA=.由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcsA=22+32-2×2×3×=7,故BC=,故选B.
5.B
解析因为a(b2+c2-a2)=b2c,所以2a×=b,即b=2acsA,所以sinB=2sinAcsA=sin2A,所以B=2A或B+2A=π.若B+2A=π,则C=A,这与题设不符合,故B=2A,又B=C,所以A+B+C=5A=π,即A=.
6.ACD
解析由题意,设a+b=9x,a+c=10x,b+c=11x,解得a=4x,b=5x,c=6x.
所以sinA∶sinB∶sinC=4∶5∶6,所以A正确;
由以上可知C最大,csC=>0,所以C为锐角,所以B错误;
由以上可知A最小,csA=,cs2A=2cs2A-1=2×-1=,
即csC=cs2A,因为C为锐角,2A为锐角,
所以C=2A,所以C正确;
因为csC=,所以sinC=,
设△ABC外接圆的半径为r,则由正弦定理可得2r=,所以r=,所以D正确.故选ACD.
7.1
解析=1.
8.2
解析由题意可知,∠CAB=90°-45°=45°,∠DAB=90°+45°=135°,∠CBA=90°+15°=105°,∠CBD=15°+75°=90°,∠DBA=15°,
故在△ABC中,∠ACB=180°-45°-105°=30°,
故,BC=.
在△ABD中,∠ADB=180°-15°-135°=30°,
故,BD=.
所以在Rt△DBC中,CD==2.
9.
解析设a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.因为,所以abcsC=-,由余弦定理得ab·=-,得a2+b2=3.由余弦定理可得csA=≥2,当且仅当,即b=时,等号成立,此时csA取得最小值.又因为y=csx在区间(0,π)内单调递减,所以A的最大值是.
10.B
解析因为=2+,所以=2+,即=2-,
所以sinAcsB=2sinCcsB-sinBcsA,
所以sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsB,
即sin(A+B)=2sinCcsB,
所以sinC=2sinCcsB.
又C∈(0,π),所以sinC≠0, 所以csB=.
又B∈(0,π),所以B=,故选B.
11.-1
解析 设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得=4-≥4-2,当且仅当t+1=,即BD=-1时,等号成立,此时,-1.
12.解(1)在△BCD中,∵cs∠CBD=-,
∴sin∠CBD=,由正弦定理得,
∴sin∠BDC=.
又∠CBD为钝角,∴∠BDC为锐角,
∴∠BDC=.
(2)在△BCD中,由余弦定理得cs∠CBD==-,
解得BD=4或BD=-5(舍去).
在△ABD中,∠A=,设AB=x,AD=y.
由余弦定理得csA=,即x2+y2-16=xy,
整理得(x+y)2-16=3xy.
由基本不等式得(x+y)2-16=3xy≤,即≤16,所以(x+y)2≤64,当且仅当x=y=4时,等号成立,即(x+y)max=8,所以(AB+AD+BD)max=8+4=12,故△ABD周长的最大值为12.
13.①③④或②③⑤
解析经分析可知,若选①③④,
在△ACD中,∠ACD=-α,∠ADC=+β,∠CAD=α-β,所以,
所以AC=·CD,所以AB=AC·sinα=·CD,其中各个量均已知.
若选②③⑤,
已知∠ACE和∠AEC,则∠CAE=π-∠ACE-∠AEC,
由,
所以AC=·CE,
所以AB=AC·sinα=·CE,其中各个量均已知.
其他选择方案均不可求得AB长.
14.B
解析由bsin(B+C)=asin,得bsinA=asin,由正弦定理得sinBsinA=sinAcs,
∵A∈(0,π),∴sinA≠0,∴sinB=cs,
即2sincs=cs,
∵B∈(0,π),则∈0,,则cs≠0,
解得sin,则⇒B=,
∴S=acsinB=,则ac=4,
又a+c≥2=4,当且仅当a=c=2时等号成立,
根据余弦定理得b=,设△ABC的周长为C,则C=a+c+=a+c+,
设a+c=t≥4,则f(t)=t+,f(t)在[4,+∞)上为单调增函数, 故f(t)min=f(4)=6,当且仅当a=b=c=2时等号成立.故选B.