专题09 实际应用问题（含一次函数、反比例函数、二次函数的实际问题，6题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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用一次函数、反比例函数、二次函数解决实际问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，用函数求最值问题是数学的基础，也是高频考点、必考点，所以必须提高运算能力。
2．从题型角度看，以解答题的第五题或第六题为主，分值8分左右，着实不少！
题型一 用一次函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名．设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某网店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知每个大号“龙辰辰”进价比中号“龙辰辰”多15元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元．
(1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价．
(2)该网点准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过中号的一半．中号“龙辰辰”定价60元，大号“龙辰辰”的定价比中号多．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？
此题考查了一次函数、一元一次不等式、一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键．
【例2】（2024·河南信阳·一模）烟花爆竹的发明与火药技术的使用息息相关．最初的爆竹是由唐朝的李畋发明的，他利用火药、纸筒等材料制作爆竹，目的是产生巨大声响以驱鬼辟邪，烟花爆竹不仅在重要节日以示庆贺，还承载着中国人迎祥纳福的美好愿望．小红的爸爸是一家烟花爆竹店的老板，在春节前购进甲，乙两种烟花，用3120元购进甲种烟花与用4200元购进乙种烟花的数量相同，乙种烟花进货单价比甲种烟花进货单价多9元．
(1)求甲、乙两种烟花的进货单价；
(2)小红的爸爸打算再购进甲、乙两种烟花共1000个，其中乙种烟花的购货数量不少于甲种烟花数量的3倍，如何进货才能花费最少？并求出最少的花费．
1．（2024·浙江温州·一模）2023 年 10月4日，亚运会龙舟赛在温州举行． 某网红店看准商机，推出了 A 和B 两款龙舟模型． 该店计划购进两种模型共200个，购进 B 模型的数量不超过 A模型数量的2 倍． 已知B 模型的进价为30元/个，A 模型的进价为20元/个，B 模型售价为45元/个, A 模型的售价为30元/个．
(1)求售完这批模型可以获得的最大利润是多少?
(2)如果B模型的进价上调m元，A 模型的进价不变，但限定 B模型的数量不少于 A 模型的数量，两种模型的售价均不变． 航模店将购进的两种模型全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出m的值．
2．（2024·湖南怀化·一模）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知B型充电桩比A型充电桩的单价多万元，且用20万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划购买A，B两种型号充电桩共26个，购买总费用不超过28万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．请问A，B型充电桩各购买多少个可使购买总费用最少？
3．（2024·河北石家庄·一模）周末，甲、乙两学生从学校出发，骑自行车去图书馆． 两人同时从学校出发，以每分钟a米的速度匀速行驶，出发5分钟时，甲同学发现忘带学生证，以a米/分的速度按原路返回学校，取完学生证后（在学校取学生证的时间忽略不计），立即以另一速度匀速追赶乙． 甲追上乙后，两人继续以a米/分的速度前往图书馆，乙骑自行车的速度始终不变． 设甲、乙两名同学相距的路程为s（米），行驶的时间为x（分），s与x之间的函数图象如图1所示； 甲学生距图书馆的路程为y（米），行驶的时间为x（分），y与x之间的部分函数图象如图2所示．
(1)学校与图书馆之间的路程为 米， ；
(2)分别求及时，s与x的函数关系式，并求甲、乙两名同学相距的路程不小于1000米的总时长；
(3)请直接在图2中补全y与x之间的函数图象．
4．（2024·陕西西安·二模）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼呼全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．知量杯中原来装有水，内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中表示时间，表示量杯中的水量．
为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：，，
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；
(2)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少？
题型二 用反比例函数解决实际问题
【例1】（新考法，跨学科，拓视野）（2024·宁夏吴忠·一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．

(1)求该品牌电动车电池的电流I与电阻R的函数类系式．
(2)该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在的范围，请帮该小组确定这时电阻值的范围．
本题主要考查反比例函数的应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
【例2】（2024·广东中山·一模）在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I，电压U，电阻R三者之间满足关系式 电流与电阻之间的函数关系如图．
(1)写出Ⅰ 与R的函数解析式；
(2)结合图象回答：当电路中的电流不超过 12 A时，电路中电阻 R的取值范围是什么?
1．（2024·山西临汾·一模）在物理学中，电磁波（又称电磁辐射）是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，随着技术的发展，依靠电磁波作为信息载体的电子设备被广泛应用于民用及军事领域．电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．下表是某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值：
(1)该段电磁波的波长与频率f满足怎样的函数关系？并求出波长关于频率f的函数表达式；
(2)当时，求此电磁波的波长．
题型三 用二次函数解决实际问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·浙江·模拟预测）某个农场有一个花卉大棚，是利用部分墙体建造的．其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有根支架，，相关数据如图所示，其中支架，，这个大棚用了根支架．
为增加棚内空间，农场决定将图中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化，如图所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为元/米（接口忽略不计），需要增加经费元．
(1)分别以和所在的直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系．
①求出改造前的函数解析式．
②当米，求的长度．
(2)只考虑经费情况下，求出的最大值．
本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用等知识点．掌握二次函数的性质及是一元一次不等式的应用解题的关键．
【例2】（2024·河南信阳·一模）信阳位于中国南北地理分界线，地处淮河中上游，素有“北国江南，江南北国”美誉，自古雨水充沛，河流众多，降雨量和人均水资源量久居河南第一，素以“水广桥多”著称，被誉为“千湖之市”．其中一座桥的桥洞形状符合抛物线形状，如图1所示，桥墩高3米，拱顶A与起拱线相距4米，桥孔宽6米．
(1)若以起拱点B为坐标原点建立平面坐标系，求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标．
(2)河面的平均水位2米，信阳游客服务部门打算建造河上观赏船，故应考虑船下水后的吃水线问题．额定载客后，观赏船吃水线上面部分的截面图为矩形（如图2），当船宽为3米时．①求吃水线上船高约多少米时，可以恰好通过此桥；②若考虑涝季水面会再往上升1米，则求此时吃水线上船高的设计范围．
1．（2024·陕西西安·二模）如图，某一抛物线型隧道在墙体处建造，现以地面和墙体分别为轴和轴建立平面直角坐标系．已知米，且抛物线经过点请根据以上信息，解决下列问题．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)现准备在抛物线上的点处，安装一个直角形钢拱架对隧道进行维修（点，分别在轴，轴上，且，轴，轴），已知钢拱架的长为米，求点的坐标．
2．（2024·河北石家庄·一模）一个装满水的水杯竖直放置在水平桌面上时的纵向截面如图所示，其左右轮廓线、都是抛物线的一部分，已知水杯底部宽为 ，水杯高度为，杯口直径为 且， 以杯底的中点为原点，以为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）轮廓线、所在的抛物线的解析式为： ；
（2）将水杯绕点倾斜倒出部分水，杯中水面，如图 当倾斜角 时， 水面宽度为
3．（2024·辽宁鞍山·一模）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球锦标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．图2是图1所示乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度（距离球台的高度）为的点A处，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．
乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：）．测得如下数据：
(1)如图3，在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象．
(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是______，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是______．
②求满足条件的抛物线的表达式．
(3)技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练，如图2，乒乓球台长为，球网高为．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计）．
题型四 用一次函数和反比例函数解决实际问题
【例1】（2024·河南漯河·一模）河南作为粮食生产大省，发展设施农业是推动乡村产业振兴的重要抓手．设施农业就是利用工程技术手段和工业化生产的农业，能够为植物生产提供适宜的生长环境，使其在舒适的生长空间内，健康生长，从而获得较高经济效益．例如冬天的寒潮天气，气温较低不利于蔬菜生长，可用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时之问的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示温系统关闭阶段，请根据图中信息解答下列问题：
(1)求图象中段的函数表达式，并写明自变量的取值范围．
(2)解释线段的实际意义．
(3)大棚里栽培的这种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长．
本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数解析式．
1．实验数据显示，一般成年人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．

(1)求部分双曲线的函数表达式；
(2)假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
题型五 用一次函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·湖北襄阳·一模）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
(1)每日销售量（斤）与售价（元/斤）之间满足如图函数关系式．求与之间的函数关系式；
(2)若每天销售利润率不低于，且不高于，求每日销售的最大利润；
(3)该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少元（），已知每日最大利润为2592元，求的值．
本题考查了一次函数及二次函数的应用，利用函数解决实际问题时，要注意自变量的取值范围，这也是解决实际问题的难点和关键．
【例2】（2024·广东深圳·一模）飞盘运动是一种老少皆宜的健身项目，只要有一片空旷的场地就能让我们开心地锻炼．某商家销售某品牌的橡胶飞盘，成本价为每个16元，销售中平均每天销售量y（个）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如表所示：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设该商家每天销售该品牌的橡胶飞盘的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大? 最大值是多少?
1．（2024·湖北襄阳·模拟预测）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30元，每天销售 y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件．
(1)求 y 与x之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）．
(2)当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？ 最大利润是多少？
(3)如果每天的利润不低于3000 元，直接写出销售单价x(元)的取值范围．
2．（23-24九年级下·湖北随州·阶段练习）某公司开发出一种新技术产品，上市推广应用，从销售的第1个月开始，当月销售量（件）与第个月之间的函数关系如图1所示，月产品销售成本（元）与当月销售量（件）之间的函数关系如图2所示，每件产品的售价为100元．

(1)求出与和与之间的函数关系式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)推广销售的第三个月利润为多少？
(3)第几个月获得利润最大？最大利润是多少？
3．（2024·新疆·一模）某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2024年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜．经调查发现，甲蔬菜种植成本y与其种植面积x的函数关系如图所示，其中；乙蔬菜的种植成本为50元/．

(1)当甲蔬菜的种植面积______时，其种植成本；
(2)设2024年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？
(3)学校计划今后每年在这土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降．若甲蔬菜种植成本平均每年下降10%．乙蔬菜种植成本平均每年下降a%；当a为何值时，2026年的总种植成本为28920元？
题型六 用一次函数、反比例函数和二次函数解决实际问题
【例1】（2024·广西钦州·一模）百惠超市从果农处购进柚子的成本价为3元/千克，在销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售单价为多少元时，该超市每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
本题是以实际应用为背景的函数综合题，主要考查求一次函数、反比例函数、二次函数的关系式，解题的关键是根据图象求出一次函数、反比例函数、二次函数解析式．
1.（2024·广西·一模）某科技公司用160万元作为新产品研发费用，成功研制出成本价为4元/件的新产品，在销售中发现销售单价x（单位：元），年销售量y（单位：万件）之间的关系如下图所示，其中为反比例函数图像的一部分，为一次函数图像的一部分．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式．
(2)设销售产品年利润为w（万元），求出第一年年利润w与x之间的函数关系式，并求出第一年年利润最大值；
(3)在（2）的条件下，假设第一年恰好按年利润w取得最大值进行销售，现根据第一年的盈亏情况（若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本），决定第二年将这种新产品每件的销售价格x定在8元以上（），当第二年年利润不低于103万元时，请你根据题意，简单画出w与x之间函数关系的草图，直接写出x的取值范围．
时间
0
5
10
15
20
25
30
量杯中的水量
10
20
30
40
50
60
70
频率f（）
5
10
15
20
25
30
波长
60
30
20
15
12
10
水平距离
0
10
50
90
130
170
230
竖直高度
33
45
49
45
33
0
x
18
20
22
24
y
70
60
50
40