2024年中考数学精选压轴题之三角形全等练习附解析

这是一份2024年中考数学精选压轴题之三角形全等练习附解析，共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，且∠OAB=90°，A(−1,3)则点B的坐标是（ ）
A．(1,4)B．(2,4)C．(3,4 )D．(4,4)
2．如图所示，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则CD的长为．（ ）
A．32B．4C．25D．4.5
3．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠CAD交BD于点E.过点E作EF⊥AE，交BC于点F，若四边形AEFB的面积为1，则CD的长为（ ）
A．22B．1C．2D．2
4．如图，O是等边△ABC内一点，OA=6,OB=8,OC=10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为6；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO'=24+123；⑤S△BOC=12+163．其中正确的结论有（ ）个
A．5B．4C．3D．2
5．如图，已知 △ABC 和 △ADE 都是等腰三角形， ∠BAC=∠DAE=90° ， BD，CE 交于点F，连接 AF ，下列结论：①BD=CE ；②BF⊥CF ；③AF 平分 ∠CAD ；④∠AFE=45° .其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC2的值是（ ）
A．10B．13C．20D．26
7．将四个全等的三角形按如图所示的方式围成一个正方形ABCD，记△AED的面积为S1，四边形EFCG的面积为S2.若EG∥CF，EG=3，S1S2=16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．23B．94C．32D．92
8．如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF:FB=1:2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM，有如下结论：①DE=AF；②AN=24AB；③∠ADF=∠GMF；④S△ANF:S四边形CNFB=1:8．上述结论中，正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在等边△PQB中，点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），再以AB为边作等边△ABC，连接PC.有以下结论：①PB平分∠ABC；②AQ=CP；③PC//QB；④PB=PA+PC；⑤当 BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，其中一定正确的有（ ）
A．①②③B．②③④C．③④⑤D．②③④⑤
10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC中点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，交AB于点M．过点B作BF⊥BC交CE的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）（请填序号）
①△ACD≌△CBF；②∠BDM＝∠ADC；③连接AF，则有△ACF是等边三角形；④连接DF，则有AB垂直平分DF．
A．①②③B．①②④C．①③④D．①④
11．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
①AD=BE ；②PQ∥AE； ③AP=BQ ；④DE=DP ；⑤∠AOB=60∘
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
12．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA.其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13． 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，连接BE，将△ABE沿着BE翻折得到△FBE，EF交BC于点H，延长BF，DC相交于点G，若DG=8，BC=12，则EH= ．
14．如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，点E在边AB上，将△BCE沿CE叠至△FCE． 若EF的延长线经过点D，CF平分∠ACB，BE=1，则DEAE的值为 ，AB的长为 ．
15．如图，已知在四边形ABCD内，DB＝DC，∠DCA＝60°，∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，则∠ACB＝ .
16．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF=AG，则BE的长为 ．
17．如图，正方形ABCD中，点E．F分别在边BC，CD上，AB=6，∠EAF=45°，连接BD交AF于点N，交AE于点M，若CE=4，则DN为 ．
18． 如图， 在 △ABC 中， ∠BAC=30°，AD 平分 ∠BAC， 点 E 在 BC 的延长线上， ∠CAE=75°， 若 CE=BA+AC， 则 ∠B的度数为 ．
三、解答题
19．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E是直线AB上两点．∠DCE＝45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE2＝AD2+BE2（不必证明）；
（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2＝AD2+BE2；
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，点M为边AB的中点，点D在边BC上．
（1）若AC=3，BC=4，MD⊥AB(如图①)，求MD的长；
（2）过点M作ME⊥MD与边AC交于点E(如图②)，试探究：线段AE、ED、DB三者之间的数量关系，并证明你的结论．
21． 已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB=AC，AD=AE，若点D在BC边上运动时，总保持∠ADE=∠B，连接CE,DE与AC交于点F．
（1）①如图1，当点D为BC边中点时，则CEBC的值为 ▲ ；
②如图2，当点D不为BC边中点时，求证：CE=BD；
（2）如图3，当点D在BC边上运动中恰好使得AE∥BC时，若AB=5，BC=6，求DF的长．
22．Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，点D是Rt△ABC直角边BC所在直线l上一点，连接AD，以AD为直角边向上作等腰△ADE，∠ADE=90°，AD=DE，过点E作EF⊥l，垂足为F．
（1）如图1，当点D在线段BC上，且CD=2时，请你通过观察、测量、猜想，直接写出DF= ；EF= ；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上，且CD=2时：
①请你由观察、猜想直接写出EF=_▲_；
②请你规范、严谨的证明：CD=BF．
（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，且BD=2时，点P为线段AD上任意一点，以CP为斜边向上做等腰Rt△CPG，CG=PG，∠CGP=90°，连接AG，已知AD=10，请你直接写出当AG长度最短时，线段AP的值为 ．
23．如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
24．如图，CD为△ABC的中线，以CD为直角边在其右侧作直角△CDE，CD丄DE，BC与DE交于点F，∠CED=30°．
（1）如图1，若CF=EF=5，求CD的长；
（2）如图2，若将BC绕点C逆时针旋转120°得到CG，连接AG、AE，探究AG、AE的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB=90°，AC=2，BC=23，直线CE上有一点M，连接MF，将△CFM沿着MF翻折到△ABC所在的平面内得到△NFM，取NF的中点P，连接AP，当AP最小时，请直接写出△APB的面积．
25．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠BCD＝60°，AB＝AD，BC＝DC，在边BC、DC所在直线上分别有E、F两点，且始终有∠EAF=12∠BAD.
（1）如图1，当E、F在BC、DC上，AE＝AF时，求证：BE＋DF＝EF；
（2）如图2，当E、F在BC、DC上，AE≠AF时，（1）问中的结论是否仍成立请说理；
（3）如图3，当E、F在边BC、DC的延长线上时，直接写出BE、DF、EF之间的数量关系，不必证明.
26．在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90∘，点D是边AC上一点，连接DB，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E
（1）如图1，若AF⊥BD于点F，求证：CE=BF；
（2）如图2，在线段EC上截取EG=EB，连接AG交BD于点H，求证：CG=2EH；
（3）如图3，若点D为AC的中点，点M是线段BC延长线上的一点，连接DM，求CM，BM，DM的数量关系
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，
∵A（-1，3），
∴AD=3，OA=1，
∵BC⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AD⊥BC，
∴∠ADO=∠BCA=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠CBA，
在△ADO与△BCA中，
∵∠BCA=∠ADO=90°，∠ABC=∠OAD，AB=AO，
∴△ABC≌△OAD（AAS）
∴BC=AD=3，AC=OD=1，
∴CD=AD+AC=4，
∵∠ADO=∠DOE=∠OEC=∠ECD=90°，
∴四边形DOEC是矩形，
∴CE=DO=1，
∴BE=BC-CE=2，
∴点B(2，4).
故答案为：B.
【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥y轴于点E，交直线AD于点C，根据点A的坐标易得AD=3，OA=1，然后用AAS判断出△ABC≌△OAD，得BC=AD=3，AC=OD=1，则CD=AD+AC=4，进而证四边形DOEC是矩形，得CE=DO=1，则BE=BC-CE=2，从而即可得出点B的坐标.
2．【答案】B
3．【答案】C
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由旋转的性质得∠OBO'=60°，OB=O'B，
∴∠ABC=∠OBO'，
∴∠ABO'=∠OBC，
在△BO'A和△BOC中，
BO'=BO∠O'BA=∠OBCBA=BC，
∴△BO'A≌△BOC(SAS)，
∴O'A=OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故①正确；
如图1，连接OO'，根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，故②错误；
在△AOO'中，AO=6，OO'=8，AO'=10，
∴△AOO'是直角三角形，∠AOO'=90°．
∴Rt△AOO'面积=12×6×8=24，
又等边△BOO'面积=12×8×43=163，
∴四边形AOBO'的面积为24+163，故④错误；
∵∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°，故③正确；
如图2，过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，
∵∠AOB=150°，
∴∠BOE=30°，
∵OB=8，
∴BE=4，
∴S△AOB=12×4×6=12，
∴S△BOC=S四边形AOBO'−S△AOB=24+163−12=12+163，故⑤正确，
综上，正确的有①③⑤，共3个.
故答案为：C.
【分析】先用SAS证明△BO'A≌△BOC，根据旋转的性质可得①正确；根据旋转的性质可知△BOO'是等边三角形，则点O与O'的距离为8，故②错误；根据四边形AOBO'的面积=等边△BOO'面积+Rt△AOO'面积，进行计算即可得出④错误；由∠AOB=∠AOO'+∠BOO'=90°+60°=150°可得③正确；过B作BE⊥AO交AO的延长线于E，求出BE=4，然后根据SΔBOC=S四边形AOBO'−S△AOB计算，可得⑤正确．
5．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC， ∠BAD=∠CAE，AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠BGA=90°，
∴∠BFC=90°
故②正确；
分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE，
∴12BD⋅AM=12CE⋅AN
∵BD=CE
∴AM=AN
∴AF 平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD.
故③错误；
∵AF 平分∠BFE， BF⊥CF
∴∠AFE=45°
故④正确.
故答案为C.
【分析】①证明△BAD≌△CAE，再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE，根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN，即AF平分∠BFE，即可判定；④由AF平分∠BFE结合 BF⊥CF 即可判定.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：分别过A、C作l3的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，CF交l2于M，如图所示：
∴∠AEB=∠BFC=90°.
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∴∠BCF=∠ABE，
又∵AB=BC，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴BE=FC，BF=AE.
∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，
∴FC=CM+FM=1+2=3，AE=2，
∴BE=FC=3，BF=AE=2.
∴AB=AE2+BE2=22+32=13.
∴BC=AB=13.
∴AC2=BC2+AB2=132+132=26.
故答案为：D
【分析】作辅助线构建平行线的距离，由已知得：FC=1+2=3，AE=2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE=FC=3，先由勾股定理求得AB=BC长，再由勾股定理求得AC2的长.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：连接GF、HF，HE，
由题意可知：DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，
∴∠EDG=∠GCF，
∴△EDG≌△GCF(SAS)，
∴EG=GF，
同理可证：△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，
则：EG=GF=FH=HE，
∴四边形EGFH是菱形，
∴EG∥HF，
又∵EG∥CF，
∴C，F，H在同一直线上，
又∵∠CBA=∠ABH+∠FBH+∠CBF=∠BCF+∠FBH+∠CBF=90°，
∴∠BHC=90°，
∵△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE
∴∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，则∠GFH=90°，
∴四边形EGFH是正方形，
∴D，G，F在同一直线上；A，E，G在同一直线上；B，H，E在同一直线上；
设DG=CF=BH=AE=x，
则S1=12AE⋅DG=12x2，S2=12EG⋅GF+12GF⋅CF=12×3×3+12×3x=9+3x2，
∵S1S2=16，即：12x29+3x2=16，
∴x=32，（负值已舍去）
∴S阴=4S1=4×12x2=4×12×32×32=92，
故答案为：D.
【分析】连接GF、HF、HE，由题意可得DE=CG=BF=AH，DG=CF=BH=AE，∠ADE=∠DCG=∠CBF=∠BAH，∠DAE=∠CDG=∠BCF=∠ABH，根据正方形的性质可得∠ADC=∠DCB=∠CBA=∠BAD=90°，推出∠EDG=∠GCF，利用SAS证明△EDG≌△GCF，同理可证△EDG≌△GCF≌△FBH≌△HAE，得到EG=GF=FH=HE，推出四边形EGFH为菱形，根据全等三角形的性质可得∠BHC=∠CFG=∠DGE=∠AEH=90°，得到四边形EGFH为正方形，设DG=CF=BH=AE=x，根据三角形的面积公式表示出S1、S2，结合S1S2=16可得x的值，然后根据S阴影=4S1进行计算.
8．【答案】C
【解析】【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=CD=BC，∠CDE=∠DAF=90°，
∵CE⊥DF
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF与△DCE中，
∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE
∴△ADF≌△DCE(ASA)，
∴DE=AF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴AFCD=ANCN，
∵AF:FB=1:2，
∴AF:AB=AF:CD=1:3，
∴ANCN=13，
∴ANAC=14，
∵AC=2AB，
∴AN2AB=14，
∴AN=24AB，故②正确；
作GH⊥CB于H，设AF=DE=a，BF=2a，则AB=CD=BC=3a，EC=10a，BG=32a，
∵∠DCE=∠DCM，∠CDE=∠CMD=90°，
∴△CMD∽△CDE，
∴CMCD=CDCE，
∴CM=91010a，
∵∠DCE+∠DEC=∠DCE+∠HCG=90°，
∴∠DEC=∠HCG，
又∵∠CDE=∠CHG=90°，
∴△GHC∽△CDE，
∴CHDE=CGCE，
∴CH=91020a，
∴CH=MH=12CM，
∵GH⊥CM
∴GM=GC
∴∠GMH=∠GCH
∵∠FMG+∠GMH=90°，∠DCE+∠GCM=90°，
∴∠FMG=∠DCE
∵∠ADF=∠DCE，
∴∠ADF=∠GMF，故③正确；
设△ANF的面积为m，
∵AF∥CD，
∴AFCD=FNDN=13，△AFN∽△CDN，
∴△ADN的面积为3m，△DCN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴S△ANF:S四边形CNFB=1:11，故④错误；
综上①②③正确，共3个，
故答案为：C
【分析】根据正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质结合题意对①②③④逐一判断，进而即可求解。
9．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC=60°，
∴∠ABP与∠PBC不一定相等，故①错误；
∵△PQB和△ABC都为等边三角形，
∴PQ=QB=PB，AB=CB=AC，∠Q=∠QBP=∠ABC=∠60°，
∴∠QBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=60°，
∴∠QBA=∠PBC，
∴△QBA≌△PBC(SAS)，
∴AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，
∴PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，
∴②③④都正确，
根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，△ABC的周长最小，
此时∠QBA=30°，∴∠QBC=∠QBA+∠ABC=30°+60°=90°，
即当BC⊥BQ时，△ABC的周长最小，故⑤正确．
故答案为：D．
【分析】根据点A为PQ上一动点（不与P，Q重合），∠ABC=60°，可知∠ABP与∠PBC不一定相等，可判断①；证明出△QBA≌△PBC(SAS)，可得AQ=PC，∠Q=∠BPC=∠QBP=60°，即可推出PC∥QB，PB=PQ=PA+AQ=PA+PC，即可判断出②③④，根据垂线段最短可知，当BA⊥PQ时，AB最小，即可判断⑤．
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵BF⊥BC，
∴∠CBF=90°，
∴∠ACD=∠CBF，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°
∴∠CAD+∠ACE=90°，
∵∠ACB=90°
∴∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAD=∠BCF，
在△ACD和△CBF中，
∠ACD=∠CBFAC=CB∠CAD=∠BCF，
∴△ACD≌△CBF，
故①正确；
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC=12×90°=45°，
∵∠CBF=90°，
∠MBF=90°−45°=45°，
∴∠ABC=∠MBF
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∵△ACD≌△CBF，
∴BF=CD，∠F=∠ADC，
∴BD=BF，
在△BDM和△BFM中，
BD=BF∠ABC=∠MBFBM=BM，
∴△BDM≌△BFM(SAS)，
∴∠F=∠BDM，
∴∠BDM=∠ADC，
故②正确；
连接AF，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
在Rt△ACD中，AC∴AC∴△ACF不可能是等边三角形，
故③错误；
∵△BDM≌△BFM，
∴BD=BF，MD=MF，
点M、B在线段的垂直平分线上，
∴AB垂直平分DF，
故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：B.
【分析】根据ASA证明△ACD≌△CBF，根据SAS证明△BDM≌△BFM，得出∠F=∠BDM，即可证明∠BDM=∠ADC；由△ACD≌△CBF得出AD=CF，根据AC11．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠DCE+∠BCD=∠ACB+∠BCD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE≌△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD
∴△BCE≌△ACD(SAS)，
∴BE=AD，
故结论①正确；
由△BCE≌△ACD得
∠CBE=∠CAD，
又∵∠DCE=∠ACB=60°，
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠BCQ=∠ACP=60°，
在△BCQ和△ACP中，
∠BCQ=∠ACP∠CBQ=∠CAPBC=AC
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴CQ=CP，
又∵∠PCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，
∴∠DCE=∠PQC=60°，
∴AE∥PQ，
故结论②正确；
在△BCQ和△ACP中，
∠BCQ=∠ACP∠CBQ=∠CAPBC=AC
∴△BCQ≌△ACP(AAS)，
∴BQ=AP，
∴结论③正确；
∵∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，
∴∠CPD>60°，
∴DC≠DP，
又∵DE=DC，
∴DP≠DE，
故结论④不正确；
∵∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，
故结论⑤正确.
综上所述，正确的结论有：①②③⑤.
故答案为：C.
【分析】①根据SAS判断出△BCE≌△ACD，即可判断出AD=BE.
②首先根据AAS得到△BCQ≌△ACP，即可判断出CP=CQ，然后根据∠PCQ=60°，可得△PCQ 为等边三角形，所以∠DCE=∠PQC60°，根据平行线的判定方法得PQ∥AE，即可得②正确.
③根据AAS得△BCQ≌△ACP，从而可得AP=BQ .
④首先根据∠CPQ=∠PCQ=60°，DE=DC，可得∠DPC> 60°，从而得出DP≠DC，再根据DE=DC，即可判断出DP≠DE.
⑤∠AOB=∠EAD+∠OEA=∠EAD+∠CDA=∠ECD=60°，可得⑤正确.
12．【答案】C
【解析】【解答】解：如图1所示，连接OD，作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，
∴DM=DN，
∴∠MDN=360°−∠DMO−∠MON−∠DNO=60°=∠EDF，
∴∠MDN−∠EDN=∠EDF−∠EDN，即∠MDE=∠NDF，
∵∠MDE=∠NDF，DM=DN，∠DME=90°=∠DNF，
∴△MDE≌△NDF(ASA)，
∴DE=DF，
∴△DEF是等边三角形；①正确；
∵△MDE≌△NDF(ASA)，
∴S四边形DEOF=S四边形DEON+S△DNF=S四边形DEON+S△DME=S四边形DMON，
∵点D是∠AOB的平分线上的一个定点，
∴四边形DEOF的面积是一个定值，②正确；
∵△DEF的周长为3DE，
当DE⊥OA时，DE最短，即等边△DEF的周长最小，③正确；
如图2所示，当DE'∥OB时，
∴∠E'DO=∠BOD=12∠AOB=60°=∠AOD，
∴△E'DO是等边三角形，
∵△DEF是等边三角形，
∴F与O重合，DF与OA交于点O；④错误；
故答案为：C
【分析】连接OD，作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N，先根据角平分线的性质得到DM=DN，进而进行角的运算得到∠MDE=∠NDF，再运用三角形全等的判定与性质证明△MDE≌△NDF(ASA)即可得到DE=DF，进而个等边三角形的判定即可判断①；根据三角形全等的性质得到S四边形DEOF=S四边形DEON+S△DNF=S四边形DEON+S△DME=S四边形DMON，进而结合定点即可判断②；从而结合题意得到△DEF的周长为3DE，再根据垂线段最短即可判断③；根据平行线的性质得到∠E'DO=∠BOD=12∠AOB=60°=∠AOD，进而根据等边三角形的判定与性质结合题意即可判断④。
13．【答案】2116
【解析】【解答】解：如图，连接EG，
，
∵E是AD的中点，
∴DE=AE，
由折叠的性质可得：AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，
∴DE=AE=EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠BFE=90°，AD∥BC，
∵EG=EG，
∴Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，
∴FG=DG=8，
设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，
在Rt△BCG中，BG2=CG2+BC2，即(x+8)2=122+(8−x)2，
解得：x=92，
∴DC=AB=BF=92，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBH，
∴∠EBH=∠BEH，
∴HB=HE，
设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，
在Rt△BFH中，HB2=BF2+HF2，
∴(6−m)2=(92)2+m2，
解得：m=2116，
∴FH=2116，
故答案为：2116．
【分析】连接EG，由折叠的性质可得AE=EF，∠A=∠BFE，∠AEB=∠BEH，得出DE=AE=EF，然后证明Rt△EFG≌Rt△EDG(HL)，可得FG=DG=8，设DC=x，则CG=8−x，BG=x+8，利用勾股定理构建方程，求出DC=AB=BF=92，设FH=m，则HB=HE=AE−m=6−m，再次利用勾股定理构建方程求解即可．
14．【答案】12；9+332
【解析】【解答】解：（1）取AB的中点H，连结DH，
∵D为斜边AC的中点，
∴DH是△ABC的中位线，
∴DH=12BC，DH∥BC，
∵AB⊥BC，
∴DH⊥AB，
由折叠性质可得BC=FC，BE=EF=1，∠DFC=∠B=90°，
∵D为斜边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE，
∴12AE·DH=12DE·CF
∴AE=2DE，
∴DEAE=12；
（2）设DF=x，BC=CF=y，则DE=DE+EF=x+1，
∴AE=2DE=2x+2，AB=AE+BE=2x+3，
过点A作AT⊥ED交ED的延长线于T，
∴∠T=∠CFD=90°，
又∵AD=CD，∠ADT=∠CDF
∴△ADT≌△CDF(AAS)
∴DT=DF=x，AT=CF=y，∠DAT=DCF，
∵CF平分∠BCA，
∴∠BCA+2∠DCF=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠BCA+2∠DCF= 90°，
∵∠CAB+∠TAD+∠AET= 90°，
∴∠CAB+∠DCF+∠AET= 90°，
∴∠AET=∠TAD，又∠T=∠T，
∴△ADT∽△TEA，
DTAT=ATTE，即xy=y2x+1，
∴y2=2x2+x，
在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，
∴y2+(2x+1)2=(2x+2)2，
∴2x2-3x-3=0，
解得：
x1=3+334，x2=3−334（舍）.
AB=2x+3=9+332，
故答案为：12，9+332.
【分析】（1）取AB的中点H，连结DH，根据中位线、折叠性质，通过等底同高三角形面积相等得S△ADE=S△CDE，由等面积法即可求解；
（2）设DF=x，表示出DE=x+1，AE=2x+2，AB=2x+3，根据AAS判断出△ADT≌△CDF，得到DT=DF=x，AT=CF=y，证△ADT∽△TEA，由相似三角形对应边可得y2=2x2+x，在Rt△ATE中，AT2+ET2=AE2，勾股定理即可求解。
15．【答案】18°
【解析】【解答】解：如图，延长CA至点E，使得CE=CD，连接DE，
∵∠DCA=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=BD，∠E=60°，
又∵∠DAC＝78°，∠CAB＝24°，
∴∠DAE=180°-∠DAC=102°，∠DAB=∠DAC+∠CAB=102°，
又∵AD=AD，
∴△DAE≌△DAB(SAS)
∴∠ABD=∠E=60°，
又∵∠BFC=∠DCF+∠CDF=∠FAB+∠ABF=24°+60°=84°，
∴∠CDF=∠BFC-∠FCD=84°-60°=24°，
又∵DB=DC，
∴∠DCB=∠DBC=(180°-∠BDC)÷2=78°，
∴∠ACB=∠BCD-∠FCD=18°，
∴∠ ACB=18° .
故答案为：18°.
【分析】题目难度较大，只是初步用含参字母表示角度关系不能探索出该结果，则需利用特殊的角度关系进行构造，①60°的构造等边，②78°，24°，两角和为102°，与78°成互补关系；从而构造等边引出等角得出全等，后用三角形内角和或其推论即可推出其它角的读数.
16．【答案】2411或2211
【解析】 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D=∠DAB=∠ABC=90°，AD=BC=8，AB=CD=6.
由折叠可得：△BCE≌△FCE，
∴EF=EB，BC=CF=8，∠B=∠CFE=90°.
∵在△AGO和△FEO中，
∠OAG=∠OFE=90°∠AOG=∠FOEAG=FE
∴△AGO≌△FEO（AAS）.
∴AO=OF，OG=OE，
∴OF+OG=OA+OE，即GF=AE.
设BE长为x，则AG=EF=BE=x，GF=AE=6-x.
在Rt△GDC中，DG2+DC2=GC2，
即（8+x）2+62=（8+6-x）2，
解得：x=2411
故答案为：2411或2211.
【分析】由折叠得到：EF=BE，FC=BC，∠B=∠CFE=90°.可证明△AGO≌△FEO，从而得到OG=OE，AO=FO，从而得到AE=GF.设BE=x，则AE=6-x，GC=8+6-x=14-x，最终在Rt△DGC中利用勾股定理求得x的值.
17．【答案】22
【解析】【解答】解：如图，延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD=6，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADF=90°，AB//DC.
∴∠ABF'=90°=∠ADF.
又∵BF'=DF，
∴△ABF'≌△ADF（SAS），
∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF.
∵∠DAF+∠EAF+∠EAB=∠DAB=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAF'+∠EAB=45°，即∠EAF'=45°。
在△EAF和△EAF'中，
AF=AF'，∠EAF=∠EAF'，AE=AE
∴△EAF≌△EAF'（SAS），
∴EF=EF'=DF+BE.
∵DC=BC=6，CE=4，设DF=a，
∴BE=BC-EC=2，FC=DC-DF=6-a，EF=2+a.
在Rt△EFC中，EF2=EC2+FC2，
∴（2+a）2=42+（6-a）2，解得a=3，即DF=3.
∵AB=AD=6，
∴BD=62.
∵DC//AB，
∴△DFN∽△BAN.
∴DFBA=DNBN，
即36=DN62−DN，解得DN=22.
故答案为：22
【分析】第1步要求DN长，DN在一般图形△DFN中，所以通过全等或者相似来求。本题中△DFN和△BAN相似，且已知正方形边长AB长，还可以求出BD的长，可以利用相似建立比例关系DFBA=DNBN求得DN，而要求DN，需要先求DF；
第2步在Rt△EFC中，有EF2=EC2+FC2，已知EC=4，FC=6-DF，只要能表示出EF，就可以求出DF长；第3步已知∠DAB=90°，∠EAF=45°，可以延长CB到F'，使BF'=DF，连接AF'，得到△ABF'，可证得△ABF'和△ADF全等，于是有AF=AF'，∠DAF=∠BAF'，从而得∠EAF=∠EAF'=45°，于是可证得△AEF≌△AEF'，得到EF=EF'=BE+BF'=BE+DF；因为BE=6-EC=2，所以EF=2+DF.利用EF2=EC2+FC2可以求得DF长，代入DFBA=DNBN即可求得DN长.
18．【答案】50
【解析】【解答】解：如图，延长CA到O，使AO=AB，连接OE，
∵∠BAC=30°，∠EAC=75°，
∴∠OAE=180°-∠EAC=105°，∠BAE=∠BAC+∠EAC=105°，
∴∠OAE=∠BAE，
∵AO=AB，AE=AE，
∴△AOE≌△ABE（SAS），
∴∠B=∠O，
∵CE=BA+AC，
∴CE=AO+AC=OC，
∴∠O=∠CEO，
∴∠O+∠CEO+∠OCE=∠B+∠BAC+∠B+∠B=180°，
∴∠B=50°.
故答案为：50°.
【分析】延长CA到O，使AO=AB，连接OE，用SA证明△AOE≌△ABE，可得∠B=∠O，根据线段和差及已知可推出CE=OC，由等边对等角得∠O=∠CEO，再利用三角形内角和及三角形外角的性质即可求解.
19．【答案】（1）解：∵CE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵点D与点A重合，
∴AD＝0，
∴DE2＝AD2+BE2；
（2）解：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，CF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，
∠ACF＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，
∴∠ACD+∠BCE＝∠ACB﹣∠DCE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠ACF＝∠BCE，
∴∠ACD+∠ACF＝45°，
即∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2；
（3）解：结论仍然成立；如图，
证明：过点A作AF⊥AB，使AF＝BE，连接DF，
∵在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠B＝45°，
∴∠FAC＝45°，
∴△CAF≌△CBE（SAS），
∴CF＝CE，
∠ACF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACF+∠ACE＝90°，即∠FCE＝90°，
∵∠DCE＝45°，
∴∠DCF＝45°，
∴∠DCF＝∠DCE，
又∵CD＝CD，
∴△CDF≌△CDE（SAS），
∴DF＝DE，
∵AD2+AF2＝DF2，
∴AD2+BE2＝DE2．
20．【答案】（1）解：连接AD，
∵MD⊥AB，且点M为边AB的中点，
∴MD是线段AB的垂直平分线．
∴AD=BD．
设AD=x，则CD=BC−BD=4−x．
在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2⇒x2=32+(4−x)2．
解得：x=258，即AD=258．
在Rt△ACB中，AB=AC2+BC2=32+42=5，
在Rt△ADM中，AM=12AB=52．
∴MD=AD2−AM2=(258)2−(52)2=158.
（2）解：延长EM到F，使得ME=MF，连接DF、BF，如图：
∵点M为AB的中点，
∴MA=MB，
又∵∠AME=∠BMF．
在△MAE和△MBF中
ME=MF∠AME=∠BMFMA=MB
∴△MAE≌△MBF（SAS）．
∴BF=AE，∠MBF=∠A．
∵直线DM垂直EM．
∴DF=DE．
在Rt△ACB中，∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠FBD=∠MBF+∠ABC=∠A+∠ABC=90°．
在Rt△DFB中，BF2+DB2=DF2．
∴AE2+DB2=DE2．
【解析】【分析】（1）连接AD，证得MD是线段AB的垂直平分线，可得AD=BD，设AD=x，在Rt△ACD中利用勾股定理求出x的值，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的值，最后在Rt△ADM中，再次利用勾股定理即可求得MD的长.
（2）延长EM到F，使得ME=MF，连接DF、BF，根据中点定义得AM=BM，利用SAS证明△MAE≌△MBF，得AE=BF；利用线段垂直平分线性质证得DE=DF；证明△BDF是直角三角形，利用勾股定理得DF，DB，BF的关系，即可得线段AE、ED、DB三者之间的数量关系.
21．【答案】（1）解：①12
②证明：由①知，∠BAD=∠CAE．
在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴CE=BD；
（2）解：∵AE∥BC，
∴∠AED=∠CDE，∠DCA=∠EAC，
∵∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB，
∴∠ADE=∠CDE=∠B，
∴AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形，∠BAD=∠ADE，
∴∠BAD=∠B=∠ACB，DE=AB=5，
∴△ABD∽△CBA．
∴BDAB=ABBC，即BD5=56．
∴BD=256．
∴CD=BC−BD=116，AE=BD=256．
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFD，
∴DFEF=CDAE=1125，
∴DF=1136DE=1136×5=5536．
【解析】【解答】（1）①解：∵AB=AC，
∴∠B=∠BCA．
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
又∵∠ADE=∠B，
∴∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，点D为BC的中点，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠CAD=∠CAE．
又∵AD=AE，
∴AC垂直平分DE，
∴CE=CD．
∵点D为BC的中点，
∴BC=2CD．
∴CEBC=CE2CE=12．
故答案为：12；
【分析】（1）①根据等边对等角和题目已知条件可得∠B=∠BCA=∠ADE=∠AED，由三角形内角和是180°，得∠BAC=∠DAE，故∠BAD=∠CAE；根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，等量代换∠DAC=∠CAE，AD=AE，三线合一AF垂直平分DE，再根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等可得CD=CE，即可得到CEBC=CE2CE=12；
②利用SAS证得△BAD≌△CAE，再根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）先利用两直线平行内错角相等得到∠ADE=∠AED=∠B=∠ACB，等量代换∠ADE=∠CDE=∠B，再由同位角相等，两直线平行可得AB∥DE，进而由两组对边平行的四边形是平行四边形证得四边形ABDE为平行四边形，由平行四边形对边相等得到DE=AB=5；∠BAD=∠ADE，公共角∠B，由两组角对应相等的两个三角形相似得到△ABD∽△CBA，相似三角形对应边成比例BDAB=ABBC，即可求出BD长，进而求出CD、AE、BD的长，再根据△AFE∽△CFD得到DFEF=CDAE，代入即可求出DF长.
22．【答案】（1）6；2
（2）解：①∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴EF=CD=2，
故答案为：2；
②证明：∵∠ACD＝90°，
∴∠CAD+∠ADC＝90°，
∵∠ADE＝90°，
∴∠EDF+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠EDF，
∵∠ACD＝∠EFD＝90°，AD＝DE，
∴△ACD≌△DFE，
∴DF=AC，
∵BC=AC，
∴DF=BC，
∴CD＝BF．
（3）4.8
【解析】【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠EDF+∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠EDF，
∵∠ACB=∠EFD=90°，AD=DE，
∴△ACD≌△DFE(AAS)，
∴DF=AC=6，EF=CD=2．
故答案为：6；2；
（3）解：补全图形，作CR⊥AD，取CP中点O，连接OG、OR、AG，
∵∠ADE=90°，AD=DE，
∴∠EAD=45°，
∵∠CGP=∠CRP=90°，
∴OG=OR=OP=OC，∠GOP=90°，
∴∠OGR=∠ORG，∠OPR=∠ORP，
∴∠ORP+∠ORG=(360°−90°)÷2=135°，
∴∠GRA=∠GRC=∠EAD=45°，
∴RG∥AE，
当AG⊥RG时，AG长度最短，如图所示，
此时，∠AGR=∠CGP=90°，AG=GR，
∴∠AGP=∠CGR，
∵∠GAR=∠CRG=45°，
∴△AGP≌△RGC(AAS)，
∴AP=CR，
∵S△ADC=12AC⋅CD=12AD⋅CR，AD=AC2+CD2=62+82=10，
∴12×6×8=12×10×CR，
CR=4.8，
∴AP=4.8．
【分析】（1）证明△ACD≌△DFE，得出DF=AC，EF=CD即可；
（2）同（1）证明△ACD≌△DFE，得出DF=AC，EF=CD即可；
（3）补全图形，作CR⊥AD，可求∠GRA=45°，RG∥AE，当AG⊥RG时，AG长度最短，设直线AG交CR于点S，证△AGP≌△RGC，得出CR=AP，利用等积法求出CR即可．
23．【答案】（1）解：∵∠BAC+∠DAE=180°，∠BAC=90°，
∴∠DAE=∠BAC=90°，
∵AB=AD，AC=AE，
∴ΔABC≅ΔADE(SAS)，
∴∠D=∠ABC=30°，
∴∠AED=90°−∠D=60°，
∵∠DAE=90°，AC=AE，
∴∠AEC=45°，
∴∠CED=∠AED−∠AEC=15°；
（2）证明：如图2：过点A作AP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥DE于点Q，
由（1）知ΔABC≅ΔADE，
∴SΔABC=SΔADE，BC=DE，
∴12BC⋅AP=12DE⋅AQ，
∴AP=AQ，
∴AM平分∠CME；
（3）解：AF=12CD，理由如下：
如图3，延长AF到M，使AF=FM，连接ME，
∴AF=12AM，
∵F为BE中点，
∴BF=EF，
又∵∠AFB=∠MFE，
∴ΔABF≅ΔMEF(SAS)，
∴ME=AB，∠BAF=∠M，
∴AB//ME，
∴∠BAE+∠AEM=180°，
∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠CAD=360°−180°=180°，
∴∠AEM=∠CAD，
∵AB=AD，AB=ME，
∴ME=AD，
又∵AC=AE，
∴ΔAME≅ΔCDA(SAS)，
∴CD=AM，
∴AF=12CD．
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明ΔABC≅ΔADE(SAS)，进而得到∠D=∠ABC=30°，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点A作AP⊥BC于点P，过点A作AQ⊥DE于点Q，进而根据三角形全等的性质得到SΔABC=SΔADE，BC=DE，再根据三角形的面积结合角平分线的判定即可求解；
（3）延长AF到M，使AF=FM，连接ME，进而得到AF=12AM，再结合题意证明ΔABF≅ΔMEF(SAS)即可得到ME=AB，∠BAF=∠M，从而根据平行线的判定与性质得到∠BAE+∠AEM=180°，进而结合题意证明ΔAME≅ΔCDA(SAS)得到CD=AM即可求解。
24．【答案】（1）解：在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，∠E=30°，
∴∠DCE=60°，
又∵CF=EF=5，
∴∠ECF=∠E=30°，
∴∠ECF=∠DCF=30°，
∴CD=CF⋅cs30°=532；
（2）解：AG=AE，理由如下，
倍长ED至点H使得DH=ED，连接BH、CH、GE，
∵BD=AD，∠BDH=∠ADE，DH=DE，
∴△BDH≌△ADE，
∴BH=AE，∠DBH=∠DAE，
∴HB∥AE，
∵在△HCE中，CD⊥DE，DH=DE，∠DEC=30°，
∴CH=CE，∠HCE=120°，
又∵∠BCG=120°，
∴∠HCB=∠ECG，
又∵BC=CG，
∴△HCB≌△ECG，
∴BH=GE，∠EGC=∠HBC，
∴AE=GE，
设∠EGC=∠HBC=x，AE与BC交于点K，
∵HB∥AE，
∴∠AKB=∠CKE=180°−x，∠CKE+∠EGC=180°
∴在四边形GCKE中，∠GEK=180°−∠GCK=60°，
∴结合AE=GE，可得△CEA为等边三角形，
∴AG=AE；
（3）解：S△ABP=143−22121
【解析】解：（3）∵∠ACB=90°，AC=2，BC=23，
∴在Rt△ACB中，tan∠ABC=ACBC=223=33，AB=AC2+BC2=4，
∴∠ABC=30°，即∠BAC=60°，
∵在Rt△CDE中，∠CED=30°，
∴∠ECD=60°，
∵AD=BD，
∴AD=BD=CD，
∴∠CAD=∠ACD=60°，即△CAD是等边三角形，
∴∠DCB=30°，AD=BD=CD=AC=2，
∴在Rt△CDF中，CF=CDcs∠DCF=433，
根据翻转可知：NF=CF=433，
∵NF的中点为P点，
∴PF=12NF=233，
∴可知点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上，
如图，
即可知当点A、P、F三点共线，且点P在线段AF上时，AP最小，
如图，过F点作FS⊥AB于S点，过P点作PT⊥AB于T点，
∵CF=433，CB=23，AC=2，
∴BF=233，AF=AC2+FC2=2213，
∴SF=BF×sin∠ABC=33，AP=AF−PF=221−233，
∵FS⊥AB，PT⊥AB，
∴FS⊥PT，
∴PTFS=APAF，即PT=APAF×FS=221−2332213×33=73−2121，
∴S△ABP=12×AB×PT=APAF×FS=12×4×73−2121=143−22121，
即当AP最小时，S△ABP=143−22121．
【分析】（1）先求出∠DCE=60°，根据CF=EF=5，可得∠ECF=∠E=30°，进而可得∠ECF=∠DCF=30°，解直角三角形即可求解；
（2）倍长ED至点H使得DH=ED，连接BH、CH、GE，证明△BDH≌△ADE， △HCB≌△ECG，即有BH=GE，∠EGC=∠HBC，进而可得AE=GE，设∠EGC=∠HBC=x，AE与BC交于点K，根据HB∥AE，可得∠AKB=∠CKE=180°−x，∠CKE+∠EGC=180°，进而得出△CEA为等边三角形，即可求解；
（3）先证明△CAD是等边三角形，即在Rt△CDF中，CF=433，根据翻转可知：NF=CF=433，结合NF的中点为P点，可得PF=12NF=233，即可知点P在以F为圆心，PF长为半径的圆上，当点A、P、F三点共线，且点P在线段AF上时，AP最小，过F点作FS⊥AB于S点，过P点作PT⊥AB于T点，则PTFS=APAF得出PT，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
25．【答案】（1）证明：连接AC
在△ABC和△ADC中
AB=ADBC=DCAC=AC
∴△ABC≌△ADC（SSS）
∴∠B＝∠D
∵∠BAD＝120°，∠BCD＝60°
∴∠B＋∠D＝360°－120°－60°＝180°
∴∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABE和Rt△ADF中
AE=AFAB=AD
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF
∵∠EAF＝60°
∴∠BAE＋∠DAF＝120°－60°＝60°
△AEF是等边三角形
∴AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30°
∴AE＝2BE
∴AE＝BE＋DF
∴BE＋DF＝EF．
其它方法：如连接BD，证△ABE是含30°的直角三角形．
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
证明：延长CB到G使得BG＝DF，连接AG．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证），AB＝AD
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠GAE＝∠FAE＝60°
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝EG
∴EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF
（3）解：数量关系为：DF－BE＝EF
【解析】【解答】（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°（已证）
∴∠ABE＝∠ADG＝90°
∵AB＝AD
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴AG＝AE，DG＝BE，∠BAE＝∠DAG
∵∠EAF＝60°，∠BAD＝120°
∴∠EAF＝∠GAF＝60°
∴△AEF≌△AGF（SAS）
∴EF＝GF
∴GF＝DF－DG＝DF－BE
∴DF－BE＝EF .
【分析】（1）连接AC，先利用“SSS”证出△ABC≌△ADC，可得∠B＝∠D，再利用“HL”证出Rt△ABE≌Rt△ADF，可得 BE＝DF，∠BAE＝∠DAF ，再证出△AEF是等边三角形，可得 AE＝EF，∠BAE＝∠DAF＝30° ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得 AE＝2BE ，最后利用线段的和差及等量代换可得BE＋DF＝EF；
（2）延长CB到G使得BG＝DF，连接AG，先利用“SAS”证出 △GAE≌△FAE 可得 EF＝EG ，再利用线段的和差及等量代换可得 EF＝EG＝BE＋BG＝BE＋DF ；
（3）在DF上截取DG＝BE，连接AG，先利用“SAS”证出△AEF≌△AGF，可得EF＝GF，再利用线段的和差及等量代换可得DF－BE＝EF .
26．【答案】（1）证明：∵AF⊥BD，
∴∠ABF+∠BAF=90°，
又∵∠ABC=∠ABF+∠CBE=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△BAF和△CBE中，
∠BAF=∠CBE∠AFB=∠BEC=90°AB=BC，
∴△BAF≌△CBE(AAS)，
∴CE=BF；
（2）证明：如图2，过点A作AF⊥BD交BD的延长线于点F，
同（1）可证△BAF≌△CBE(AAS)，
∴CE=BF，AF=BE，
又∵EG=EB，
∴AF=GE，
在△AFH和△GEH中，
∠AHF=∠GHE∠AFH=∠GEH=90°AF=GE，
∴△AFH≌△GEH(AAS)，
∴FH=EH，
∴EF=2EH，
又∵CG=CE−GE=BF−BE=EF，
∴CG=2EH；
（3）解：BM2+CM2=2DM2，理由如下：
如图3，过点D作DH⊥DM交AB的延长线于点H，连接BD，MH，
∵AB=BC，∠ABC=90∘，点D为AC的中点，
∴BD=DC，∠BDC=90°，
∴∠DCB=∠DBC=45°，∠BDC=∠MDH=90°，
∴∠MCD=∠HBD=135°，∠MDC=∠HDB，
在△MCD和△HBD中，
∠MCD=∠HBDDC=DB∠MDC=∠HDB，
∴△MCD≌△HBD(ASA)，
∴MC=HB，MD=HD，
在Rt△MDH中，由勾股定理得：MH2=DM2+DH2=2DM2，
在Rt△MBH中，由勾股定理得：MH2=MB2+BH2=BM2+CM2，
∴BM2+CM2=2DM2．
【解析】【分析】（1）先利用角的运算求出∠BAF=∠CBE，再利用“AAS”证出△BAF≌△CBE，可得CE=BF；
（2）过点A作AF⊥BD交BD的延长线于点F，先利用“AAS”证出△AFH≌△GEH，可得FH=EH，再结合CG=CE−GE=BF−BE=EF，EF=2EH可得CG=2EH；
（3）过点D作DH⊥DM交AB的延长线于点H，连接BD，MH，先利用“ASA”证出△MCD≌△HBD，可得MC=HB，MD=HD， 再利用勾股定理及等量代换可得BM2+CM2=2DM2。