2024安庆一中高一下学期期中数学试题含解析

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满分：150 命题：高一年级数学组
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A 3B. C. D.
2. 已知，，与的夹角是，则（ ）
A. B. C. D.
3. 风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器．如图所示，在一个简易风筝面的示意图中，AC垂直平分BD，E为垂足，，，则（ ）
A. 8B. C. D. -8
4. 已知的重心为O，若向量，则（ ）
A. B. C. D.
5. 在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
6. 某人要制作一个三角形，要求它三条高的长度分别为，则此人能
A. 不能作出这样的三角形B. 作出一个锐角三角形
C 作出一个直角三角形D. 作出一个钝角三角形
7. 在中，，，边上的中线，则的面积S为( )
A. B. C. D.
8. 已知圆的半径为1，为该圆的两条切线，为两切点，那么的最小值为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若复数的共轭复数为，则
B. 若是关于方程的一个根，则
C. 若复数满足，则的最大值为
D. 已知是方程在复数域的一个根，则
11. 的三个内角所对边的长分别为，其外接圆半径为R，内切圆半径为r，满足，的面积为6，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为___________．
13. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，，满足条件：与夹角为α，且，与的夹角为45°．若，求的值______．
14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在四边形ABCD中，＝(6，1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，且∥.
(1)求x与y的关系式；
(2)若⊥，求x、y的值．
16. 定义一种运算：.
（1）已知为复数，且，求；
（2）已知、为实数，也是实数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.
17. 在如图所示的中，有.

（1）求的大小；
（2）直线绕点C顺时针旋转与的延长线交于点D，若为锐角三角形，，求长度的取值范围.
18. 近年来,为“加大城市公园绿地建设力度,形成布局合理的公园体系”,许多城市陆续建起众多“口袋公园”、现计划在一块边长为200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公园”、如图所示,以中点A为圆心,为半径的扇形草坪区,点在弧BC上（不与端点重合）,AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ为步行道,其中PQ与AB垂直,PR与AC垂直.设.
（1）如果点P位于弧BC的中点,求三条步行道PQ、PR、RQ的总长度;
（2）“地摊经济”对于“拉动灵活就业、增加多源收入、便利居民生活”等都有积极作用.为此街道允许在步行道PQ、PR、RQ开辟临时摊点,积极推进“地摊经济”发展,预计每年能产生的经济效益分别为每米5万元、5万元及5.9万元.则这三条步行道每年能产生的经济总效益最高为多少?（精确到1万元）
19. 对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
（1）设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由；
（3）已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．