2024安庆一中高一上学期10月第一次阶段性检测数学试题含解析

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数学 第一次阶段性检测
（考试总分：150分 考试时长：120分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1. 若关于x的不等式的解集是或，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用根与系数关系求得，进而求得.
【详解】依题意，关于x的不等式的解集是或，
所以关于x方程的根为或，
所以，
所以.
故选：A
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到，或，求出交集.
【详解】，
等价于，解得或，
故或，
所以.
故选：B
3. 设，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.
【详解】设，
或，
所以，所以是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 命题“，是奇函数”的否定是（ ）
A. ，是偶函数B. ，不是奇函数
C. ，是偶函数D. ，不是奇函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.
故选：B.
5. 已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令求，再利用不等式的性质求的取值范围.
【详解】令，
∴，即，
∴，故.
故选：D
6. 若a，R，记，则函数(R)的最大值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值.
【详解】比较函数与函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像：
当时，令，则解得，；
当时，令，则，解得，
所以函数与的交点坐标为，
，
由图可知时，函数有最大值1.
故选：C.
7. 已知定义域为的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题知当时，，进而结合递推即可得当时，．
【详解】解：当时，，
易知当时，，
因为，所以，
所以当时，；当时，，综上，当时，．
故选：D．
8. 已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案.
【详解】取，则，即，
故在上单调递减，
，
解得，
从而，即，则，
解得
所以原不等式的解集是．
故选：D.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9. 已知，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由列举法可判断A项错误；由不等式性质可判断BC正确；由作差法可判断D项错误.
【详解】对于A，若，令，，则，，，故A错误；
对于B，显然，则，则，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，同理可得，
即，故C正确；
对于D，，因为，所以，，，故，即，故D错误．
故选：BC
10. “方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】求出“方程没有实数根”时，实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程没有实数根，则，解得，
因为，，，
，
所以，“方程没有实数根”的一个充分不必要条件可以是、，
故选：BC.
11. 已知函数为R上的单调函数，则实数的取值可以是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】AC
【解析】
【分析】由已知在上单调，讨论，并确定的可能范围，结合一次函数性质，分段函数的单调性列不等式求的范围.
【详解】因为函数为R上单调函数，所以函数在上单调，
当时，在单调递增，
又在上单调递减，与已知矛盾；
当时，由函数在上单调，
可得，且函数在上单调递增，
所以函数为R上的单调递增函数，
所以，所以，
故选：AC.
12. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的定义域可以是空集
B. 函数图像与y轴最多有一个交点
C. 函数的单调递增区间是
D. 若，则定义域、值域分别是，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据函数的概念、单调性、定义域与值域，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，函数的定义域为非空数集，不能为空集，A错误；
对于B，由函数的定义，函数的图像与直线（轴）最多有一个交点，B正确；
对于C，函数的单调递增区间是和，C错误；
对于D，若，则定义域满足，解得，
即函数定义域为，又，，
所以，即函数的值域为，D正确；
故选：BD．
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13. 已知，则____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用换元法，令，则，然后代入即可求解.
【详解】令，则，，
所以，，
所以，
故答案为：
14. 若的定义域为，则函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合抽象函数定义域的求法可得答案.
【详解】由已知可得，解得，
则函数的定义域为,
故答案为：,
15. 设,则的最大值为 ________．
【答案】
【解析】
【详解】由两边同时加上
得两边同时开方即得：（且当且仅当时取“=”），
从而有（当且仅当,即时，“=”成立）
故填：.
考点：基本不等式.
【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.
16. 若规定E=的子集为E的第k个子集，其中k=，则
（1）是E的第____个子集；
（2）E的第211个子集是_______
【答案】5，
【解析】
【详解】（1）由题意新定义知，中，，，故第一空应填5；
（2）因为，所以E的第211个子集包含，此时211-128=83；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时83-64=19；
又因为，，所以E的第211个子集包含，此时19-16=3；
又因为，，所以E的第211个子集包含，
此时3-2=1；因为，所以E的第211个子集包含；
故E的第211个子集是．故第二空应填．
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17. 已知集合，．
（1）若，求；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入，求出集合，，再根据并集的定义求解即可；
（2）根据题意，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
解：当时，，
所以或，
所以或= 或；
【小问2详解】
解：因为，
当， 即， 时，因为，不满足题意；
当时，则有，解得；
综上所述，实数m取值范围为.
18. 已知
（1）函数的值域；
（2）用定义证明在区间上是增函数；
（3）求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）最大值，最小值
【解析】
【分析】（1）对函数化简变形后利用分式的性质可求得答案，
（2）任取，，且，然后作差变形，判断符号，从而可证得结论，
（3）由在上递增，可求得其最值.
【小问1详解】
由题意，函数，
因为，所以，
所以的值域为．
【小问2详解】
任取，，且，
则，
，
，，
，
即，
故函数在区间上是增函数．
【小问3详解】
由知函数在区间上是增函数，
，．
19. 某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔（单位：分钟）满足，．经测算，该路无人驾驶公交车载客量与发车时间间隔t满足：，其中．
（1）求，并说明的实际意义；
（2）若该路公交车每分钟的净收益（元），问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．
【答案】（1），的实际意义为发车时间间隔为5分钟时，载客量为35
（2）当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元
【解析】
【分析】（1）代入计算，实际意义即题设中的说明；
（2）求出净收益函数，分段说明函数的单调性得最小值，比较后即得结论．
【小问1详解】
．
实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．
小问2详解】
，
∴当，，，
对，，设，，，
，，在上是增函数，因此是减函数，
∴t＝5时，y的最大值为．
当，时，，该函数在区间上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值18.8．
综上，当发车时间间隔为5分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，每分钟的最大净收益为元．
20. 设函数最小值为.
（1）求的值；
（2）若，，为正实数，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，先求出的分段函数，画出函数图象，结合图象进行分类讨论，即可得出结果；
（2）根据已知条件，结合基本不等式求解即可.
【小问1详解】
，画出函数的图象，如下图：
当时，，
当时，，
当时，，
所以当时，取最小值.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为，，为正实数，
则
当且仅当，即，，时取等号，
所以的最小值为.
21. 已知定义在上的函数满足，二次函数的最小值为，且．
（1）分别求函数和的解析式；
（2）设，，求的最小值．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）通过构造方程组的方法求得，设，根据已知条件可得的解析式；
（2）求出，分、、讨论可得答案.
【小问1详解】
定义在上的函数满足①，
可得②，
由①②可得；
设二次函数，
因为的最小值为，且，
所以，解得，
可得；
【小问2详解】
，
当时，在上单调递增，
所以，
当时，在上单调递减，
所以，
当时，所以，
所以．
22. 1.若函数f（x）满足：存在整数m，n，使得关于x的不等式的解集恰为[m，n]，则称函数f（x）为P函数．
（1）判断函数是否为P函数，并说明理由；
（2）是否存在实数a使得函数为P函数，若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不是P函数，理由见解析
（2）存在，a=1
【解析】
【分析】（1）先根据函数特征为第一象限的双曲线的一支，且m，n为整数，得出，mn＞1，再根据函数单调性，得出mn＝1，推出矛盾，从而作出判断；（2）由二次函数的图象特点可知，要想函数为P函数，整数m，n是方程的两个根，且，从而得到m（1－n）＝1，从而得到m，n的值，a的值
【小问1详解】
函数不是P函数，理由如下：
因为m，n为整数，由题意可知，即mn＞1，
令，即，解得，
若函数为P函数，
则，即mn＝1，而mn＞1，所以不存在这样的m，n，
所以函数不P函数；
【小问2详解】
因为关于x的不等式的解集恰为[m，n]
所以，即
将①代入③得，m（1－n）＝1
又m，n为整数，m＜n，所以，解得，此时a＝1，满足题意，
综上所述，存在实数a使得函数为P函数，a＝1