专题05 几何作图问题（含无刻度作图，2易错12题型）-2024年中考数学抢分精讲（全国通用）

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目录
【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）
几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。
1．从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。
2．从题型角度看，以解答题的第三题或第四题为主，分值8分左右，着实不少！
易错点一 由作角平分线过程求解
【例1】（2024·湖南怀化·一模）如图，以直角的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边于点D，交斜边于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，用表示的面积（其它同理），则＝（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G作于点H，得到，再由勾股定理求出，再推出，则问题可解
【详解】解：如图，过点G作于点H，

由尺规作图可知，为平分线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识.
【例2】（2024·湖南常德·一模）如图，已知，以点为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，过点作交于点，则的度数是 度．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的作法，平行线的性质；角平分线的作法得平分，再由平行线的性质，即可求解；理解角平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作法得：
平分，
，
，
，
故答案：．
【例3】（2024·江苏淮安·一模）如图，中，，，进行如下操作：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于M、N两点；②分别以点 M、N为圆心，以适当的长度为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点E，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，平行四边形的性质，等角对等边等，根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到，的长，进而得到的长．理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
易错点二 由作垂直平分线过程求解
【例1】（2024·浙江嘉兴·一模）如图所示的，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线，相交于外一点，且分别交点M，N．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质得，，进而可得，，求出，再由四边形内角和求出即可.
【详解】解：由作图步骤可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
又∵
∴，
∵
∴，
故选： B．
本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质.
【例2】（2024·广东珠海·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接，若，，则的周长为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据作图可得是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，然后可得，进而可得的周长．
【详解】解：根据作图可得是的垂直平分线，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为：，
故选：D．
【例3】（2024·吉林四平·模拟预测）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，可以求得 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键．
由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型一 尺规作角平分线
【例1】（2024·陕西渭南·一模）如图，已知，请用直尺和圆规在图中作菱形，要求点、、分别在边、和上（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见详解
【分析】先作的平分线再作的垂直平分线得到，则四边形为菱形；本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
【详解】解：如图：
菱形为如图所示：
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质.
【例2】（2024·广东茂名·一模）如图，已知，，是的一个外角．
(1)请用尺规作图法，求作射线，使平分．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了角平分线的尺规作图以及平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交和于点M和N，再以点M和N为圆心，大于的一半为半径画弧，两弧交于一点P，连接，即可作答．
（2）因为，得，根据外角性质，得，根据内错角相等两直线平行，即可作答．
【详解】（1）解：如图所示：
（2）解：∵，
∴．
∵，平分．
∴．
∴．
∴．
1．（2024·四川达州·模拟预测）如图，在Rt中，．
(1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离等于的长；
(2)若，，求点P到的距离？
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，含度角的直角三角形的性质，等角对等边等等，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键；
（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得点P在的角平分线上，据此作出的角平分线与交于点P即可；
（2）根据角平分线的性质只需要求出的长，利用含度角的直角三角形的性质分析求解．
【详解】（1）解：如图，点P即为所求，
（2）解：过点P作于D，
由题意得，平分，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴点P到的距离为．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．
(1)填空：由作图可知，射线是的______；
(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
【答案】(1)角平分线
(2)，理由见解析
【分析】
本题考查尺规作图--作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定．
（1）根据作图可知：射线是的角平分线；
（2）根据作图可知，得到，进而推出，即可得出结论．
【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线；
故答案为：角平分线；
（2），理由如下：
由作图可知：，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴．
题型二 尺规作垂直平分线
【例1】（2024·江苏宿迁·一模）如图，已知．
(1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接、．求证：四边形是菱形．
【答案】(1)作图见详解
(2)证明见详解
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的画法即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可证，可得，可证四边形是平行四边形，再结合垂直平分线的性质可得，由“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求证．
【详解】（1）解：分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接交于点，交于点，如图所示，

∴是对角线的垂直平分线；
（2）解：如图所示，连接，设与交于点，

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，且，
在中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴ 平行四边形是菱形．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，垂直平分线的画法，掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键．
1．（2024·山西吕梁·一模）如图，在中，．

(1)实践与操作：过点作三角形边上的高（要求：尺规作图并保留痕迹，不写作法，标明字母）．
(2)计算：在（1）的条件下，若，，求的长
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，勾股定理，掌握对的直角边是斜边的一半是解题的关键；
（1）根据尺规作图作垂线的方法作图即可；
（2）由含的直角三角形的性质，可求出，再由勾股定理求出，再由含的直角三角形的性质求解即可；
【详解】（1）如图所示，即为所求，

（2），，，
，
在中，．
是边上的高，
，
，
题型三 网格中有一线的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2024·吉林松原·一模）图①、图②均是的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图．

(1)线段的长为______；
(2)在图①中，以线段为腰画一个等腰钝角三角形；
(3)在图②中，以线段为边画一个轴对称四边形，使其面积为8．
【答案】(1)
(2)如图所示
(3)如图所示
【分析】
本题考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
（1）利用勾股定理即可求解；
（2）取格点C，使得，且，连接即可；
（3）取格点，使得，且，构成菱形，菱形面积为8，且为一个轴对称图形，即可得解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：如图，等腰如图所示；

（3）解：如图，四边形如图所示，
，
四边形为菱形，即为轴对称图形，
，
菱形面积为．

本题考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
【例2】（2023·吉林长春·一模）如图，在的正方形网格中（每个正方形的边长为1），点A和点B都在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按以下要求作图．
(1)图①中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为6；
(2)图②中，以A、B为顶点作一个平行四边形，要求顶点都在格点上，且其面积为10；
(3)图③中，以A、B为顶点作一个平行四边形（正方形除外），要求顶点都在格点上，且其面积为13．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析；
【分析】
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
（1）利用数形结合的射线画出平行四边形；
（2）利用数形结合的思想画出平行四边形；
（3）利用数形结合的思想画出平行四边形．
【详解】（1）如图1中，平行四边形即为所求；
（2）如图2中，平行四边形即为所求；
（3）如图3中，平行四边形即为所求．
1．（2024·河南·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．
(1)在图1中作等腰，满足条件的格点C有______个，请在图中画出其中一个．
(2)在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段上求作一点D，使得，并保留作图痕迹．
【答案】(1)4，见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定与性质；
（1）分别以、为圆心，长为直径画圆以及画的垂直平分线，找到与格点的交点即为所求；
（2）构造相似比为2的两个相似三角形即可．
【详解】（1）当以为底边时，点C应在线段的中垂线上，显然易找出点C，如图1、图2；
当以为腰时，如图3、图4．（画出其中一个即可）
故答案为：4；
（2）如图5，D即为所求作的点．
提示：∵，
∴与相似．
又∵，
∴．
题型四 网格中有一三角形的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)如图①，是内一点，在上找一点，使；
(2)如图②，在线段上找到点，连结，使的面积为3；
(3)如图③，在线段上找到点，连结，使的面积为3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）取格点，连接，交于，点即为所求；
（2）取格点，，连接交于，点即为所求；
（3）取格点，，连接交于，连接，，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，取格点，连接，交于，
由勾股定理可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
即：点为所求；
（2）的面积，
如图，取格点，，连接交于，
由图可知，，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
即：点即为所求；
（3）如图，取格点，，连接交于，连接，，
由图可知，，，，
则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
即：点即为所求．
本题考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
【例2】（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的（网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，点P在上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．

(1)在图1中，画，再在上画点E，使得；
(2)在图2中，画出线段的中点M，然后在上画一点F，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查格点作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质．
（1）根据平行四边形的性质，取格点D，连接，使得，再连接，然后连接，交与一点，连接点P于这一点，并延长交于点E，则，点E即为所求；
（2）取格点，连接交于点G，利用格点再取的中点Q，连接交于点M；再取格点，连接，使得，连接，交与点于点O，连接并延长交于点Z，最后连接交于点F，点M，点F即为所求．
【详解】（1）解：如图所示，，点E即为所求；

（2）
解：点M，点F即为所求．

1．（2024·江西南昌·一模）如图是的正方形网格，已知格点（顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)图1中，在边上找一点，作线段，使得；
(2)图2中，在边上找一点，作线段，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】
本题考查作图—应用与设计作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）取线段的中点，连接，则点即为所求．
（2）取格点，，使，且，连接，交于点，连接，则点即为所求．
【详解】（1）
解：如图1，取线段的中点，连接，
则得，
则点即为所求；
（2）
解：如图2，取格点，，使，且，
连接，交于点，连接，
则，
则，
，
，
则点即为所求．
2．（2024·浙江温州·一模）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
(1)请在图1中画出的高．
(2)请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求；
（2）取格点，连接交于，点就是所求的点．
【详解】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
题型五 网格中有四边形的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖北武汉·一模）如图是由小正方形组成的网格，四边形的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，先以点为位似中心，将四边形缩小为原来的，画出缩小后的四边形，再在上画点，使得平分四边形的周长；
(2)在图2中，先在上画点，使得，再分别在，上画点，，使得四边形是平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）取的中点，然后顺次连接即可；根据勾股定理可得，，结合图形可知，故，取格点，使得，则有，连接，再取点，连接，此时可有，，即四边形为平行四边形，则有，易得，，所以，易得，连接，则平分四边形的周长；
（2）取格点，，，使得，，，连接交于，易证明，所以，结合，可得，即为直角三角形，因为，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得；在网格中取点，连接交于点，则，过点作，交为点，即可获得答案．
【详解】（1）解：如下图，四边形，线段即为所求；
（2）如下图，，四边形即为所求．
本题主要考查了尺规作图—复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键．
1．（2023·吉林长春·三模）如图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图．

(1)在图①中的线段BC上找一点E，连接AE，使为等腰三角形．
(2)在图②中的线段AD上找一点F，连接BF，使为直角三角形．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）因为为等腰三角形，所以有，因为直尺没有刻度无法直接截取，只能考虑相似三角形对应成比例的办法找到；在格点上取点，连接并延长交于，则点为所找的点，连接即可； 根据：如图中,有，即：，求得，则，又,有，根据勾股定理求得，可得出，从而得到
（2）①当为直角边时，点应该和点重合，直接连接即可．
②当为斜边时，如图为与网格线的交点，连接，则此时为直角三角形.
根据：由可得：，可分别求出,;根据勾股定理求得：,有,可得到为直角三角形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）解：如图所示，有两种可能，①与点重合；②为与网格线的交点．
【点睛】本题考查了作图—应用与设计作图、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，找到对应线段成比例是求解本题的关键．
题型七 特殊图形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在和中，，，与相交于点，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹）

(1)如图1，作线段的垂直平分线；
(2)如图2，在上分别取点，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明得到，，所以，延长、，它们相交于点，则，所以垂直平分；
（2）的垂直平分线交于，连接交于，连接交于点，先证明，则可判断，所以，由于，则可证明，所以．
【详解】（1）解：如图，延长、，它们相交于点，则直线即为所作，
；
（2）解：如图，的垂直平分线交于，连接交于，连接交于点，则为所作，
．
本题考查了作图—复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质．
【例2】（2023·江西·一模）如图，四边形中，，，，请用无刻度的直尺按要求画图（不写做法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中，画出的中点．
(2)在图2中，画出的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长、，它们相交于点，连接、，它们相交于点，连接并延长交于点；
（2）连接交于点，连接交于点，然后延长交于点，则点为的中点．
【详解】（1）如图，点为所求．
（2）如图，点为所求．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了中位线的性质和线段垂直平分线的性质．
1．（2023·江西南昌·二模）如图，在两个等腰直角和中，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）．

(1)如图①，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形；
(2)如图②，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）延长交于，连接，可得为等腰直角三角形，进而可得，由题易得，故四边形为平行四边形；
（2）可利平行四边形的对角线互相平分，得到的中点，而是的中点故得中位线，平行于，交于即可解答．
【详解】（1）解：延长交于，连接，四边形为平行四边形，即所求作四边形；

（2）解：如图2所示，四边形即为所求．
解法一：在（1）的基础上连接、交于一点得平行四边形中心，连接和平行四边形中心并延长交于H点，四边形即为所求．
解法二：在（1）的基础上连接、交于一点得三角形的重心，连接和三角形的重心并延长交于H点，四边形即为所求．

【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把构造中点或平行线段，逐步操作．同时也考查了平行四边形的判定和性质．
题型七 平行四边形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，E为的中点，仅用无刻度的直尺作图：

(1)在上取点M，使四边形为平行四边形；
(2)在的延长线上取一点F，使四边形为平行四边形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长交于点M，则点M即为所求，因为四边形为平行四边形，则，又因为E为的中点，O为的中点，所以，即，所以四边形为平行四边形；
（2）连接并延长交的延长线于点F，连接，则点F即为所求，因为四边形为平行四边形，则，所以，又因为E为的中点，所以，且，所以，即，所以四边形为平行四边形．
【详解】（1）解：点M即为所求：

（2）解：如图，点F即为所求：

本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关．
【例2】在平行四边形中，为的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图1，在上找出一点，使点是的中点；
(2)如图2，在上找出一点，使点．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接和，它们的交点为，延长并延长交于，则点为所作；
（2）连接交于点，则点为所作．
【详解】（1）解∶如图1，点就是所求作的点∶
（2）解：如图2，点就是所求作的点∶
【点睛】本题考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
1．已知平行四边形是中心对称图形，点是平面上一点，请仅用无刻度直尺画出点E关于平行四边形对称中心的对称点．
(1)如图1，点是平行四边形的上一点；
(2)如图2，点是平行四边形外一点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，，交于点O，再连接并延长，与交于点F即可；
（2）同（1）的方法找出点O，连接，交于G，连接并延长，交于H，连接并延长，与的延长线交于点F．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；
（2）如图，点F即为所求．
【点睛】本题考查了平行四边形的对称性，中心对称图形的性质，解题的关键是通过对称构造图形，得到需要的点和线．
2．如图，四边形是平行四边形，为上一点．

(1)如图①，只用无刻度直尺在上作出点，使得四边形为平行四边形；
(2)如图②，用直尺和圆规作出菱形，使得点、、分别在、、上；
（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作的点．
（2）连接，交于点，连接，延长交于点，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，，，，证和互相垂直平分，四边形即为所求作的菱形．
【详解】（1）画法：如下图，连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求作的点．

理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
四边形是平行四边形
（2）画法：如下图，连接，交于点，连接，延长交于点，作线段的垂直平分线交于，交于，连接，，，，四边形即为所求作的菱形．

理由：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又，
∴，，
∴，
∵和互相垂直平分，
∴四边形是菱形
【点睛】本题考查了仅用无刻度直尺、尺规作图，结合全等三角形、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、尺规作垂直平分线，灵活运用知识点作图是解题的关键．
题型八 矩形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江西鹰潭·一模）如图，是两个全等的矩形和矩形拼成的图案，请仅用无刻度的直尺按要求作图．

(1)在图（1）中作出一个等腰直角三角形．
(2)在图（2）中的矩形内作出一条直线和平行．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】根据全等矩形的性质作图；
根据矩形的对角线互相平分及三角形中位线的性质作图．
【详解】（1）如图：等腰直角三角形即为所求；

（2）如图2，直线即为所求．

本题考查了复杂作图，掌握特殊平行四边形的性质是解题的关键．
【例2】在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形．
(2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，相交于点，则点为的中点，也是菱形的对角线交点，连接并延长交于点，则点即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，连接交于点，则为正方形的对角线，为的中点，也是正方形的对角线交点，连接并 延长交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图1所示，连接，相交于点，连接并延长交于点，连接，则点即为所求，
在矩形中，，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

（2）解：如图2所示，连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并 延长交于点，连接，则点即为所求，
四边形是矩形，
，，，，，
点为中点，
，，
，，
点为的中点，
，
在中，，在中，，
，，
四边形是平行四边形，
又，，
四边形是正方形．

【点睛】本题考查了直尺作图，矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线性质，根据矩形对角线的性质确定菱形和正方形的对角线交点，是解本题关键．
1．已知矩形ABCD，请用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，在矩形ABCD内部找一点O，使得OA＝OB＝OC＝OD；
(2)如图2，点E为AD边上一点，DE＝2AE，在BC上画一点F，使BF＝2CF；
(3)如图3，点P为CD的中点，①画出矩形的一条对称轴；②画出PC的中点Q．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连接AC，BD交于点O，点O即为所求；
（2）连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交BC于点F，点F即为所求；
（3）连接AC，BD交于点O，作直线OP即可，直线OP交AB于点E，连接PB交AC于点F，连接EF，延长EF交CD于点Q，点Q即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，连接AC，BD交于点O，点O即为所求；
理由：∵四边形是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD；
（2）如图2中，连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交BC于点F，点F即为所求；
理由：∵DE＝2AE，
根据中心对称的性质可得：，
∴BF＝2CF；
（3）连接AC，BD交于点O，作直线OP即可，直线OP交AB于点E，连接PB交AC于点F，连接EF，延长EF交CD于点Q，
如图3中，直线OP，点Q即为所求．
理由：∵为CD的中点,为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴直线是对称轴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点．
【点睛】本题考查无刻度作图，矩形的性质，中心对称的性质，轴对称的的性质，三角形中位线的性质与判定，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2．图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形．

(1)在图中画出以为边的矩形，且点，均在格点上；
(2)在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据矩形的性质找到点，的位置，再连线即可；
（2）根据菱形的性质找到点，的位置，再连线即可．
【详解】（1）解：如图中，矩形即为所求答案不唯一；

（2）如图中，菱形即为所求．

【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用矩形和菱形的性质解决问题．
题型九 菱形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2023·江苏盐城·三模）只用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．

(1)如图1，已知．点E在OB边上，其中四边形是平行四边形，请你在图中画出的平分线．
(2)如图2．已知E是菱形中边上的中点，请作出边上的中点F．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）由等腰三角形三线合一，可知的角平分线过线段的中点，由平行四边形的性质可知，的中点即为平行四边形对角线的交点，过与的中点的射线即为所求，作图即可，如图1；
（2）由菱形的性质，三角形的三条中线交于一点即重心，作的中线，，交点为重心，连接并延长交于，即为所求，如图2．
【详解】（1）解：如图1，连接、交于点，过作射线，即为所求；

（2）解：如图2，连接，，与交于点G，连接，与交于点，连接并延长交于，即为所求；

本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的性质，角平分线，中线、重心等知识．熟练掌握等腰三角形三线合一，三角形的三条中线交于一点是解题的关键．
【例2】如图，菱形的边上的一点E（不与A，B重合），请仅用无刻度的直尺画图．
(1)使（保留画图痕迹）；
(2)在上找到点G，使，作出等腰．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图复杂作图，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图1中，连接交交于点，连接，延长交于点，此时；
（2）连接交于点，与相交于点M，连接交于点G，连接交于点F，连接，此时，是等腰三角形．
【详解】（1）如图所示：

（2）如图所示：
1．在菱形中，点E是边的中点，试分别在下列两个图形中按要求仅使用无刻度的直尺作图．

(1)在图1中，过点E作线段，交于点F，并说明的理由；
(2)在图2中，连接，在上找一点，使的值最小（不需说明理由）．
【答案】(1)见解析，理由见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，利用轴对称求最短路径．
（1）根据菱形的性质，可得为的中位线，从而得到，即可说明理由；
（2）根据菱形的性质可知，、两点关于对称，再利用两点间线段最短，即可确定点；
灵活利用相关性质解决问题是解题关键．
【详解】（1）解：如图，连接、交于点O，连接并延长交于点F，则线段为所求．

理由如下：四边形为菱形，
点O为的中点
点E为的中点，
为的中位线，
，即；
（2）解：如图，连接交于点，则点即为所求．

2．请仅用无刻度的直尺作图：

①如图1，菱形中，E是的中点，作出边的中点F；
②如图2，菱形中，E是对角线上一点（），以为边作一个菱形．（保留作图痕迹，不写做法）
【答案】①见解析；②见解析
【分析】①连接，，得到交点O，连接并延长，交于F，可证，推出，即点F是边的中点；
②连接，交于点O，延长交于点Q，连接并延长交于P，连接交于F，菱形即为所求作．
【详解】解：①如图1中，点P即为所求作；

②如图2中，菱形即为所求作．

【点睛】本题考查无刻度直尺作图，菱形的判定和性质等，解题的关键是掌握菱形的判定定理和性质定理．
3．如图，在菱形中，点E在边上，仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹，不需要写作法．

(1)如图1，在上画点F，使四边形是平行四边形；
(2)如图2，在上画点K，使；
(3)如图3，若点G在上，在上画点H，使四边形是菱形．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)见解析．
【分析】（1）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接、，利用菱形的中心对称性得到，则四边形即为所求；
（2）连接，相交于点O，连接并延长交于点F，连接交于P，连接并延长交于点K，根据菱形的轴对称性得到，由（1）得，则；
（3）连接，相交于点O，连接并延长交于点M，连接并延长交于点N，连接交于点H，利用与互相垂直平分得到四边形为菱形．
【详解】（1）解：如图，四边形即为所求的平行四边形；
；
（2）解：如下图所示：点K即为所求， ；
（3）解：如图，四边形即为所求的菱形； ．
【点睛】此题考查了尺规作图，菱形和平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质以及尺规作图的方法．
题型十 正方形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）如图，在正方形中，，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）

(1)在图①中，画出的中点M；
(2)在图②中，画出的中点N．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查无尺规作图，涉及到正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；
（1）连接，连接的交点和点E，交于点M，点M为所求；
（2）作法不唯一，根据正方形的性质，由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交与点N，点N即为所求．
【详解】（1）解：如图，点M为所求；

（2）解：如图，点N即为所求，

由（1）得：点M为的中点，连接与交于点H，连接交于点N，点N即为所求；
∵四边形是正方形，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
本题考查无尺规作图，涉及到正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质.
【例2】如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，E是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

(1)在图（1）中，M是与网格线的交点，画出点M关于的对称点N；
(2)在图（2）中，先将线段绕点A顺时针旋转，画对应线段AF，再在上画点G，并连接，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点P，连接，则与网格线的靠近D的交点即为所求；
（2）作正方形，连接正方形对角线，与交点即为所求．
【详解】（1）如图1所示点N即为所求；
取格点P，连接，与网格线的交点为N；

（2）所示线段和点G即为所求；
取格点F，连接AF，再取格点T，连接，连接交于G

【点睛】本题考查了作图-旋转变换，轴对称变换，正方形的性质，解决本题的关键是掌握旋转和轴对称的性质．
1．（2023·江西九江·三模）如图．已知正方形，请仅用无刻度直尺作一个平行四边形．

(1)如图1，若点是边上任意一点，请作．
(2)如图2，点是正方形的对角线上不与中点重合的一点，请以、为边作一个菱形．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）先作出对角线的交点，连接并延长交于，连接，则可证明，得到，而，所以四边形为平行四边形；
（2）先作出对角线的交点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，通过证明，而，，则可判断四边形为菱形．
【详解】（1）解：画出图如图所示：

连接相交于点，连接并延长交于，连接，四边形即为所作；
（2）解：画出图如图所示：

连接与交于点，延长交于，连接，并延长交于，连接交于，连接，四边形即为所作．
【点睛】本题考查了作图—复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，几何几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了平行四边形的判定、菱形的判定与正方形的性质．
2．如图，E是正方形的边的中点．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不写画法）．

(1)在图1中，画出边的中点F．
(2)在图2中，以为较长对角线画菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，交于点O，连接并延长交于点F，则点F满足条件；
（2）连接交于点M，连接交于点N，则四边形满足条件．
【详解】（1）解：如图，点F即为所求；

（2）解：如图，四边形即为所求．

【点睛】本题考查作图——复杂作图，涉及正方形的性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握基本几何图形的性质，将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
3．仅用无刻度直尺完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．保留作图痕迹，不写作法．
(1)如图1，已知四边形为平行四边形，在上画点M，使直线平分平行四边形的周长和面积；
(2)如图2，已知点E在边上，四边形是矩形，请你在图中画出的平分线；
(3)如图3，已知四边形是平行四边形，且，点E为上一点，请在上画点G，使；
(4)如图4，已知四边形是平行四边形，且，，连接，点P为上的一点，请以为边画一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）如图1，连接交于点O，过点O，P作直线，交于M，则直线平分平行四边形的周长和面积；
（2）如图2，连接，交于点G，作射线则平分；
（3）如图3，连接交于点O，连接延长交于点G，点G即为所求作．
（4）如图4，连接延长交于点E，连接交于点O，连接，延长交于F，连接交于点T，连接即可．
【详解】（1）解：如图1，直线即为所求；
（2）如图2，射线即为所求；
（3）如图3，点G即为所求作．
（4）如图4，如图，四边形即为所求作．
【点睛】本题是仅用无刻度直尺完成的作图题，考查了平行四边形，矩形，菱形、正方形的性质，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型十一 多边形中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．

(1)在图1中作出以为对角线的一个菱形；
(2)在图2中作出以为边的一个菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形．
（2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：


（2）解：如图，菱形即为所求．
是菱形，且要求为边，
①当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，

②当为上底边的时候，作，且，向左下偏移如图所示，

③当为下底边的时候，作，且，向左上偏移如图所示，

④当为下底边的时候，作，且，向右上偏移如图所示，

本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图．
【例2】已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）
(1)在图①中，画一个菱形；
(2)在图②中，画出正五边形的中心点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，交于点，则：四边形即为所求；
（2）作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点O即为所求．
【详解】（1）如图，四边形即为所求；
（2）如图，点即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
1．已知正六边形的边长是，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作图形的对称轴；
(2)在图2中作一个面积为的矩形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别延长交于点M，连接交于点O，连接，则即为所未作；
（2）分别连接，交于N，交于点P，则矩形的面积为．
【详解】（1）解：分别延长交于点M，
由题意知，，
则是等边三角形；
连接交于点O，连接，则O是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴是所作图形的对称轴；

（2）解：分别连接，交于N，交于点P，
由正六边形的性质知：，，，
∴，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∴四边形是矩形，
矩形的面积为．

【点睛】本题考查了正六边形的性质，矩形的判定，勾股定理，无刻度直尺作图，等边三角形的性质与判定，熟练掌握这些知识并灵活运用是关键．
题型十二 圆中的无刻度作图
【例1】（新考法，拓视野）（2024·江苏淮安·一模）请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹．（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）
(1)如图1，内接于，，请在图中画一个含有圆周角的直角三角形；
(2)如图2，为的内接三角形，D是的中点，E是的中点，请画出的角平分线．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图−应用与设计，圆周角定理，三角形的重心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）连接，，延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，则射线即为所求．
【详解】（1）解：连接，，,由圆周角定理可知，
∵，
∴，
延长交于，即为所求；
（2）连接，交于点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接，
∵D是的中点，E是的中点，
∴为的重心，则为中边上的中线，
∴为的中点，
∴垂直弦且平分，
∴，
则射线即为所求．
本题考查作图−应用与设计，圆周角定理，三角形的重心，角平分线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【例2】（2023·江苏盐城·二模）已知：如图，是的直径，点C在上，请用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）．

(1)如图①，若M是半圆的中点，且与C点在同侧，画出的平分线．并说明理由；
(2)如图②，若，画出的平分线．
【答案】(1)画图，理由见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）作直径，作射线即可，理由见解析；
（2）连接，交于点，作直线交于点，作射线即可，由可得，从而得出，从而得出，再由等腰三角形性质得出，推出，最后得出结论．
【详解】（1）如图①，即为所求的平分线；

证明：∵M是半圆的中点，
∴，
∴直径直径，
∴，
∴，
即平分．
（2）如图2中，射线即为所求．

【点睛】本题考查作图复杂作图，角平分线的概念，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
1．（2023·江西萍乡·二模）如图，的三个顶点在同一个圆上，，点D，E分别为，的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．（不写画法，保留作图痕迹）．
(1)在图1中画出该圆的圆心；
(2)在图2中画出的平分线．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）连接、交于点G，连接并延长，交于点O，即点O为圆心；
（2）连接，并延长交于点F，连接，即为的平分线．
【详解】（1）解：如图1中，点O即为所求圆心；理由如下：
∵点D，E分别为，的中点，
∴平分，
∴，
∵的三个顶点在同一个圆上，，
∴为直径，
∴点O为圆心．

（2）解：如图2中，射线即为所求的平分线；理由如下：
∵，点E是的中点，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴平分．

【点睛】本题考查作图−复杂作图，三角形重心的性质、垂径定理、圆周角定义、角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．