专题04 一次函数和反比例函数综合问题（3易错7题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
抢分通关04 一次函数和反比例函数综合问题
目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
一次函数和反比例函数是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容.每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分.
1．从考点频率看，一次函数和反比例函数的图象和性质是考查的基础，也是高频考点、必考点，所以对一次函数和反比例函数的图象和性质必须熟记.
2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！
易错点一 一次函数与反比例函数中由面积求点坐标
【例1】（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴交于点，与反比例函数的图象的一个交点为，过点作的垂线．
(1)求点的坐标及反比例函数的表达式；
(2)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标；
本题考查直线与坐标轴的交点，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，反比例函数综合几何问题，三角形的面积公式，综合性较强，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【例2】（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标．
【例3】（2024·山东济宁·一模）如图，点，是反比例函数的图象上的两点，连接、．
(1)求的值；
(2)求的面积；
(3)若点的坐标为，点是反比例函数图象上的点，若的面积等于面积的3倍，求点的坐标．
易错点二 一次函数中平移问题
【例1】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线与轴，轴交于点，点，直线与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)点在直线上．
①直接写出直线的解析式；
②若点在内部（含边界），求的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有4个整点，直接写出的值．
本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；一次函数的上加下减原则；已知点在直线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力．
【例2】（2024·河北石家庄·一模）如图，平面直角坐标系中，线段的端点为，．直线与轴，轴分别交于，两点，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，设移动时间为秒．某同学设计了一个动画：线段为蓝色光带，当有动点或动直线经过线段时，蓝色光带会变成红色．

(1)求直线的解析式；
(2)①若直线随点向下平移，当时，蓝色光带是否变红？
②点是直线上的一点，若点向下平移4个单位长度的过程中，能使蓝色光带变红，求点的横坐标的取值范围；
(3)当点，点与蓝色光带上的点三点共线时，直接写出与的函数关系式．
易错点三 一次函数与反比例函数中求线段和的最小值问题
【例1】（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)在y轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
【例2】（2023·辽宁盘锦·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．

(1)求此反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；
(3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．
题型一 一次函数的图象和性质
【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知点，在一次函数的图像上．
(1)用含有，，，的代数式表示的值．
(2)若，，．试比较和的大小，并说明理由．
本题考查一次函数的性质以及一次函数图像上点的坐标特征.
【例2】（2024·浙江杭州·一模）设一次函数（是常数，）．
(1)无论取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点坐标：
(2)若时，该一次函数的最大值是6，求的值．
1．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A．
(1)求该一次函数的表达式及点A的坐标；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围．
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知一次函数．
(1)已知关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根，试说明一次函数的图象过第一和第二象限．
(2)在（1）的条件下，已知另一函数的图象与y1图象的交点在第四象限，求不等式的解．
题型二 反比例函数的图象和性质
【例1】（2024·陕西西安·一模）已知反比例函数．
(1)若该反比例函数图象在每一个象限内，y都随着x的增大而减小，求m的取值范围；
(2)若点在此反比例函数图象上，求反比例函数的解析式．
本题考查了反比例函数的图象和性质.
1．（2024·福建南平·一模）反比例函数图象经过点，．
(1)求的值；
(2)若点在反比例函数图象上，其中，求的取值范围．
题型三 一次函数和反比例函数与不等式综合问题
【例1】（2024·贵州毕节·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于和两点，与x轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)直接写出关于的不等式的解集．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．根据反比例函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出一次函数大于反比例函数的值的的取值范围．
【例2】（2024·陕西宝鸡·一模）如图所示，一次函数图象与反比例函数图象相交于点和点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)当时，求x的取值范围．
1．（2024·山西朔州·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于，两点．

(1)求的值及一次函数的表达式．
(2)直接写出当时，的取值范围．
2．（2024·江西九江·一模）如图一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，．
(1)求一次函数的解析式；
(2)结合图象，直接写出不等式的解集．
3．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与x轴相交于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)若为x轴上的一动点，连接，当的面积为时，求点P的坐标．
题型四 一次函数和反比例函数中求三角形面积问题
【例1】（2024·山西大同·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点是点关于轴的对称点，连接，求的面积．
此题是反比例函数和一次函数综合题，考查了待定系数法、关于坐标轴对称等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
【例2】（2024·吉林白山·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴相交于点C，连接、．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
1．（2024·湖南长沙·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于两点，与轴交于点，连接．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)求的面积．
2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，D是反比例函数图象上的一个动点，过点向轴作垂线与一次函数图象交于点，其中点的坐标为．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，当的面积等于面积的2倍时，求点的坐标；
(3)若P是x轴上的一个动点，连接，当与相似时，求点D的纵坐标．
题型五 一次函数和反比例函数中求证问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南周口·一模）如图，反比例函数与正比例函数交于点和点C，与正比例函数交于点B和点D．
(1)求k与a的值，并求点B，C，D的坐标；
(2)求证：．
本题考查了反比例函数与正比例函数交点问题，求函数解析式，平行四边形的判定，平行线的性质，根据函数交点求出求解析式是解题关键．
1．（2024·湖南怀化·一模）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．如图，一次函数（a为常数，）与反比例函数（k为常数，）的图象相交于点和点．

(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，相交于点C；过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，相交于点D．求证：C，O，D三点在同一条直线上．
2．（2024·河南平顶山·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限，两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，直接写出的取值范围；
(3)将直线向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
题型六 一次函数和反比例函数中求线段长问题
【例1】（2024·广东珠海·一模）如图1．直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点．图2将线段向右平移m个单位长度，得到对应线段，连接，．当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作轴于点F，交反比函数图象于点E．

(1)求反比例函数表达式；
(2)求的长度．
本题考查求反比例函数，平行四边形的性质，反比例函数与一次函数的综合应用.
1．（2024·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第二、四象限内的，两点，与轴交于点．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在轴上找一点，使最大，求的最大值及点的坐标．
题型七 利用反比例函数的图象和性质探究平移问题
【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·模拟预测）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图象，如图，
列表：下表是与的几组对应值，其中 ；
描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整；
(2)通过观察函数图象，写出该函数的一条性质： ．
(3)利用函数图象，解不等式．
本题考查了反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程.
【例2】（2024·陕西西安·一模）乐乐同学在学习了反比例函数的基础上，进一步探究函数的性质．以下是他的研究过程，请补充完整．
(1)如表是y与x的几组对应值．
直接写出m的值，______；
(2)在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)观察图象，发现这个函数图象为中心对称图形，则它的对称中心为______；
(4)若直线与函数的图象交于第一象限内一点，则下面关于x的取值范围描述正确的是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山西大同·一模）中考新考法：注重过程性学习，某数学小组在研究函数时，对函数的图象进行了探究，探究过程如下：

(1)①与的几组对应值如下表，请补全表格；
②在上图平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，并根据描出的点画出该函数的图象；
(2)我们知道，函数的图象是由二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到的．类似地，请直接写出将的图象经过怎样的平移可以得到的图象；
(3)若一次函数的图象与函数的图象交于两点，连接，求的面积．






x
…
0
2
3
4
5
…
y
…
2
1
m
…
…
1
2
3
…
…
3
4
6
1
…