还剩76页未读，
继续阅读
2024年安徽省省各地市中考数学一模压轴题精选(含解析)
展开
这是一份2024年安徽省省各地市中考数学一模压轴题精选(含解析)，共79页。
1.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k-b，则m的取值范围是( )
A. 02.(2024·安徽省六安市)已知a，b，c是互不相等的三个实数，且a=2b-c，则下列结论正确的是( )
A. b2-ac>0B. b2-ac=0C. b2-ac<0D. b2-ac≥0
3.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知a，b，c为实数，且b-a=c2+2c+1，b+a=3c2-4c+11，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. b≥a>cB. b≥c>aC. a≥b>cD. c>b≥a
4.(2024·安徽省滁州市)如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是______．
5.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO=90°，BO=2，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且B'为OA中点，A'在反比例函数y=kx上，则k的值______．
6.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(2,2)在对角线OB上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知▱OABC的面积是5，则点B的坐标为______．
7.(2024·安徽省亳州市)如图，一次函数y=32x+3的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于点A．
(1)若点A坐标为(a,4)，则k= ______；
(2)若k=12，则△OAB的面积为______．
8.(2024·安徽省宿州市)如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，过点A作AD⊥x轴于点D.连接BD．
(1)△BOD的面积为______；
(2)若AC=BC，ACAB=58，则k的值为______．
9.(2024·安徽省合肥市蜀山区)在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)上任意两点．
(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，则h= ______；
(2)若对于0y2，则h的取值范围是______．
10.(2024·安徽省芜湖市)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥12)时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并求出对应的m的值．
11.(2024·安徽省宿州市)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为顶点的抛物线与直线AB相交于A(-3,94)，B(1,14)两点．
(1)求该抛物线和直线AB的函数表达式；
(2)点M位于直线OA下方的抛物线上，MN⊥x轴，交直线AB于点N，求线段MN的最大值；
(3)若点P，Q分别是该抛物线和线段AB上的动点，设线段AB与y轴交于点C，以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的横坐标．
12.(2024·安徽省六安市)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为原点)，A(4,0)两点，已知二次函数图象经过点(-2,6)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知y轴上一点B(0,4)，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB.设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S．
①求AB直线表达式；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
13.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
(3)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
14.(2024·安徽省亳州市)已知抛物线y=-18x2+bx+c经过点(-5,-52)和(3,32)．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：△OBC是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15.(2024·安徽省滁州市)如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段DE长度的最大值；
(3)连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
16.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与y轴相交于点C(0,5)．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)如图2，点A，B在x轴上(B在A的右侧)，且OA=t(0①求DF的长(用含t的代数式表示)；
②若△CDF的面积记作S1，△EDF的面积记作S2，记S2-S1=S，则S是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
17.(2024·安徽省合肥市经开区)如图(1)是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形(杯体厚度不计)，点P是抛物线的顶点，杯底AB=2 3cm，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm.以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm)．
(1)求杯体CPD所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图(2)，过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处(DQ//l)，如图(3
①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标：
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
第二部分 几何部分
18.(2024·安徽省滁州市)如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG=4，CF=3，则AE的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
19.(2024·安徽省宿州市)如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点.若AB=4，BC=5，则BG的长为( )
A. 4B. 3 2C. 2 5D. 2 6
20.(2024·安徽省六安市)如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则下列结论中不正确的是( )
A. BF平分∠ABCB. ∠CAF=∠BAC-∠DFA
C. S△ADE=14S四边形DBCED. EF=12(BC-AB)
21.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF//AC，PE+PF=m，下列结论错误的是( )
A. 若BE=2，则m的最小值为4
B. 若m的最小值为4，则BE=2
C. 若BE=0.5，则m的最小值为5
D. 若m的最小值为5，则BE=0.5
22.(2024·安徽省芜湖市)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC=2CF，连接BE，BF，∠EBF=12∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点N，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BEA+∠BFC=135°B. CA⊥BF
C. BN= 55ABD. AE=34AD
23.(2024·安徽省宿州市)如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=30°，点P为AC边上一动点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，连接DE，则以DE为边长的正方形DEGF的面积的最小值为( )
A. 8B. 8 3C. 16-2 3D. 8+4 3
24.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3 6B. 32 5C. 32 6D. 32
25.(2024·安徽省亳州市)已知，如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC.点D，E分别是边BC，AC上的点(点D不与点B，C重合)，且∠ADE=∠ABC，AD与BG相交于点F.有下列结论：①△ABG∽△ACB；②若AB=12，AG=8，则BC=15；③若AB=12，AG=8，且BF=2CE，则BF：GF=27：8.其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
26.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD=AD，BE=5，AE=2，则DE= ______．
27.(2024·安徽省六安市)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD.则：
(1)∠ABE ______∠C(填“>”或“=”或“<”)；
(2)若BD：BC=2：5，AD=12，则DE的长是______．
28.(2024·安徽省合肥市经开区)在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处．
(1)当点F落在矩形对角线AC上时，则BE的长为______；
(2)当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，则BE的长为______．
29.(2024·安徽省滁州市)在矩形ABCD中，AB=4，点E为边AD上一点，AE=3，F为BE的中点，
(1)EF= ______；
(2)若CF⊥BE，CE、DF相交于点O，则OCCE= ______．
30.(2024·安徽省芜湖市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．
(1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为______；
(2)当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为______．
31.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B'，C'处，且点C'在线段AD上(不与两端点重合)．
(1)若C'为线段AD的中点，则CN= ______；
(2)折痕MN的长度的取值范围为______．
32.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．
(1)求证：DI=DB；
(2)若BD=2，IO⊥BI，求AI的长．
33.(2024·安徽省宿州市)如图，⊙O中的两条弦AB⊥CD于E，点F在⊙O上，BD=BF.连接AF交CD于G，交BC于H．
(1)若AE=2，BE=4.BC=BA，求BH的长；
(2)分别连接DF，EH，求证：DF//EH．
34.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AE=3，EF=1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
35.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、DE，恰好∠ADC=∠BDE，过点E作CD的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G．
(1)设∠ADC=α，用含α的代数式表示∠CEG为______；
(2)求证：△BDE∽△CGE；
(3)求ADCG的值．
36.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F交⊙O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF=DF；
(2)若AF=5，tan∠ABD=12，求⊙O的半径．
37.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
(1)求证：∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)如图2，连接OE、AD，若OE//AD，且AB=10，BD=8，求BC的长．
38.(2024·安徽省芜湖市)四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC．
(1)如图1，若∠BAC=α，求∠ADC的度数；
(2)如图2.连接BD交AC于点E．
①求证：AE2=AE⋅AB-BE⋅DE；
②若∠BAC=2∠DAC，AB=5，BC=6，求CD的长．
39.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ACB中，BA=BC，∠ABC=90°，点D为BC边的点，点F是AC边上的点，AF：FC=2：1，连接DF，且∠AFB=∠CFD．
(1)求证：BD=CD；
(2)求证：BF+DF=AD；
(3)连接CE，求BECE的值．
40.(2024·安徽省六安市)如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB=AC，AD=AE，∠EAC=∠DAB，点E恰好落在边BC上(与B、C不重合)，连接BD．
(1)求证：BD=CE；
(2)若AB与DE相交于点F，求证：CE⋅BE=CA⋅BF；
(3)若∠BAC=90°，AC=4，且CEBE=13，求DE的长．
41.(2024·安徽省亳州市)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，在BC延长线上取点F，使EF=ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，连接CM，EN，EG．
(1)求证：△CNF∽△CED；
(2)若正方形ABCD的边长为2．
①求CNDN的值；
②求四边形GBEN的面积．
42.(2024·安徽省合肥市经开区)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AC上一点，连接BD，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G．
(1)求证：△CFG∽△BFE；
(2)如图②，连接GE，解决以下问题：
①求∠EGB的度数；
②求证：BG-CG= 2EG．
43.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
(1)求证：DA=DB；
(2)如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求AFDE的值．
44.(2024·安徽省宿州市)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD．
(1)如图1，若AD=BC，求证：AB//CD；
(2)已知∠AOB=120°．
①如图2，若BC=CD，求证：OA=2OD；
②如图3，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，求MNAC的值．
45.(2024·安徽省芜湖市)已知在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AD，CD上，且DE=DF，连接BE，BD．
(1)如图1，连接AF交BD于点G，若CF=2DF，求证：BG=3DG；
(2)如图2，连接EF，BF，若∠EBF=30°，求EF的长；
(3)如图3，连接BF，过点E作EM⊥BF，垂足为M，交BD于点N，求证：ENBE=DNBD．
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=-3k+1，
因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
所以k>0，b>0，即-3k+1>0，
所以k的范围为0因为m=3k-b=3k-(-3k+1)=6k-1，
所以m的范围为-1故选：B．
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=-3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，b>0，则k的范围为0本题考查了一次函数与系数的关系，解决本题的关键是用k表示出m的值．
2.【答案】A
【解析】解：∵a=2b-c，
∴b=a+c2．
∴b2-ac=(a+c2)2-ac=(a+c)24-4ac4=a2+c2-2ac4=(a-c)24≥0．
∵a≠c，
∴b2-ac>0．
故选：A．
根据完全平方公式以及偶次方的非负性解决此题．
本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式以及偶次方的非负性是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵b-a=c2+2c+1=(c+1)2≥0，
∴b≥a，
∵(b-a)-(b+a)=c2+2c+1-(3c2-4c+11)，
∴2a=2c2-6c+10，
a=c2-3c+5，
∵a-c=c2-4c+5=(c-2)2+1>0，
∴a>c，
∴b≥a>c，
故选：A．
根据a-c=(c-2)2+1>0得b≥a，根据(b-a)-(b+a)=c2+2c+1-(3c2-4c+11)得a=c2-3c+5，则a-c=c2-4c+5=(c-2)2+1>0，即可得a>c，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
4.【答案】4
【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，
可得：2a=1×(a+2)，
解得：a=2，
故C(2,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴2=k2，
∴k=4．
故答案为：4．
根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
5.【答案】-4 3
【解析】解：连接BB'，作A'E⊥x轴于点E，
由题意可得：OB=OB'，B'是OA的中点，
∠AOB=∠A'OB'，OA=OA'，
∴BB'=12OA=OB'，
∴△BOB'是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OA=2OB=4，∠A'OE=60°，
∴OA'=4，
∴OE=12OA'=2，
∴A'E= 3OE=2 3，
∴A'(-2,2 3)，
∵A'在反比例函数y=kx上，
∴k=-2×2 3=-4 3，
故答案为：-4 3．
连接BB'，作A'E⊥x轴于点E，先证明△BOB'是等边三角形，求出OA=2OB=4，∠A'OE=60°，再得出OE=12OA'=2，进而得出A'E= 3OE=2 3，求出A'(-2,2 3)，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出A'(-2,2 3)是解本题的关键．
6.【答案】(3,3)
【解析】解：过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则BN过点C，
∵点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×2=4，
∴S△CON=12|k|=2，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，BC//OA，
∴BM=ON，
在Rt△ONC与Rt△BMA中，
∵OC=BA，ON=BM，
∴Rt△ONC≌Rt△BMA(HL)，
∴S△CON=2=S△BAN，
由于OB是▱OABC的对角线，且D(2,2)，于是可设B(b,b)(b>0)，
∴正方形OMBN的面积为是b2=S△CON+S△BAM+S▱OABC，
即b2=2+2+5，
解得b=3(负值舍去)，
∴点B的坐标为(3,3)，
故答案为：(3,3)．
由点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，可求出k的值，再利用反比例函数系数k的几何意义求出S△CON=2，再根据平行四边形的性质得出S△CON=2=S△BAM，根据对角线BO过点D(2,2)，可得点B的纵横坐标相等，设未知数表示正方形的面积，即可求出点B坐标．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】83 3
【解析】解：(1)∵点A在一次函数y=32x+3的图象上，
∴4=32a+3，解得a=23，
∴A(23,4)，
∵A(23,4)在反比例函数图象上，
∴k=23×4=83．
故答案为：83；
(2)若k=12，则反比例函数解析式为y=12x，联立方程组y=12xy=32x+3，解得x=2y=6，或x=-4y=-3，
∴A(2,6)，
在一次函数y=32x+3中，令x=0.则y=3，
∴B(0,3)，
∴S△AOB=12×3×2=3．
故答案为：3．
(1)先求出点A坐标，再利用待定系数法求出k值即可；
(2)联立方程组求出A点B点坐标，根据三角形面积计算方法计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
8.【答案】8 -9
【解析】解：(1)∵经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，
∴点AB关于原点成中心对称图形，
∴OA=OB，
∴S△BOD=S△AOD，
∵k=16，
∴2S△BOD=16，
∴S△BOD=8，
故答案为：8．
(2)连接CO，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∵ACAB=58，
∴ACAO=54，
∴AOCO=43，
∴812丨k丨=169，
∴丨k丨=9，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=-9．
故答案为：-9．
(1)根据反比例函数k值的几何意义以及中心对称图形图形的性质即可求得三角形面积；
(2)连接OC，三线合一可知三角形AOC是直角三角形，利用比例关系的平方等于面积之比，可求得k值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握比例关系的转化是解答本题的关键．
9.【答案】3 h≤2
【解析】解：(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，
得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称，
则h=(1+5)÷2=3；
故答案为：3；
(2)由抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)开口向下，
对于0y2，
得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，
故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
故12(x1+x2)>h，
故h≤(0+4)÷2=2．
故答案为：h≤2．
(1)由对于x1=1，x2=5，有y1=y2，得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称即可得答案；
(2)由已知得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
即可得12(x1+x2)>h，故h≤(0+4)÷2=2．
本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．
10.【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)，
1-b+c=09+3b+c=0，
解得：b=-2c=-3，
该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)x=0时y=-3，
∴C(0,-3)，
∵AB=4，
∴S△ABC=12×4×3=6；
(3)当12≤m<1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4，
x=1时，此函数的最小值为q=1-2-3=-4，
∴w=p+q=m2-4-4=m2-8，
m=12时，w=p+q的最小值为-314，
当m≥1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4，
x=m时，此函数的最小值为q=m2-2m-3，
∴w=p+q=m2-4+m2-2m-3=2m2-2m-7，
m=1时，w=p+q的最小值为-7，
综上所述：
∵-314<-7，
m=12时，w=p+q有最小值为-314．
【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式；
(2)求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；
(3)分两种情况当12≤m<1时，当m≥1时讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a,k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(0,k)，对称轴为y轴．
11.【答案】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
94=-3k+b14=k+b，解得：k=-12b=34，
则一次函数的表达式为：y=-12x+34；
二次函数表达式为：y=ax2，
将点B的坐标代入上式得：14=a，
则二次函数表达式为：y=14x2；
(2)设点N(x,-12x+34)，则点M(x,14x2)，
则MN=(-12x+34)-(14x2)=-14(x+1)2+1≤1，
线段MN的最大值为1；
(3)设点P(m,14m2)，点Q(x,-12x+34)(-3≤x≤1)；
当CO是对角线时，
由中点坐标公式得：
0=m+x34=14m2-12x+34，解得：x=-m=0或2(均舍去)；
当CQ或CP为对角线时，
同理可得：
m=x-12x+34+34=14m2或x=m14m2+34=-12x+34，
解得：x=m=-2或1- 7或1+ 7(舍去)，
综上，点Q的横坐标x=-2或1- 7．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由MN=(-12x+34)-(14x2)=-14(x+1)2+1≤1，即可求解；
(3)当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当CQ或CP为对角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法和最值的确定，分类求解是解题的关键．
12.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线过点O，
∴c=0．
∴抛物线的表达式为：y=ax2+bx．
∵抛物线过A(4,0)，(-2,6)，
∴16a+4b=04a-2b=6．
∴a=12b=-2．
∴抛物线的表达式为：y=12x2-2x．
(2)①设直线AB的表达式为：y=kx+4，
将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，
∴k=-1．
∴直线AB的表达式为：y=-x+4．
②过点P作PH//y轴交AB于点H，
∵点P的横坐标为t，
∴点P(t,t2-2t)．
∴点H(t,-t+4)．
∴S=S△PHB+S△PHA=PH×AO=×(-t+4-t2+2t)×4=-t2+2t+8，
∴S=-t2+2t+8=-t2+2t+8=-(t-1)2+9≤9，
∴当t=1时，S有最大值．
∴此时点P的坐标为：(1,-1.5)．
【解析】(1)依据题意，用待定系数法即可求解；
(2)①依据题意，设直线AB的表达式为：y=kx+4，将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，求出k，即可判断得解；
②依据题意，可得S=S△PHB+S△PHA=12PH×AO，再由S=-t2+2t+8=-(t-1)2+9≤9，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值等知识，解题时要熟练掌握并能理解是关键．
13.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-x1)(x-x2)，
即y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，
即x=a-2和x=a+1不可能在抛物线对称轴两侧；
当a+1≤1时，即a≤0，
则x=a+1时，抛物线取得最小值，
即y=(a+1-1)2-4=5，
解得：a=3(舍去)或-3，
即a=-3；
当x=a-2≥1时，即a≥3，
则x=a-2时，抛物线取得最小值，
即y=(a-2-1)2-4=5，
解得：a=6，a=0(舍去)，
综上，a=6或-3；
(3)过点P作PH//y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C(0,-3)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-3，
设点H(x,x-3)，则点P(x,x2-2x-3)，
则S=S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=12×3(x-3-x2+2x+3)=-32(x-32)2+278≤278．
即△PBC的面积S的最大值为278．
【解析】【分析】
(1)用待定系数法即可求解；
(2)当a+1≤1时，即a≤0，则x=a+1时，抛物线取得最小值；当x=a-2≥1时，即a≥3，则x=a-2时，抛物线取得最小值，进而求解；
(3)由S=S△PHC+S△PHB，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积．利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
14.【答案】(1)解：由题意得：32=-18×9+3b+c-52=-18×25-5b+c，
解得：b=14c=158，
则抛物线的表达式为：y=-18x2+14x+158；
(2)①证明：令y=-18x2+14x+158=0，则x=-3或5，
即点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(5,0)，
则抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-18x2+14x+158=2，
则点C(1,2)，
由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，
即OB2=BC2+CO2，
则△OBC是直角三角形；
②解：存在，理由：
∵A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，
则∠PAD=∠COB或∠CBO，
由点B的坐标得：tan∠COB=21=2，
则tan∠PAD=2或12，
设点P(1,m)，
则tan∠PAD=|m|AD=|m|1+3=2或12，
解得：m=±8或±2，
则点P的坐标为：(1,8)或(1,-8)或(1,2)或(1,-2)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，即可求解；
②A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，则∠PAD=∠COB或∠CBO，即tan∠PAD=2或12，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，分类求解是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0-3)=3，
解得a=-1，
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
(2)设D(m,-m2+2m+3)，且0
在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC= 32+32=3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，
得3k+n=0n=3，
解得k=-1n=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M(m,-m+3)，
∴DM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM=∠BOC=90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ//y轴，
∴∠DME=∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴DEDM=BOBC，即DE-m2+3m=33 2，
∴DE=- 22m2+3 22m=- 22(m-32)2+9 28，
∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是9 28；
(3)存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．
∵A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=OB=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ=∠DME=45°，
∵DE⊥BC，
∴ME=DE，
设D(m,-m2+2m+3)，且0∴CM= m2+(-m+3-3)2= 2m，
由(2)知DE=- 22m2+3 22m，
∴CE= 2m-(- 22m2+3 22m)= 22m2- 22m，
①若∠DCE=∠CAO，
∴tan∠DCE=tan∠CAO=OCOA=3，
∵tan∠DCE=DECE=3，
∴DE=3CE，
∴- 22m2+3 22m=3( 22m2- 22m)，
解得m=32或0(舍去)，
∴点D的坐标为(32,154)；
②若∠CDE=∠CAO，
则tan∠CDE=tan∠CAO=3，
∵tan∠CDE=CEDE=3，
∴CE=3DE，
∴3(- 22m2+3 22m)= 22m2- 22m，
解得m=52或0(舍去)，
∴点D的坐标为(52,74)；
综上，存在，点D的坐标为(32,154)或(52,74).
【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x-3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)，解方程即可；
(2)设D(m,-m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
(3)△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE=∠CAO，②若∠CDE=∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
16.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，
将点C(0,5)代入得4+h=5，解得h=1，
∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5；
(2)①∵抛物线y=x2-4x+5，OA=t(0∴D(t,t2-4t+5)，OB=t+1，
∴E(t+1,t2-2t+2)，
设直线CE的解析式为y=kx+5，
∴(t+1)k+5=t2-2t+2，解得k=t-3，
∴直线CE的解析式为y=(t-3)x+5，
∴F(t,t2-3t+5)，
∴DF=t2-3t+5-t2+4t-5=t，
∴DF的长为t；
②∵OA=t(0∴△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，
∴S=S2-S1=12t-12t2=-12(t-12)2+18，
∴当t=12时，S有最大值，最大值为18．
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，将点C(0,5)代入即可求解；
(2)①由抛物线y=x2-4x+5可得D(t,t2-4t+5)，E(t,t2-2t+2)，利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=(t-3)x+5，则F(t,t2-3t+5)，即可得DF的长(用含t的代数式表示)；
②求出△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，则S=S2-S1=12t-12t2=-12(t-12)2+18，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．
∴P(0,6)，D(3,15)，
设抛物线的解析式为y=ax2+b，
∴9a+b=15b=6，
解得a=1b=6，
∴抛物线的解析式为y=x2+6．
(2)∵抛物线的解析式为y=x2+6，
∴平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10．
∴抛物线的对称轴为直线x=2，E(0,10)，
∴E(0,10)的对称点为F(4,10)，
∵(3,15)，
∴平移后D(5,15)，
设直线DE的解析式为y=kx+10，
∴15=5k+10，
解得k=1；
∴y=x+10；
设直线DF的解析式为y=px+q，
∴5p+q=154p+q=10，
解得p=5q=-10；
∴y=5x-10，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，
∴1(3)①根据题意，建立直角坐标系如下，设DQ与y轴的交点为M，直线l与y轴的交点为S，
∵CD=6，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．
∴DT=CT=12CD=3，OT=15，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS=60°，∠OSB=30°，
∵DQ//l，
∴∠TMD=∠OSB=30°，
∴TM=TDtan30∘=3 3，
∴OM=OT-TM=15-3 3，
∴M(0,15-3 3)．
②∵抛物线的解析式为y=x2+6，
设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；
过点N作NG//y轴，交DM于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS=60°，∠OSB=30°，
∵DQ//l，
∴∠TMD=∠OSB=30°，
过点G作GE⊥y轴于点E，
∵NG//y轴，
∴GE=n，∠TMD=∠MGN=30°，
∴ME=GEtan30∘= 3n，
∴OE=OM+ME= 3n+15-3 3，
∴G(n, 3n+15-3 3)，
∴GN= 3n+15-3 3-n2-6
=-n2+ 3n+9-3 3
=-(n- 32)2+34+9-3 3
=-(n- 32)2+394-3 3，
∵a=-1<0，0≤ 32≤3，
∴n= 32时，GN取得最大值，且最大值为394-3 3，
过点N作NH⊥MD于点H，
则NH=12GN=398-3 32，
故NH的最大值为398-3 32，
故液体的最大深度为398-3 32．
【解析】(1)根据题意，得到P(0,6)，D(3,15)，设抛物线的解析式为y=ax2+b，代入计算即可；
(2)先确定平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10，再计算直线DE的解析式和直线DF的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，确定范围即可．
(3)①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设DQ与y轴的交点为M，计算OM的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；过点N作NG//y轴，交DM于点G，过点G作GE⊥y轴于点E，确定G(n, 3n+15-3 3)，计算GN得最大值，且最大值为394-3 3，过点N作NH⊥MD于点H，则NH=12GN=398-3 32，
故NH的最大值为398-3 32．
本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
18.【答案】C
【解析】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EF=GC=4，∠EFC=90°，
∴CE= CF2+EF2= 9+16=5，
∴AE=CE=5，
故选：C．
由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可证四边形CFEG是矩形，可得EF=GC=4，∠EFC=90°，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】C
【解析】解：连接BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
∵BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，
∴BE是CF的中线，即BF=BC=5，
∴AF= BF2-AB2= 52-42=3，DF=2，
CF= FD2+CD2= 22+42=2 5，CG= 5，
∵∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90°，
∴∠DCF=∠EBC，
∴tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，
∴BG=2 5．
故选：C．
连接BF，根据四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，又因为BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，则BE是CF的中线，即BF=BC=5，根据勾股定理求出AF，AF，DF，CF，CG，又因为∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90°，得出∠DCF=∠EBC，利用正切值tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，得出BG．
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20.【答案】C
【解析】解：∵点D是AB的中点，∠AFB=90°，
∴DF=12AB=AD=BD，
∴∠DBF=∠DFB，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴∠DBF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，故选项A不符合题意；
∵DF=DA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠CAF=∠BAC-∠DAF=∠BAC-∠DFA，选项B不符合题意；
∵DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(12)2=14，
∴S△ADES四边形DBCE=13，
∴S△ADE=13S四边形DBCE，选项C符合题意；
延长AF交BC于点G，
∵∠ABF=∠GBF，BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°，
∴△ABF≌△GBF(ASA)，
∴AF=FG，AB=BG，
∵AE=EC，
∴EF=12CG=12(BC-BG)=12(BC-AB)，选项D不符合题意．
故选C．
由直角三角形斜边上的中线性质得到DF=12AB=AD=BD，则∠DBF=∠DFB，再证明DE为△ABC的中位线，得到DE//BC，进而推出∠DBF=∠CBF，即可判断A；根据DF=DA，得到∠DAF=∠DFA，即可得到∠CAF=∠BAC-∠DAF=∠BAC-∠DFA，即可判断B；证明△ADE∽△ABC，得到S△ADES△ABC=14，则S△ADES四边形DBCE=13，即可判断C；延长AF交BC于点G，证明△ABF≌△GBF，得到AF=FG，AB=BG，即可判断D．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判断，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】D
【解析】解：作点E关于AC的对称点E'，连接EE'，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∴点E'在AD上，
∵点P在对角线AC上，
∴PE=PE'，
∴当点E，P，E'在一条直线上时，PE+PF=m取得最小值．
∵EF//AC，
∴∠BEF=∠BAC=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=BF．
∵若BE=2，AB=4，
∴BF=2，AE=AE'=2，
∴点E，P，E'在一条直线上，PE+PF=m取得最小值，这时，四边形ABFE'为矩形，
∴PE+PF=m=E'F=AB=4，
∴若BE=2，则m的最小值为4，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵m的最小值为4，
∴此时点E，P，E'在一条直线上，且E'F=AB=4，
∴四边形ABFE'为矩形，
∴AE'=BF，
∴AE=BE=12AB=2．
∴B的结论正确，不符合题意；
∵BE=0.5，
∴BF=0.5，AE=AE'=3.5，
∴EF=12 2，EE'=72 2．
∵△AEE'，△BEF为等腰直角三角形，
∴∠AEE'=∠BEF=45°，
∴∠E'EF=90°．
∴点E，P，E'在一条直线上时，E'F= EF2+EE'2=5，
∴若BE=0.5，则m的最小值为5．
∴C的结论正确，不符合题意；
若m的最小值为5，设BE=x，则AE=AE'=4-x，
∴( 2x)2+[ 2(4-x)]2=52，
∴x=0.5或3.5，
∴BE=0.5或3.5．
∴D的结论不正确，符合题意．
故选：D．
作点E关于AC的对称点E'，连接EE'，利用轴对称的性质和正方形的性质得到PE+PF=PE'+PF，点E，P，E'在一条直线上，PE+PF=m取得最小值；利用已知条件，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90°，
∵∠EBF=12∠ABC=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠BEA+∠BFC=135°，故A正确，不符合题意；
∵BC=2CF，AB=2AD=2BC，
∴BCCF=ABBC=2，
又∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠BNA=90°，即CA⊥BF，故B正确；
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 5BC，
∵∠ANB=∠ABC=90°，∠BAC=∠NAB，
∴△ABC∽△ANB，
∴BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，故C正确；
设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，
∴CN= BC2-BN2=2 55x，
∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN=4 55x，
∴CM=6 55x，
∴AM=4 55x，
∵AD//BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴AEBC=AMCM=23，
∴AE=23BC=23AD，故D错误；
故选：D．
由矩形的性质得到∠EBF=12∠ABC=45°，进而得到∠ABE+∠CBF=45°，再由∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，可得∠BEA+∠BFC=135°，即可判断A；证明△ABC∽△BCF，得到∠BAC=∠CBF，进而可得∠BNA=90°，即CA⊥BF，即可判断B；在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= 5BC，证明△ABC∽△ANB，可得BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，即可判断C；设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，CN=2 55x，证明△BMN是等腰直角三角形，得到MN=BN=4 55x，则CM=6 55x，则AM=4 55x，证明△AEM∽△CBM，得到AEBC=AMCM=23，即可判断D．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】D
【解析】解：过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15°，交DM于R．
设AP=x，则PC=8-x，
∵∠DAP=30°，
∴DP=12AP=12x，
∴AD= 3DP=12 3x，
∴BD=8-12 3x，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴∠BAN=12∠BAC=15°，
∵AN⊥BC，DM⊥BC，
∴DM//AN，
∴∠BDM=∠BAN=15°，
∴∠BRM=30°，
∴设BM=m，则BR=2m，
∴DR=BR=2m，
∴RM= 3BM= 3m，
∵BM2+MD2=BD2，
∴m2+( 3m+2m)2=(8-12 3x)2，
∴8m2+4 3m2=(8-12 3x)2，
∴2m2(4+2 3)=(8-12 3x)2，
∴2m2(3+2 3+1)=(8-12 3x)2，
∴2m2( 3+1)2=(8-12 3x)2，
∴ 2m( 3+1)=8-12 3x，
∴m=8-12 3x 2( 3+1)，
∴m=8-12 3x 6+ 2，
∴BM=8-12 3x 6+ 2，
同理：CE=8-x 6+ 2，
∵AN//DM，
∴ADBD=BMMN，
∴12 3x8-12 3x=MN÷8-12 3x 6+ 2，
∴MN=12 3x 6+ 2，
同理：EN=x 6+ 2，
ME=MN+NE=12 3x 6+ 2+x 6+ 2=12 3x+x 6+ 2，
∵DM=2m+ 3m=(2+ 3)×8-12 3x 2( 3+1)=(2+ 3)(8-12 3x) 6+ 2，
∴DE2=DM2+ME2，
=(2+ 3)2(8-12 3x)2( 6+ 2)2+(12 3x+x)2( 6+ 2)2=(2+ 3)2(8-12 3x)2( 6+ 2)2+14x2(2+ 3)2( 6+ 2)2=(2+ 3)2( 6+ 2)2(x2-8 3x+64)=2+ 34(x2-8 3x+64)
∵x2-8 3x+64=x2-8 3x+(4 3)2-(4 3)2=(x-4 3)2+16，
∴原式=2+ 34(x-4 3)2+8+4 3，
即正方形DEGF的面积=2+ 34(x-4 3)2+8+4 3，
故当x=4 3时，
正方形DEGF的面积有最小值=8+4 3，
故选：D．
过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15°，交DM于R.设AP=x，则PC=8-x，利用30得DP=12x，AD=12 3x，故BD=8-12 3x，利用两个15°得∠BRM=30°，设BM=m，再利用勾股定理计算出m=8-12 3x 2( 3+1)，接着利用平行成比例得ADBD=BMMN，得MN=12 3x 6+ 2，同理：EN=x 6+ 2，再利用勾股定理得DE2=DM2+ME2=2+ 34(x2-8 3x+64)，再利用配发求最值即可．
本题考查了含30°的三角形的知识，做出高，利用30°的性质是解题关键．
24.【答案】C
【解析】解：连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP=∠BFP=90°，
∴EG=GF=BG=12BP，
∴∠BEG=∠EBG，∠BFG=∠FBG，
∴∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG=2(∠EBG+∠FBG)=2∠B=2×45°=90°，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴EF= EG2+FG2= (12BP)2+(12BP)2= 22BP，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C=60°，
∴BPBC=sinC=sin60°，
∴BP=BC⋅sin60°=6× 32=3 3，
∴BP的最小值为3 3，
此时，EF的最小值为 22×3 3=32 6，
故选：C．
连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，先证明△EGF为等腰直角三角形，得到EF= 22BP，进而可知当BP⊥AC时EF最小，利用三角函数求出BP的最小值即可求解，
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】D
【解析】解：∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=12∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠ABG=∠CBG，
又∵∠BAG=∠BAC，
∴△ABG∽△ACB；故①正确；
∴AGAB=ABAC=BGBC，
∴812=12AC，
∴AC=18，
∴CG=10，
∵∠C=∠ABG=∠CBG，
∴BG=CG=10，
∴812=10BC，
∴BC=15，故②正确；
∵∠ADE=∠ABC，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠ABG=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
∴CEBF=CDAB，
∵BF=2CE，AB=12，
∴CD=6，
∴BD=9，
过点G作GH//DC，交AD于H，
∴AGAC=HGDC，
∴818=HG6，
∴HG=83，
∵GH//CD，
∴BFFG=BDHG=983=278，故③正确，
故选：D．
由角平分线的性质可证∠C=∠ABG=∠CBG，可证△ABG∽△ACB；故①正确；由相似三角形的性质可求AC=18，即可求BC=15，故②正确；通过证明△ABF∽△DCE，可求CD，BD的长，由平行线分线段成比例可求BFFG=BDHG=278，故③正确，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
26.【答案】32 2
【解析】解：如图，过点D作DN⊥DE交BE于点N，
∵高AD，BE相交于点H，
∴∠BDH=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠AHE=∠DBH+∠BHD=90°，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠DAC=∠DBH，
即∠NBD=∠EAD，
∵DN⊥DE，
∴∠NDE=90°=∠ADB，
∴∠BDN=∠ADE，
在△ADE和△BDN中，
∠NBD=∠EADBD=AD∠BDN=∠ADE，
∴△ADE≌△BDN(ASA)，
∴DN=DE，BN=AE=2，
∴NE=BE-BN=5-2=3，
∵∠NDE=90°，DN=DE，
∴DE= 22NE=32 2，
故答案为：32 2．
过点D作DN⊥DE交BE于点N，根据直角三角形的性质、角的和差求出∠NBD=∠EAD，∠BDN=∠ADE，利用ASA证明△ADE≌△BDN，根据全等三角形的性质求出DN=DE，BN=AE=2，根据线段的和差求出NE=3，解直角三角形求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出合理的辅助线构建全等三角形．
27.【答案】= 4
【解析】解：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC，
∴∠ABE=∠C．
故答案为：=；
(2)由(1)得∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴AEAD=BECD，
∵BD：BC=2：5，
∴BDCD=23，
∵BE=BD，
∴BECD=23=AEAD，
∵AD=12，
∴AE=8，
∴DE=12-8=4．
故答案为：4．
(1)根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED=∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB=∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
(2)先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质证得AE与AD的比值，根据AD=12求出AE的值，进而求出DE的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28.【答案】3 2 3或9-3 5
【解析】解：(1)矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
根据折叠的性质，得AB=AF=6，∠ABC=∠AFE=90°
∴CF=AC-AF=4，
设BE=EF=x，则CE=BC-BE=(8-x)，
∴(8-x)2=x2+42
解得x=3．
故答案为：3．
(2)当DF=CF时，
如图，过点F作FM⊥DC于点M，FG⊥AD于点G，
∴四边形DMFG是矩形，DM=MC=12CD=3，
根据折叠的性质，得AB=AF=CD，∠BAE=∠FAE，
∴FG=DM=MC=12AF=3，
∴∠GAF=30°，
∴∠BAE=∠FAE=∠GAF=30°，
∴BE=ABtan∠BAE=6× 33=2 3；
当DF=DC时，
如图，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，
∴DF=DC=AB=AF=6，
∴直线FM是矩形的对称轴，
∴AM=DM=BN=CN=12BC=4，四边形ABNM是矩形，
∴FM= AF2-AM2=2 5，AB=MN=6，
∴FN=MN-FM=6-2 5，
设BE=EF=x，则EN=BN-BE=(4-x)，
∴(4-x)2+(6-2 5)2=x2
解得x=9-3 5．
故答案为：2 3或9-3 5．
(1)根据勾股定理，得到AC= AB2+BC2=10，AB=AF=6，继而得到CF=AC-AF=4，设BE=EF=x，则CE=BC-BE=(8-x)，利用勾股定理解答即可．
(2)分DF=CF和DF=DC两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
29.【答案】52 3239
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴BE= AB2+AE2= 42+32=5，
∵F为BE的中点，
∴EF=BF=12BE=52，
故答案为：52；
(2)如图，过点F作FG//BC交CE于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴AD//BC//FG，
∴△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠CBF+∠EBA=∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠EBA，
∴△BCF∽△EBA，
∴BCEB=BFEA，
即BC5=523，
解得：BC=256，
∴AD=BC=256，
∴DE=AD-AE=256-3=76，
∵F为BE的中点，CF⊥BE，
∴CE=CB=256，
∵△EFG∽△EBC，
∴EGEC=FGBC=EFBE=12，
∴EG=12CE=2512，FG=12BC=2512，
∵△DOE∽△FOG，
∴OEOG=DEFG=762512=1425，
∴OE=1414+25EG=1439×2512=175234，
∴OC=CE-OE=256-175234=400117，
∴OCCE=400117256=3239，
故答案为：3239．
(1)由勾股定理求出BE的长，即可得出结论；
(2)过点F作FG//BC交CE于点G，则AD//BC//FG，得△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，证△BCF∽△EBA，求出BC=256，再由线段垂直平分线的性质得CE=CB=256，然后由相似三角形的性质求出OE的长，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
30.【答案】32 1305或 3705
【解析】解：(1)当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
又∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=52，
又∵CQ=CP=1，
∴DQ=CD-CQ=52-1=32，
故答案为：32；
(2)如图：
∵CD⊥AB，
∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴AD= AC2-CD2= 32-(125)2=95，
∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：
CQ=CP=CQ'=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在 Rt△ADO中，DQ=CD-CQ=125-1=75，
∴AQ= AD2+DQ2= (95)2+(75)2= 1305；
当点Q在DC的延长线上，在 Rt△ADQ'中，DQ'=CD+CQ'=125+1=175，
∴AQ'= AD2+DQ'2= (95)2+(175)2= 3705，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 1305或 3705，
故答案为： 1305或 3705．
(1)根据勾股定理得到AB长，当点Q在CD上时，DQ最小，计算即可；
(2)现根据三角形的面积求出CD长，然后利用勾勾股定理求出AD长，分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
31.【答案】(1)7316；
(2)6【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
(1)设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，运用勾股定理计算即可．
(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，当C'与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【解答】
解：(1)∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，C'为线段AD的中点，
∴AB=CD=8，C'D=12BC=3，∠D=90°,CN=C'N；
设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=8-x，
∴C'N2=DN2+C'D2，
∴x2=(8-x)2+32，
解得：x=7316，
故答案为：7316．
(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MN=BC=6；
当C'与点A重合时，MN取得最大值，
∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB=CD=8，AD=BC=6，∠D=90°，CN=C'N=AN；
设CN=x，则C'N=AN=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，
∴AN2=DN2+AD2，
∴x2=(8-x)2+62，
解得x=254．
∵矩形ABCD中，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB//CD，∠CNM=∠ANM，
∴∠CNM=∠AMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN=CN=254；
∴DN=CD-CN=8-254=74；
过点N作NE⊥AB于点E，
则四边形AEND是矩形，
∴AE=DN=74,NE=AD=6,ME=AM-AE=184=92；
∴MN2=NE2+ME2，
∴MN= 62+(92)2=152，
∵C点折叠后的对应点C'在线段AD上(不与两端点重合)
∴折痕MN的长度的取值范围为6故答案为：632.【答案】(1)证明：∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.∠ABI=∠CBI，
∴∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI=∠IBD．
∴DI=DB；
(2)解：过O作OH⊥AD于点H，
∴AH=HD，
∵点O为AB的中点，
∴OH=12BD=1，
∵AB为直径，
∴∠D=90°
∵DI=DB，
∴△BDI是等腰直角三角形，
∴ID=BD=2.∠BID=45°，
∵IO⊥BI，即∠OIB=90°，
∴∠OIH=45°，
∴△OHI是等腰直角三角形，
∴OH=HI=1，
∴AH=HD=HI+DI=HI+DB=1+2=3，
∴AL=AH+HI=4．
【解析】(1)根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD=∠CAD=∠CBD，∠ABI=∠CBI，从而得到∠BID=∠IBD，即可求证；
(2)过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得AH=HD，根据三角形中位线定理可得OH=12BD=1，再证明△BDI是等腰直角三角形，可得ID=BD=2.∠BID=45°，从而得到△OH1是等腰直角三角形，进而得到OH=H1=1，即可求解．
本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
33.【答案】(1)解：∵BD=BF，
∴∠DCB=∠A．
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠AGD=90°．
∵∠CGF=∠AGD，
∴∠DCB+∠CGH=90°，
∴∠CHG=90°，
∴∠AHB=∠CEB=90°．
在△AHB和△CEB中，
∠AHB=∠CEB=90°∠B=∠BAB=CB，
∴△AHB≌△CEB(AAS)，
∴BH=BE=4；
(2)证明：连接CF，BF，如图，
∵BD=BF，
∴∠A=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABH∽△CBE，
∴AHAB=CECB．
∵∠AHB=∠CHF，∠A=∠FCB，
∴△AHB∽△CHF，
∴AHAB=CHCF，
∴CECB=CHCF．
∵BD=BF，
∴∠ECB=∠FCB，
∴△CEH∽△CBF，
∴∠CEH=∠CBF．
∵∠CBF=∠D，
∴∠CEH=∠D，
∴DF//EH．
【解析】(1)利用圆周角定理，垂直的定义，三角形的内角和定理∠AHB=∠CEB=90°，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)连接CF，BF，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到CECB=CHCF，再利用相似三角形的判定与性质得到∠CEH=∠CBF，利用圆周角定理和等量代换的性质得到∠CEH=∠D，最后利用同位角相等两直线平行的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
34.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
(2)解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED=180°，
∵∠DEF+∠AED=180°，
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF=FC=1，AF=4，
∴AC=AF+CF=5，
∴AB=5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴∠DAF=90°-∠ADF=∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴AFDF=DFCF，
∴DF2=AF⋅CF=4×1=4，
∴DF=2，
在Rt△ADF中，
AD= AF2+DF2=2 5，
∴sinC=ADAC=2 55，
∴sin∠ABC=2 55．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是2 55．
【解析】(1)由AB=AC，得∠B=∠C，即可得∠C=∠ODB，故OD//AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
(2)连接DE，AD，由∠DEF=∠ABC，可得∠DEC=∠C，DE=DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF=FC=1，AF=4，AC=AF+CF=5，即得AB=5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2=AF⋅CF=4，DF=2，在Rt△ADF中，AD= AF2+DF2=2 5，得sinC=ADAC=2 55，从而sin∠ABC=2 55．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
35.【答案】135°-α
【解析】(1)解：∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠ADC=α，
∴∠ACD=90°-α，
∵EG⊥CD，
∴∠ACD+∠CGF=90°，
∴∠CGF=90°-∠ACD=α，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△CGE中，∠GCE=45°，∠CGE=α，
∴∠CEG=180°-∠CGE-∠GCE=180°-α-45°=135°-α，
故答案为：135°-α；
(2)证明：由(1)得，∠CGE=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CGE=∠ADC=∠BDE，
又∵∠GCE=∠DBE=45°，
∴△BDE∽△CGE；
(3)解：如图，过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，
∴∠MCA=∠CAB=∠ABM=90°，
∴四边形ABMC是矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABMC是正方形，
∴∠DBE=∠PBE=45°，AC//BM，AB=BM，∠M=90°，
∴∠CGE=∠BPE=∠BDE，
在△BDE和△BPE中，
∠DBE=∠PBE∠BDE=∠BPEBE=BE，
∴△BDE≌△BPE(AAS)，
∴BD=BP，
∵AB=BM，
∴AB-BD=BM-BP，
∴AD=MP，
∵∠MCN=∠CNP=M=∠90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PM=CN，PN=CM=AB=AC，
在△PNG和△CAD中，
∠PGN=∠CDA∠PNG=∠CADPN=CA，
∴△PNG≌△CAD(AAS)，
∴NG=AD，
∴AD=NG=PM=CN，
∴CG=2AD，
∴ADCG=12．
(1)根据直角三角形的性质求出∠ACD=90°-α，进而求出∠CGF=90°-∠ACD=α，根据等腰直角三角形的性质求出∠GCE=45°，再根据三角形内角和定理求解即可；
(2)结合(1)求出∠CGE=∠BDE，∠GCE=∠DBE=45°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(3)过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，结合正方形的性质推出四边形ABMC是正方形，根据正方形的性质利用AAS证明△BDE≌△BPE，得出BD=BP，进而求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的性质得出PM=CN，PN=CM=AB=AC，利用AAS证明△PNG≌△CAD，根据矩形的性质、全等三角形的性质求出AD=NG=PM=CN，则CG=2AD，据此即可得解．
此题是三角形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
36.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF．
(2)∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°-∠DAE=∠ABD，
∵tan∠ABD=12，
∴tan∠ADE=AEDE=12，
设AE=x，DE=2x，
∵AF=DF=5，
∴EF=DE-DF=2x-5，
∴(2x-5)2+x2=52，
解得x=4或x=0(舍去)，
∴DE=2x=8，
∵tan∠ABD=12，
∴DEBE=12，
∴BE=16，
∴AB=AE+BE=20
∴⊙O的半径为10．
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)根据tan∠ADE=AEDE=12，设AE=x，DE=2x，利用勾股定理求得x，再利用正切函数计算即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
37.【答案】(1)证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CDB，
∵∠CEB=∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)解：∵OE//AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴AD= AB2-BD2= 102-82=6，
∴AE= AD2+DE2= 62+42=2 13，
设BC=x，EC=y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(2 13+y)2+x242=x2+y2,
整理得：x2+y2+4 13y-48=0x2+y2=16，
∴16+4 13y-48=0，
解得：y=8 13，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=12 1313或x=-12 1313(舍去)，
∴BC的长为12 1313．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
(2)由OE//AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ACB=90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC=x，EC=y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
38.【答案】(1)解：∵AB=AC，若∠BAC=α．
∴∠B=∠ACB=180°-α2，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-180°-α2=90°+12α；
(2)①证明：∵∠ADB=∠ACB，∠CAD=∠CBD，
∴△ADE∽△BCE，
∴AEBE=DECE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE，
∵AB=AC，
∴AE⋅AB-AE2=BE⋅DE，
AE2=AE⋅AB-BE⋅DE；
②解：设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，
∵AB=AC=5，
∴∠ABC=∠ACB=180°-2α2=90°-α，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBC=90°-α-α=90°-2α，
在△AEB中∠AEB=180°-∠CAB-∠ABD=180°-2α-(90°-2α)=90°，
∴AC⊥BD，
∵BE2=BC2-CE2=AB2-AE2，
∴62-(5-AE)2=52-AE2，
∴AE=75,CE=185，
∴BE= AB2-AE2=245，
由①知AE⋅CE=BE⋅DE，DE=75×185245=2120，
∴CD= DE2+CE2= (2120)2+(185)2=154．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
(2)①先证明△ADE∽△BCE，得AE⋅CE=BE⋅DE，再根据AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE即可得出结论；②设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，先证明AC⊥BD，再根据勾股定理求出AE，BE，CE的长，由①知AE⋅CE=BE⋅DE，求出DE的长，再根据勾股定理即可．
本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
39.【答案】(1)证明：过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BCA=45°，
∴∠GCF=45°，
∵∠AFB=∠CFG，∠AFB=∠CFD，
∴∠CFG=∠CFD，
又∵CF=CF，
∴△DCF≌△GCF(ASA)，
∴CD=CG，
∵∠ABC=∠BCG=90°，
∴AB//CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴ABCG=AFCF=2，
∴AB=2CG，
又∵AB=CB，
∴BC=2CG=2CD，
∴BD=CD；
(2)证明：∵△DCF≌△GCF，
∴DF=FG，
∵BD=CD=CG，∠ABD=∠BCG=90°，AB=BC，
∴△ABD≌△BCG(SAS)，
∴AD=BG，
∵BG=BF+FG，
∴AD=BF+DF；
(3)解：过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，
由(2)可知，∠BAD=∠CBF，
∵∠ABD=∠ABE+CBE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AD⊥BF，
∴DE//CM，
∵BD=CD，
∴BE=EM，
又∵AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，
∴△ABE≌△BCM(AAS)，
∴BE=CM，
∴EM=CM，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴CE= 2CM= 2BE，
∴BECE= 22．
【解析】(1)过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，证明△DCF≌△GCF(ASA)，得出CD=CG，证明△ABF∽△CGF，由相似三角形的性质得出ABCG=AFCF=2，则可得出结论；
(2)证明△ABD≌△BCG(SAS)，由全等三角形的性质得出AD=BG，则可得出结论；
(3)过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，证明△ABE≌△BCM(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CM，证出EM=CM，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
40.【答案】(1)证明：在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AC，AD=AE，
即AB：AD=AC：AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED+∠BEF=∠C+∠CAE，
∴∠BEF=∠CAE，
∵∠EBF=∠C，
∴△BEF∽△CAE，
∴BE：CA=BF：CE，
∴CE⋅BE=CA⋅BF；
(3)解：∵∠BAC=90°，AC=AB=4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，BC= 2AC=4 2，
∵CEBE=13，
∴CE= 2，BE=3 2，
由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠C=45°，BD=CE= 2，
∴∠DBE=∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
在Rt△BDE中，∵BD= 2，BE=3 2，
∴DE= ( 2)2+(3 2)2=2 5．
【解析】(1)证明△ABD与△ACE全等得到BD=CE；
(2)先证明△ABC∽△ADE得到∠AED=∠C，再证明△BEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和比例性质得到结论；
(3)先证明△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=∠C=45°，BC= 2AC=4 2，所以CE= 2，BE=3 2，由△ABD≌△ACE得到∠ABD=∠C=45°，BD=CE= 2，接着证明∠DBE=90°，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可计算出DE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
41.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠NCF=180°-∠DCB=90°=∠DCE，
∴∠F+∠CNF=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EDC+∠DNM=90°，
∵∠DNM=∠CNF，
∴∠EDC=∠F，
∴△CNF∽△CED；
(2)解：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EMF=90°=∠DCB，
又∵∠F=∠EDC，EF=ED，
∴△MFE≌△CDE(AAS)，
∴EM=CE，
∵E是BC的中点，正方形ABCD的边长为2．
∴BE=CE=EM=12BC=1，
∵CF=EF-EC，MD=ED-EM，
∴CF=MD，
又∵∠DMN=∠FCN=90°，∠DNM=∠CNF，
∴△DMN≌△FCN(AAS)，
∴DN=FN，
∴CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2= 22+12= 5，
∴sin∠EDC=CEDE=1 5= 55，
∴CNDN= 55；
②由①知，CNDN= 55，
设CN=x，则DN= 5x，
∴CN+DN=CD=( 5+1)x=2，
∴x= 5-12，
∴CN= 5-12，
∴S△CEN=12CE⋅CN= 5-14，
在Rt△BFG中，BGBF=tanF=tan∠EDC=CECD=12，
∴BG=12BF=12(BE+EF)，
∴EF=ED= 5，
∴BG=12×(1+ 5)= 5+12，
∴四边形GBEN的面积=S梯形BCNG-S△CEN=12×( 5-12+ 5+12)×2- 5-14=3 5+14．
【解析】(1)根据正方形的性质及邻补角定义求出∠NCF=∠DCE，结合直角三角形的性质、对顶角性质求出∠EDC=∠F，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)①利用AAS证明△MFE≌△CDE，△DMN≌△FCN，根据全等三角形的性质求出DN=FN，则CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，解直角三角形求解即可；
②结合①根据线段的和差求出CN= 5-12，则S△CEN= 5-14，根据锐角三角函数定义求出BG= 5+12，再根据四边形GBEN的面积=S梯形BCNG-S△CEN求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
42.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，CA=CB，点E是AB的中点，
∴∠CEB=90°，
∵CG⊥BD，
∴∠FGC=∠FEB，∠GFC=∠EFB
∴△CFG∽△BFE．
(2)①∵∠ACB=90°，CA=CB，点E是AB的中点，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∵∠FGC=∠FEB，
∴G，E，B，C四点共圆，
∴∠EGB=∠ECB=45°．
②过点E作EM⊥EG，交BG于点M，
∵∠EGB=45°，
∴∠EGB=∠EMG=45°，
∴EG=EM,GM= EG2+EM2= 2EG，
∵∠GEC=90°-∠FEM=∠MEB，EC=EB，
∴△GEC≌△MEB(SAS)，
∴CG=BM，
∵GM=BG-BM，
∴GM=BG-CG，
∴BG-CG= 2EG．
【解析】(1)根据∠FGC=∠FEB，∠GFC=∠EFB，证明△CFG∽△BFE即可．
(2)①根据∠FGC=∠FEB，判定G，E，B，C四点共圆，得∠EGB=∠ECB=45°．
②过点E作EM⊥EG，交BG于点M，证明△EGM是等腰直角三角形，再证明△GEC≌△MEB(SAS)，结合勾股定理即可得BG-CG= 2EG．
本题考查了三角形综合，三角形相似，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似，四点共圆，三角形全等是解题的关键．
43.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵DA⊥DB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴点A，C，B，D四点共圆，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴DA=DB；
(2)解：∵DA⊥DB，DA=DB，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴∠DBA=45°，ABDB= 2，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=∠ACB=90°，
∴点F，C，B，E四点共圆，
∴∠EFB=∠BCD=45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABF=45°-∠ABE=∠DBE，
∵点A，C，B，D四点共圆，
∴∠BAF=∠BDE，
∴△ABF∽△DBE，
∴AFDE=ABDB= 2．
【解析】(1)证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；
(2)结合(1)可得△DAB是等腰直角三角形，再证明点F，C，B，E四点共圆，可得∠EFB=∠BCD=45°，然后证明△ABF∽△DBE，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABF∽△DBE．
44.【答案】(1)证明：∵AD=BC，BD=AC，AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠ABD=∠CAB，
同理可得：△ADC≌△BCD(SSS)，
∴∠ACD=∠BDC，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，
∴AB//CD；
(2)①如图1，
作BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，
∴∠DBE=180°-∠AOB=180°-120°=60°，四边形AEBC是平行四边形，
∴AE=BC，
∵AC=BD，
∴BD=BE，
∴△BED是等边三角形，
∴DE=BE，∠BDE=∠DEB=60°，
∴∠DFO=∠BED=60°，
∵CD=BC，
∴AE=CD，
由(1)得，
∠DAF=∠ADF，
∵∠DFO=∠DAF+∠ADF，
∴60°=∠DAF+∠DAF=∠ADF+∠ADF，
∴∠DAF=∠ADF=30°，
∴∠ADO=∠BDE+∠ADF=60°+30°=90°，
∴OA=2OD；
②如图2，
取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，
∵M，N分别是AD和BC的中点，
∴MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，
∴∠OGX=180°-∠AOB=60°，∠OHX=180°-∠AOB=60°，
∴∠MXN=360°-∠OGX-∠OHX-∠AOB=120°，
∵AC=BD，
∴MX=NX，
∴MN= 3NX，
∴MN= 32AC，
∴MNAC= 32．
【解析】(1)可证明△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD，进而得出∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，进而得出结论；
(2)①BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，可证得△BED是等边三角形，从而DE=BE，∠BDE=∠DEB=60°，进而得出∠DFO=∠BED=60°，由(1)结论得出∠DAF=∠ADF，进而求得∠DAF=∠ADF=30°，进一步得出结论；
②取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，根据三角形中位线性质得出MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，从而得出∠OGX=180°-∠AOB=60°，∠OHX=180°-∠AOB=60°，从而得出∠MXN=360°-∠OGX-∠OHX-∠AOB=120°，可得出MX=NX，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等边三角形．
45.【答案】(1)证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠GDF=∠ABG，∠GFD=∠BAG，
∴△DFG∽△BAG，
∴BGDG=ABDF，
又∵CF=2DF，
∴AB=CD=3DF，
∴BGDG=ABDF=3DFDF=3，即BG=3DG；
(2)解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=45°，
又∵DE=DF，BD=BD，
∴△DEB≌△DFB，
∴∠DBE=∠DBF=12∠EBF=15°，BD⊥EF，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABD-∠EBD=45°-15°=30°，
∴AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，
∴DE=DF=AD-AE=6-2 3，
∴EF= 2DE= 2(6-2 3)=6 2-2 6；
(3)证明：连接EF交BD于点H，如图3，
由(2)可知BD⊥EF，BE=BF，
∴∠HEN+∠ENH=∠NBM+∠BNM=90°，
∴∠HEN=∠NBM，
又∵∠EHN=∠BHF=90°，
∴△ENH∽△BFH，
∴ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，
又∵DE=DF，∠EDB=45°，
∴EH=HF=DH，
∴ENBF=EH+NHBH+FH=DH+HNBH+DH=DNBD，
又∵BF=BE，
∴ENBE=DNBD．
【解析】(1)根据正方形的性质证明△DFG∽△BAG即可解题；
(2)根据正方形的性质得到△DEB≌△DFB，然后推导出∠ABE=30°，根据三角函数得到AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，进而求出EF的长；
(3)连接EF交BD于点H，推导△ENH∽△BFH，即可得到ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，根据EH=HF=DH和BF=BE等量代换即可解题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．温馨提示：
本卷共45题，题目均选自2024年安徽省各地市一模试题。
本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。
本卷难度较大，适合基础较好的同学。
1.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知直线y=kx+b经过第一、二、三象限，且点(3,1)在该直线上，设m=3k-b，则m的取值范围是( )
A. 0
A. b2-ac>0B. b2-ac=0C. b2-ac<0D. b2-ac≥0
3.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知a，b，c为实数，且b-a=c2+2c+1，b+a=3c2-4c+11，则a，b，c之间的大小关系是( )
A. b≥a>cB. b≥c>aC. a≥b>cD. c>b≥a
4.(2024·安徽省滁州市)如图，正方形ABCD的顶点A，B在y轴上，反比例函数y=kx的图象经过点C和AD的中点E，若AB=2，则k的值是______．
5.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知直角三角形ABO中，∠ABO=90°，BO=2，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且B'为OA中点，A'在反比例函数y=kx上，则k的值______．
6.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，▱OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D(2,2)在对角线OB上，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知▱OABC的面积是5，则点B的坐标为______．
7.(2024·安徽省亳州市)如图，一次函数y=32x+3的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象交于点A．
(1)若点A坐标为(a,4)，则k= ______；
(2)若k=12，则△OAB的面积为______．
8.(2024·安徽省宿州市)如图，在平面直角坐标系中，经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，过点A作AD⊥x轴于点D.连接BD．
(1)△BOD的面积为______；
(2)若AC=BC，ACAB=58，则k的值为______．
9.(2024·安徽省合肥市蜀山区)在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)上任意两点．
(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，则h= ______；
(2)若对于0
10.(2024·安徽省芜湖市)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若该抛物线与y轴交于点C，求△ABC的面积；
(3)当自变量x满足m≤x≤m+1(m≥12)时，此函数的最大值为p，最小值为q，求w=p+q的最小值，并求出对应的m的值．
11.(2024·安徽省宿州市)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为顶点的抛物线与直线AB相交于A(-3,94)，B(1,14)两点．
(1)求该抛物线和直线AB的函数表达式；
(2)点M位于直线OA下方的抛物线上，MN⊥x轴，交直线AB于点N，求线段MN的最大值；
(3)若点P，Q分别是该抛物线和线段AB上的动点，设线段AB与y轴交于点C，以O，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的横坐标．
12.(2024·安徽省六安市)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于O(O为原点)，A(4,0)两点，已知二次函数图象经过点(-2,6)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知y轴上一点B(0,4)，点P是二次函数图象上位于x轴下方的一点，连接PA，PB，AB.设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S．
①求AB直线表达式；
②当S取最大值时，求点P的坐标．
13.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(3,0)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当a-2≤x≤a+1时，抛物线有最小值5，求a的值；
(3)若点P是第四象限内抛物线上一动点，连接PB、PC，求△PBC的面积S的最大值．
14.(2024·安徽省亳州市)已知抛物线y=-18x2+bx+c经过点(-5,-52)和(3,32)．
(1)试确定该抛物线的函数表达式；
(2)如图，设该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，其顶点为C，对称轴为l，l与x轴交于点D．
①求证：△OBC是直角三角形；
②在l上是否存在点P，使得以A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15.(2024·安徽省滁州市)如图，抛物线y=a2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，过点D作DQ⊥x轴于点Q，DQ与BC相交于点M.DE⊥BC于E．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段DE长度的最大值；
(3)连接AC，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
16.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，且与y轴相交于点C(0,5)．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)如图2，点A，B在x轴上(B在A的右侧)，且OA=t(0
②若△CDF的面积记作S1，△EDF的面积记作S2，记S2-S1=S，则S是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
17.(2024·安徽省合肥市经开区)如图(1)是一个高脚杯的截面图，杯体CPD呈抛物线形(杯体厚度不计)，点P是抛物线的顶点，杯底AB=2 3cm，点O是AB的中点，且OP⊥AB，OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm.以O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系(1个单位长度表示1cm)．
(1)求杯体CPD所在抛物线的解析式；
(2)将杯子向右平移2cm，并倒满饮料，杯体CPD与y轴交于点E，如图(2)，过D点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，设吸管所在直线的解析式为y=kx+b，求k的取值范围；
(3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，液面恰好到达点D处(DQ//l)，如图(3
①请你以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出DQ与y轴的交点坐标：
②请直接写出此时杯子内液体的最大深度．
第二部分 几何部分
18.(2024·安徽省滁州市)如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG=4，CF=3，则AE的长是( )
A. 3B. 4C. 5D. 7
19.(2024·安徽省宿州市)如图，在矩形ABCD中，E，F分别在CD边和AD边上，BE⊥CF于点G，且G为CF的中点.若AB=4，BC=5，则BG的长为( )
A. 4B. 3 2C. 2 5D. 2 6
20.(2024·安徽省六安市)如图，△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE上，且∠AFB=90°，则下列结论中不正确的是( )
A. BF平分∠ABCB. ∠CAF=∠BAC-∠DFA
C. S△ADE=14S四边形DBCED. EF=12(BC-AB)
21.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，正方形ABCD中，AB=4，点E，F分别在边AB，BC上，点P在对角线AC上，EF//AC，PE+PF=m，下列结论错误的是( )
A. 若BE=2，则m的最小值为4
B. 若m的最小值为4，则BE=2
C. 若BE=0.5，则m的最小值为5
D. 若m的最小值为5，则BE=0.5
22.(2024·安徽省芜湖市)如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，点E，F分别在AD，CD上，且BC=2CF，连接BE，BF，∠EBF=12∠ABC，连接AC交BE于点M，交BF于点N，则下列结论中错误的是( )
A. ∠BEA+∠BFC=135°B. CA⊥BF
C. BN= 55ABD. AE=34AD
23.(2024·安徽省宿州市)如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=30°，点P为AC边上一动点，PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，连接DE，则以DE为边长的正方形DEGF的面积的最小值为( )
A. 8B. 8 3C. 16-2 3D. 8+4 3
24.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6，点P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3 6B. 32 5C. 32 6D. 32
25.(2024·安徽省亳州市)已知，如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，BG平分∠ABC.点D，E分别是边BC，AC上的点(点D不与点B，C重合)，且∠ADE=∠ABC，AD与BG相交于点F.有下列结论：①△ABG∽△ACB；②若AB=12，AG=8，则BC=15；③若AB=12，AG=8，且BF=2CE，则BF：GF=27：8.其中正确的是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
26.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，高AD，BE相交于点H，连接DE，若BD=AD，BE=5，AE=2，则DE= ______．
27.(2024·安徽省六安市)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE=BD.则：
(1)∠ABE ______∠C(填“>”或“=”或“<”)；
(2)若BD：BC=2：5，AD=12，则DE的长是______．
28.(2024·安徽省合肥市经开区)在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E为线段BC上的动点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处．
(1)当点F落在矩形对角线AC上时，则BE的长为______；
(2)当△CDF是以DF为腰的等腰三角形时，则BE的长为______．
29.(2024·安徽省滁州市)在矩形ABCD中，AB=4，点E为边AD上一点，AE=3，F为BE的中点，
(1)EF= ______；
(2)若CF⊥BE，CE、DF相交于点O，则OCCE= ______．
30.(2024·安徽省芜湖市)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为AB上一点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．
(1)当点D是AB的中点时，DQ的最小值为______；
(2)当CD⊥AB，且点Q在直线CD上时，AQ的长为______．
31.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图，已知矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点M，N分别在边AB，CD上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点B，C分别落在B'，C'处，且点C'在线段AD上(不与两端点重合)．
(1)若C'为线段AD的中点，则CN= ______；
(2)折痕MN的长度的取值范围为______．
32.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO．
(1)求证：DI=DB；
(2)若BD=2，IO⊥BI，求AI的长．
33.(2024·安徽省宿州市)如图，⊙O中的两条弦AB⊥CD于E，点F在⊙O上，BD=BF.连接AF交CD于G，交BC于H．
(1)若AE=2，BE=4.BC=BA，求BH的长；
(2)分别连接DF，EH，求证：DF//EH．
34.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与边AC交于点E，过点D作AC的垂线，垂足为F．
(1)求证：DF为⊙O的切线；
(2)若AE=3，EF=1，求⊙O的半径及sin∠ABC的值．
35.(2024·安徽省合肥市蜀山区)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D、E分别在边AB、BC上，连接CD、DE，恰好∠ADC=∠BDE，过点E作CD的垂线，垂足为点F，且交边AC于点G．
(1)设∠ADC=α，用含α的代数式表示∠CEG为______；
(2)求证：△BDE∽△CGE；
(3)求ADCG的值．
36.(2024·安徽省合肥市经开区)如图，AB是⊙O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F交⊙O于点H，DB交AC于点G．
(1)求证：AF=DF；
(2)若AF=5，tan∠ABD=12，求⊙O的半径．
37.(2024·安徽省合肥市四十五中)如图1，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，交AC于点E．
(1)求证：∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)如图2，连接OE、AD，若OE//AD，且AB=10，BD=8，求BC的长．
38.(2024·安徽省芜湖市)四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC．
(1)如图1，若∠BAC=α，求∠ADC的度数；
(2)如图2.连接BD交AC于点E．
①求证：AE2=AE⋅AB-BE⋅DE；
②若∠BAC=2∠DAC，AB=5，BC=6，求CD的长．
39.(2024·安徽省滁州市)如图，在△ACB中，BA=BC，∠ABC=90°，点D为BC边的点，点F是AC边上的点，AF：FC=2：1，连接DF，且∠AFB=∠CFD．
(1)求证：BD=CD；
(2)求证：BF+DF=AD；
(3)连接CE，求BECE的值．
40.(2024·安徽省六安市)如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A，且AB=AC，AD=AE，∠EAC=∠DAB，点E恰好落在边BC上(与B、C不重合)，连接BD．
(1)求证：BD=CE；
(2)若AB与DE相交于点F，求证：CE⋅BE=CA⋅BF；
(3)若∠BAC=90°，AC=4，且CEBE=13，求DE的长．
41.(2024·安徽省亳州市)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，在BC延长线上取点F，使EF=ED，过点F作FG⊥ED交ED于点M，交AB于点G，交CD于点N，连接CM，EN，EG．
(1)求证：△CNF∽△CED；
(2)若正方形ABCD的边长为2．
①求CNDN的值；
②求四边形GBEN的面积．
42.(2024·安徽省合肥市经开区)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AC上一点，连接BD，点E是AB的中点，连接CE，交BD于点F，过点C作CG⊥BD于点G．
(1)求证：△CFG∽△BFE；
(2)如图②，连接GE，解决以下问题：
①求∠EGB的度数；
②求证：BG-CG= 2EG．
43.(2024·安徽省合肥市四十五中)已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，连接DA、DB，且DA⊥DB于点D．
(1)求证：DA=DB；
(2)如图2，点E、F分别是边CD、AC上的点，且BE⊥EF于点E，求AFDE的值．
44.(2024·安徽省宿州市)在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=BD．
(1)如图1，若AD=BC，求证：AB//CD；
(2)已知∠AOB=120°．
①如图2，若BC=CD，求证：OA=2OD；
②如图3，分别取AD，BC的中点M，N，连接MN，求MNAC的值．
45.(2024·安徽省芜湖市)已知在正方形ABCD中，AB=6，点E，F分别在边AD，CD上，且DE=DF，连接BE，BD．
(1)如图1，连接AF交BD于点G，若CF=2DF，求证：BG=3DG；
(2)如图2，连接EF，BF，若∠EBF=30°，求EF的长；
(3)如图3，连接BF，过点E作EM⊥BF，垂足为M，交BD于点N，求证：ENBE=DNBD．
参考答案
1.【答案】B
【解析】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=-3k+1，
因为直线y=kx+b经过第一、二、三象限，
所以k>0，b>0，即-3k+1>0，
所以k的范围为0
所以m的范围为-1
先利用一次函数图象上点的坐标特征得到b=-3k+1，再利用一次函数与系数的关系得到k>0，b>0，则k的范围为0
2.【答案】A
【解析】解：∵a=2b-c，
∴b=a+c2．
∴b2-ac=(a+c2)2-ac=(a+c)24-4ac4=a2+c2-2ac4=(a-c)24≥0．
∵a≠c，
∴b2-ac>0．
故选：A．
根据完全平方公式以及偶次方的非负性解决此题．
本题主要考查完全平方公式、偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式以及偶次方的非负性是解决本题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵b-a=c2+2c+1=(c+1)2≥0，
∴b≥a，
∵(b-a)-(b+a)=c2+2c+1-(3c2-4c+11)，
∴2a=2c2-6c+10，
a=c2-3c+5，
∵a-c=c2-4c+5=(c-2)2+1>0，
∴a>c，
∴b≥a>c，
故选：A．
根据a-c=(c-2)2+1>0得b≥a，根据(b-a)-(b+a)=c2+2c+1-(3c2-4c+11)得a=c2-3c+5，则a-c=c2-4c+5=(c-2)2+1>0，即可得a>c，综上，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握完全平方公式，配方法．
4.【答案】4
【解析】解：由题意可得：设C(2,a)，则E(1,a+2)，
可得：2a=1×(a+2)，
解得：a=2，
故C(2,2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点C，
∴2=k2，
∴k=4．
故答案为：4．
根据正方形的性质以及结合已知表示出E，C点坐标，进而利用反比例函数图象上点的坐标特征得出等式求出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出E点坐标是解题关键．
5.【答案】-4 3
【解析】解：连接BB'，作A'E⊥x轴于点E，
由题意可得：OB=OB'，B'是OA的中点，
∠AOB=∠A'OB'，OA=OA'，
∴BB'=12OA=OB'，
∴△BOB'是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴OA=2OB=4，∠A'OE=60°，
∴OA'=4，
∴OE=12OA'=2，
∴A'E= 3OE=2 3，
∴A'(-2,2 3)，
∵A'在反比例函数y=kx上，
∴k=-2×2 3=-4 3，
故答案为：-4 3．
连接BB'，作A'E⊥x轴于点E，先证明△BOB'是等边三角形，求出OA=2OB=4，∠A'OE=60°，再得出OE=12OA'=2，进而得出A'E= 3OE=2 3，求出A'(-2,2 3)，即可得出答案．
本题考查求反比例函数的解析式，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，正确得出A'(-2,2 3)是解本题的关键．
6.【答案】(3,3)
【解析】解：过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，则BN过点C，
∵点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=2×2=4，
∴S△CON=12|k|=2，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC=AB，BC//OA，
∴BM=ON，
在Rt△ONC与Rt△BMA中，
∵OC=BA，ON=BM，
∴Rt△ONC≌Rt△BMA(HL)，
∴S△CON=2=S△BAN，
由于OB是▱OABC的对角线，且D(2,2)，于是可设B(b,b)(b>0)，
∴正方形OMBN的面积为是b2=S△CON+S△BAM+S▱OABC，
即b2=2+2+5，
解得b=3(负值舍去)，
∴点B的坐标为(3,3)，
故答案为：(3,3)．
由点D(2,2)在反比例函数y=kx的图象上，可求出k的值，再利用反比例函数系数k的几何意义求出S△CON=2，再根据平行四边形的性质得出S△CON=2=S△BAM，根据对角线BO过点D(2,2)，可得点B的纵横坐标相等，设未知数表示正方形的面积，即可求出点B坐标．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质是解决问题的关键．
7.【答案】83 3
【解析】解：(1)∵点A在一次函数y=32x+3的图象上，
∴4=32a+3，解得a=23，
∴A(23,4)，
∵A(23,4)在反比例函数图象上，
∴k=23×4=83．
故答案为：83；
(2)若k=12，则反比例函数解析式为y=12x，联立方程组y=12xy=32x+3，解得x=2y=6，或x=-4y=-3，
∴A(2,6)，
在一次函数y=32x+3中，令x=0.则y=3，
∴B(0,3)，
∴S△AOB=12×3×2=3．
故答案为：3．
(1)先求出点A坐标，再利用待定系数法求出k值即可；
(2)联立方程组求出A点B点坐标，根据三角形面积计算方法计算即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
8.【答案】8 -9
【解析】解：(1)∵经过坐标原点O的直线与反比例函数y=16x的图象交于A，B两点，
∴点AB关于原点成中心对称图形，
∴OA=OB，
∴S△BOD=S△AOD，
∵k=16，
∴2S△BOD=16，
∴S△BOD=8，
故答案为：8．
(2)连接CO，
∵AC=BC，OA=OB，
∴OC⊥AB，
∵ACAB=58，
∴ACAO=54，
∴AOCO=43，
∴812丨k丨=169，
∴丨k丨=9，
∵反比例函数图象在第二象限，
∴k=-9．
故答案为：-9．
(1)根据反比例函数k值的几何意义以及中心对称图形图形的性质即可求得三角形面积；
(2)连接OC，三线合一可知三角形AOC是直角三角形，利用比例关系的平方等于面积之比，可求得k值．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握比例关系的转化是解答本题的关键．
9.【答案】3 h≤2
【解析】解：(1)若对于x1=1，x2=5，有y1=y2，
得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称，
则h=(1+5)÷2=3；
故答案为：3；
(2)由抛物线y=a(x-h)2+k(a<0)开口向下，
对于0
得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，
故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
故12(x1+x2)>h，
故h≤(0+4)÷2=2．
故答案为：h≤2．
(1)由对于x1=1，x2=5，有y1=y2，得M(x1,y1)，N(x2,y2)关于对称轴对称即可得答案；
(2)由已知得M(x1,y1)到对称轴的距离比N(x2,y2)到对称轴的距离近，故M(x1,y1)与N(x2,y2)的中点在对称轴的右侧，
即可得12(x1+x2)>h，故h≤(0+4)÷2=2．
本题主要考查了二次函数的对称性，解题关键是正确应用对称性．
10.【答案】解：(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0)和点B(3,0)，
1-b+c=09+3b+c=0，
解得：b=-2c=-3，
该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
(2)x=0时y=-3，
∴C(0,-3)，
∵AB=4，
∴S△ABC=12×4×3=6；
(3)当12≤m<1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4，
x=1时，此函数的最小值为q=1-2-3=-4，
∴w=p+q=m2-4-4=m2-8，
m=12时，w=p+q的最小值为-314，
当m≥1时，
x=m+1时，此函数的最大值为p=(m+1)2-2(m+1)-3=m2-4，
x=m时，此函数的最小值为q=m2-2m-3，
∴w=p+q=m2-4+m2-2m-3=2m2-2m-7，
m=1时，w=p+q的最小值为-7，
综上所述：
∵-314<-7，
m=12时，w=p+q有最小值为-314．
【解析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式；
(2)求出点C的坐标，再求△ABC的面积即可；
(3)分两种情况当12≤m<1时，当m≥1时讨论即可．
本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解答本题的关键．对于二次函数y=ax2+k (a,k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(0,k)，对称轴为y轴．
11.【答案】解：(1)设一次函数的表达式为y=kx+b，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
94=-3k+b14=k+b，解得：k=-12b=34，
则一次函数的表达式为：y=-12x+34；
二次函数表达式为：y=ax2，
将点B的坐标代入上式得：14=a，
则二次函数表达式为：y=14x2；
(2)设点N(x,-12x+34)，则点M(x,14x2)，
则MN=(-12x+34)-(14x2)=-14(x+1)2+1≤1，
线段MN的最大值为1；
(3)设点P(m,14m2)，点Q(x,-12x+34)(-3≤x≤1)；
当CO是对角线时，
由中点坐标公式得：
0=m+x34=14m2-12x+34，解得：x=-m=0或2(均舍去)；
当CQ或CP为对角线时，
同理可得：
m=x-12x+34+34=14m2或x=m14m2+34=-12x+34，
解得：x=m=-2或1- 7或1+ 7(舍去)，
综上，点Q的横坐标x=-2或1- 7．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)由MN=(-12x+34)-(14x2)=-14(x+1)2+1≤1，即可求解；
(3)当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当CQ或CP为对角线时，同理可解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法和最值的确定，分类求解是解题的关键．
12.【答案】解：(1)由题意，∵抛物线过点O，
∴c=0．
∴抛物线的表达式为：y=ax2+bx．
∵抛物线过A(4,0)，(-2,6)，
∴16a+4b=04a-2b=6．
∴a=12b=-2．
∴抛物线的表达式为：y=12x2-2x．
(2)①设直线AB的表达式为：y=kx+4，
将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，
∴k=-1．
∴直线AB的表达式为：y=-x+4．
②过点P作PH//y轴交AB于点H，
∵点P的横坐标为t，
∴点P(t,t2-2t)．
∴点H(t,-t+4)．
∴S=S△PHB+S△PHA=PH×AO=×(-t+4-t2+2t)×4=-t2+2t+8，
∴S=-t2+2t+8=-t2+2t+8=-(t-1)2+9≤9，
∴当t=1时，S有最大值．
∴此时点P的坐标为：(1,-1.5)．
【解析】(1)依据题意，用待定系数法即可求解；
(2)①依据题意，设直线AB的表达式为：y=kx+4，将点A的坐标代入上式得：0=4k+4，求出k，即可判断得解；
②依据题意，可得S=S△PHB+S△PHA=12PH×AO，再由S=-t2+2t+8=-(t-1)2+9≤9，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值等知识，解题时要熟练掌握并能理解是关键．
13.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-x1)(x-x2)，
即y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3；
(2)∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4，即抛物线的最小值是-4，
即x=a-2和x=a+1不可能在抛物线对称轴两侧；
当a+1≤1时，即a≤0，
则x=a+1时，抛物线取得最小值，
即y=(a+1-1)2-4=5，
解得：a=3(舍去)或-3，
即a=-3；
当x=a-2≥1时，即a≥3，
则x=a-2时，抛物线取得最小值，
即y=(a-2-1)2-4=5，
解得：a=6，a=0(舍去)，
综上，a=6或-3；
(3)过点P作PH//y轴交BC于点H，
由抛物线的表达式知，点C(0,-3)，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-3，
设点H(x,x-3)，则点P(x,x2-2x-3)，
则S=S△PHC+S△PHB=12×PH×OB=12×3(x-3-x2+2x+3)=-32(x-32)2+278≤278．
即△PBC的面积S的最大值为278．
【解析】【分析】
(1)用待定系数法即可求解；
(2)当a+1≤1时，即a≤0，则x=a+1时，抛物线取得最小值；当x=a-2≥1时，即a≥3，则x=a-2时，抛物线取得最小值，进而求解；
(3)由S=S△PHC+S△PHB，即可求解．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积．利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
14.【答案】(1)解：由题意得：32=-18×9+3b+c-52=-18×25-5b+c，
解得：b=14c=158，
则抛物线的表达式为：y=-18x2+14x+158；
(2)①证明：令y=-18x2+14x+158=0，则x=-3或5，
即点A、B的坐标分别为：(-3,0)、(5,0)，
则抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-18x2+14x+158=2，
则点C(1,2)，
由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，
即OB2=BC2+CO2，
则△OBC是直角三角形；
②解：存在，理由：
∵A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，
则∠PAD=∠COB或∠CBO，
由点B的坐标得：tan∠COB=21=2，
则tan∠PAD=2或12，
设点P(1,m)，
则tan∠PAD=|m|AD=|m|1+3=2或12，
解得：m=±8或±2，
则点P的坐标为：(1,8)或(1,-8)或(1,2)或(1,-2)．
【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)①由点B、C、O的坐标得，OB2=25，BC2=20，CO2=5，即可求解；
②A，D，P为顶点的三角形与△OBC相似，则∠PAD=∠COB或∠CBO，即tan∠PAD=2或12，即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、勾股定理的运用等，分类求解是解题的关键．
15.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3)，
将C(0,3)代入，得：a×(0+1)×(0-3)=3，
解得a=-1，
∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3，
∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；
(2)设D(m,-m2+2m+3)，且0
在Rt△BOC中，BO=3，OC=3，BC= 32+32=3 2，
设直线BC的解析式为y=kx+n，将B(3,0)，C(0,3)代入，
得3k+n=0n=3，
解得k=-1n=3，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴M(m,-m+3)，
∴DM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，
∵DE⊥BC，
∴∠DEM=∠BOC=90°，
∵DQ⊥x轴，
∴DQ//y轴，
∴∠DME=∠BCO，
∴△DME∽△BCO，
∴DEDM=BOBC，即DE-m2+3m=33 2，
∴DE=- 22m2+3 22m=- 22(m-32)2+9 28，
∴当m=32时，DE取得最大值，最大值是9 28；
(3)存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CAO相等．
∵A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，
∴OA=1，OC=OB=3，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵DQ⊥x轴，
∴∠BMQ=∠DME=45°，
∵DE⊥BC，
∴ME=DE，
设D(m,-m2+2m+3)，且0
由(2)知DE=- 22m2+3 22m，
∴CE= 2m-(- 22m2+3 22m)= 22m2- 22m，
①若∠DCE=∠CAO，
∴tan∠DCE=tan∠CAO=OCOA=3，
∵tan∠DCE=DECE=3，
∴DE=3CE，
∴- 22m2+3 22m=3( 22m2- 22m)，
解得m=32或0(舍去)，
∴点D的坐标为(32,154)；
②若∠CDE=∠CAO，
则tan∠CDE=tan∠CAO=3，
∵tan∠CDE=CEDE=3，
∴CE=3DE，
∴3(- 22m2+3 22m)= 22m2- 22m，
解得m=52或0(舍去)，
∴点D的坐标为(52,74)；
综上，存在，点D的坐标为(32,154)或(52,74).
【解析】(1)根据题意可得y=a(x+1)(x-3)，将C(0,3)代入y=a(x+1)(x-3)，解方程即可；
(2)设D(m,-m2+2m+3)，先求出直线BC的解析式，再证明△DGE∽△BCO，根据相似三角形性质，用含m的代数式表示出DE，再利用二次函数最值即可得到答案；
(3)△CDE中有一个角与∠CAO相等，分两种情况：①若∠DCE=∠CAO，②若∠CDE=∠CAO，运用三角函数定义和等腰直角三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数最值应用，相似三角形的判定和性质，三角函数定义应用等知识点，解题关键是熟练应用待定系数法求函数解析式，应用解方程或方程组求点的坐标，应用二次函数最值求线段最大长度．
16.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，
∴设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，
将点C(0,5)代入得4+h=5，解得h=1，
∴抛物线y=x2+bx+c的表达式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5；
(2)①∵抛物线y=x2-4x+5，OA=t(0
∴E(t+1,t2-2t+2)，
设直线CE的解析式为y=kx+5，
∴(t+1)k+5=t2-2t+2，解得k=t-3，
∴直线CE的解析式为y=(t-3)x+5，
∴F(t,t2-3t+5)，
∴DF=t2-3t+5-t2+4t-5=t，
∴DF的长为t；
②∵OA=t(0
∴S=S2-S1=12t-12t2=-12(t-12)2+18，
∴当t=12时，S有最大值，最大值为18．
【解析】(1)由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，设抛物线的顶点式为y=(x-2)2+h，将点C(0,5)代入即可求解；
(2)①由抛物线y=x2-4x+5可得D(t,t2-4t+5)，E(t,t2-2t+2)，利用待定系数法求出直线CE的解析式为y=(t-3)x+5，则F(t,t2-3t+5)，即可得DF的长(用含t的代数式表示)；
②求出△CDF的面积记作S1=12t2，△EDF的面积记作S2=12t，则S=S2-S1=12t-12t2=-12(t-12)2+18，根据二次函数的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵OP=CD=6cm，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．
∴P(0,6)，D(3,15)，
设抛物线的解析式为y=ax2+b，
∴9a+b=15b=6，
解得a=1b=6，
∴抛物线的解析式为y=x2+6．
(2)∵抛物线的解析式为y=x2+6，
∴平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10．
∴抛物线的对称轴为直线x=2，E(0,10)，
∴E(0,10)的对称点为F(4,10)，
∵(3,15)，
∴平移后D(5,15)，
设直线DE的解析式为y=kx+10，
∴15=5k+10，
解得k=1；
∴y=x+10；
设直线DF的解析式为y=px+q，
∴5p+q=154p+q=10，
解得p=5q=-10；
∴y=5x-10，
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，
∴1
∵CD=6，杯子的高度(即CD，AB之间的距离)为15cm．
∴DT=CT=12CD=3，OT=15，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS=60°，∠OSB=30°，
∵DQ//l，
∴∠TMD=∠OSB=30°，
∴TM=TDtan30∘=3 3，
∴OM=OT-TM=15-3 3，
∴M(0,15-3 3)．
②∵抛物线的解析式为y=x2+6，
设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；
过点N作NG//y轴，交DM于点G，
∵水平桌面/上的装有饮料的高脚杯绕点B顺时针旋转60°，
∴∠ABS=60°，∠OSB=30°，
∵DQ//l，
∴∠TMD=∠OSB=30°，
过点G作GE⊥y轴于点E，
∵NG//y轴，
∴GE=n，∠TMD=∠MGN=30°，
∴ME=GEtan30∘= 3n，
∴OE=OM+ME= 3n+15-3 3，
∴G(n, 3n+15-3 3)，
∴GN= 3n+15-3 3-n2-6
=-n2+ 3n+9-3 3
=-(n- 32)2+34+9-3 3
=-(n- 32)2+394-3 3，
∵a=-1<0，0≤ 32≤3，
∴n= 32时，GN取得最大值，且最大值为394-3 3，
过点N作NH⊥MD于点H，
则NH=12GN=398-3 32，
故NH的最大值为398-3 32，
故液体的最大深度为398-3 32．
【解析】(1)根据题意，得到P(0,6)，D(3,15)，设抛物线的解析式为y=ax2+b，代入计算即可；
(2)先确定平移后的解析式为y=(x-2)2+6=x2-4x+10，再计算直线DE的解析式和直线DF的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点E，确定范围即可．
(3)①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设DQ与y轴的交点为M，计算OM的长即可得到坐标．
②设点N是抛物线上的一点，且N(n,n2+6)，0≤n≤3；过点N作NG//y轴，交DM于点G，过点G作GE⊥y轴于点E，确定G(n, 3n+15-3 3)，计算GN得最大值，且最大值为394-3 3，过点N作NH⊥MD于点H，则NH=12GN=398-3 32，
故NH的最大值为398-3 32．
本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键．
18.【答案】C
【解析】解：如图，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=45°，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD=90°，
∴四边形CFEG是矩形，
∴EF=GC=4，∠EFC=90°，
∴CE= CF2+EF2= 9+16=5，
∴AE=CE=5，
故选：C．
由“SAS”可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可证四边形CFEG是矩形，可得EF=GC=4，∠EFC=90°，由勾股定理可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19.【答案】C
【解析】解：连接BF，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，
∵BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，
∴BE是CF的中线，即BF=BC=5，
∴AF= BF2-AB2= 52-42=3，DF=2，
CF= FD2+CD2= 22+42=2 5，CG= 5，
∵∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90°，
∴∠DCF=∠EBC，
∴tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，
∴BG=2 5．
故选：C．
连接BF，根据四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=CD=4，AD=BC=5，又因为BE⊥CF于点G，且G为CF的中点，则BE是CF的中线，即BF=BC=5，根据勾股定理求出AF，AF，DF，CF，CG，又因为∠GBC+∠GCB=∠DCF+∠GCB=90°，得出∠DCF=∠EBC，利用正切值tan∠1=tan∠2，即CGBG=FDCD，得出BG．
本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
20.【答案】C
【解析】解：∵点D是AB的中点，∠AFB=90°，
∴DF=12AB=AD=BD，
∴∠DBF=∠DFB，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=12BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴∠DBF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，故选项A不符合题意；
∵DF=DA，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠CAF=∠BAC-∠DAF=∠BAC-∠DFA，选项B不符合题意；
∵DE//BC，DE=12BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(12)2=14，
∴S△ADES四边形DBCE=13，
∴S△ADE=13S四边形DBCE，选项C符合题意；
延长AF交BC于点G，
∵∠ABF=∠GBF，BF=BF，∠AFB=∠GFB=90°，
∴△ABF≌△GBF(ASA)，
∴AF=FG，AB=BG，
∵AE=EC，
∴EF=12CG=12(BC-BG)=12(BC-AB)，选项D不符合题意．
故选C．
由直角三角形斜边上的中线性质得到DF=12AB=AD=BD，则∠DBF=∠DFB，再证明DE为△ABC的中位线，得到DE//BC，进而推出∠DBF=∠CBF，即可判断A；根据DF=DA，得到∠DAF=∠DFA，即可得到∠CAF=∠BAC-∠DAF=∠BAC-∠DFA，即可判断B；证明△ADE∽△ABC，得到S△ADES△ABC=14，则S△ADES四边形DBCE=13，即可判断C；延长AF交BC于点G，证明△ABF≌△GBF，得到AF=FG，AB=BG，即可判断D．
本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判断，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
21.【答案】D
【解析】解：作点E关于AC的对称点E'，连接EE'，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°，
∴点E'在AD上，
∵点P在对角线AC上，
∴PE=PE'，
∴当点E，P，E'在一条直线上时，PE+PF=m取得最小值．
∵EF//AC，
∴∠BEF=∠BAC=45°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE=BF．
∵若BE=2，AB=4，
∴BF=2，AE=AE'=2，
∴点E，P，E'在一条直线上，PE+PF=m取得最小值，这时，四边形ABFE'为矩形，
∴PE+PF=m=E'F=AB=4，
∴若BE=2，则m的最小值为4，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵m的最小值为4，
∴此时点E，P，E'在一条直线上，且E'F=AB=4，
∴四边形ABFE'为矩形，
∴AE'=BF，
∴AE=BE=12AB=2．
∴B的结论正确，不符合题意；
∵BE=0.5，
∴BF=0.5，AE=AE'=3.5，
∴EF=12 2，EE'=72 2．
∵△AEE'，△BEF为等腰直角三角形，
∴∠AEE'=∠BEF=45°，
∴∠E'EF=90°．
∴点E，P，E'在一条直线上时，E'F= EF2+EE'2=5，
∴若BE=0.5，则m的最小值为5．
∴C的结论正确，不符合题意；
若m的最小值为5，设BE=x，则AE=AE'=4-x，
∴( 2x)2+[ 2(4-x)]2=52，
∴x=0.5或3.5，
∴BE=0.5或3.5．
∴D的结论不正确，符合题意．
故选：D．
作点E关于AC的对称点E'，连接EE'，利用轴对称的性质和正方形的性质得到PE+PF=PE'+PF，点E，P，E'在一条直线上，PE+PF=m取得最小值；利用已知条件，正方形的性质，直角三角形的性质和勾股定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形与轴对称的性质是解题的关键．
22.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BAD=∠BCF=90°，
∴∠ABE+∠AEB=∠ABE+∠EBF+∠CBF=∠CBF+∠CFB=90°，
∵∠EBF=12∠ABC=45°，
∴∠ABE+∠CBF=45°，
∵∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，
∴∠BEA+∠BFC=135°，故A正确，不符合题意；
∵BC=2CF，AB=2AD=2BC，
∴BCCF=ABBC=2，
又∵∠ABC=∠BCF=90°，
∴△ABC∽△BCF，
∴∠BAC=∠CBF，
∵∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠ABN+∠BAN=90°，
∴∠BNA=90°，即CA⊥BF，故B正确；
在Rt△ABC中，AC= AB2+BC2= 5BC，
∵∠ANB=∠ABC=90°，∠BAC=∠NAB，
∴△ABC∽△ANB，
∴BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，故C正确；
设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，
∴CN= BC2-BN2=2 55x，
∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴△BMN是等腰直角三角形，
∴MN=BN=4 55x，
∴CM=6 55x，
∴AM=4 55x，
∵AD//BC，
∴△AEM∽△CBM，
∴AEBC=AMCM=23，
∴AE=23BC=23AD，故D错误；
故选：D．
由矩形的性质得到∠EBF=12∠ABC=45°，进而得到∠ABE+∠CBF=45°，再由∠ABE+∠AEB+∠CBF+∠CFB=180°，可得∠BEA+∠BFC=135°，即可判断A；证明△ABC∽△BCF，得到∠BAC=∠CBF，进而可得∠BNA=90°，即CA⊥BF，即可判断B；在Rt△ABC中，由勾股定理得AC= 5BC，证明△ABC∽△ANB，可得BNAB=BCAC= 55，即BN= 55AB，即可判断C；设CF=x，BC=2x，AB=4x，则BN=4 55x，AC=2 5x，CN=2 55x，证明△BMN是等腰直角三角形，得到MN=BN=4 55x，则CM=6 55x，则AM=4 55x，证明△AEM∽△CBM，得到AEBC=AMCM=23，即可判断D．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
23.【答案】D
【解析】解：过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15°，交DM于R．
设AP=x，则PC=8-x，
∵∠DAP=30°，
∴DP=12AP=12x，
∴AD= 3DP=12 3x，
∴BD=8-12 3x，
∵AB=AC，AN⊥BC，
∴∠BAN=12∠BAC=15°，
∵AN⊥BC，DM⊥BC，
∴DM//AN，
∴∠BDM=∠BAN=15°，
∴∠BRM=30°，
∴设BM=m，则BR=2m，
∴DR=BR=2m，
∴RM= 3BM= 3m，
∵BM2+MD2=BD2，
∴m2+( 3m+2m)2=(8-12 3x)2，
∴8m2+4 3m2=(8-12 3x)2，
∴2m2(4+2 3)=(8-12 3x)2，
∴2m2(3+2 3+1)=(8-12 3x)2，
∴2m2( 3+1)2=(8-12 3x)2，
∴ 2m( 3+1)=8-12 3x，
∴m=8-12 3x 2( 3+1)，
∴m=8-12 3x 6+ 2，
∴BM=8-12 3x 6+ 2，
同理：CE=8-x 6+ 2，
∵AN//DM，
∴ADBD=BMMN，
∴12 3x8-12 3x=MN÷8-12 3x 6+ 2，
∴MN=12 3x 6+ 2，
同理：EN=x 6+ 2，
ME=MN+NE=12 3x 6+ 2+x 6+ 2=12 3x+x 6+ 2，
∵DM=2m+ 3m=(2+ 3)×8-12 3x 2( 3+1)=(2+ 3)(8-12 3x) 6+ 2，
∴DE2=DM2+ME2，
=(2+ 3)2(8-12 3x)2( 6+ 2)2+(12 3x+x)2( 6+ 2)2=(2+ 3)2(8-12 3x)2( 6+ 2)2+14x2(2+ 3)2( 6+ 2)2=(2+ 3)2( 6+ 2)2(x2-8 3x+64)=2+ 34(x2-8 3x+64)
∵x2-8 3x+64=x2-8 3x+(4 3)2-(4 3)2=(x-4 3)2+16，
∴原式=2+ 34(x-4 3)2+8+4 3，
即正方形DEGF的面积=2+ 34(x-4 3)2+8+4 3，
故当x=4 3时，
正方形DEGF的面积有最小值=8+4 3，
故选：D．
过D作DM⊥BC，过A作AN⊥BC，∠DBR=15°，交DM于R.设AP=x，则PC=8-x，利用30得DP=12x，AD=12 3x，故BD=8-12 3x，利用两个15°得∠BRM=30°，设BM=m，再利用勾股定理计算出m=8-12 3x 2( 3+1)，接着利用平行成比例得ADBD=BMMN，得MN=12 3x 6+ 2，同理：EN=x 6+ 2，再利用勾股定理得DE2=DM2+ME2=2+ 34(x2-8 3x+64)，再利用配发求最值即可．
本题考查了含30°的三角形的知识，做出高，利用30°的性质是解题关键．
24.【答案】C
【解析】解：连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠BEP=∠BFP=90°，
∴EG=GF=BG=12BP，
∴∠BEG=∠EBG，∠BFG=∠FBG，
∴∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG=2(∠EBG+∠FBG)=2∠B=2×45°=90°，
∴△EGF为等腰直角三角形，
∴EF= EG2+FG2= (12BP)2+(12BP)2= 22BP，
∴当BP⊥AC时，BP取最小值，此时，EF的值也最小，
∵∠C=60°，
∴BPBC=sinC=sin60°，
∴BP=BC⋅sin60°=6× 32=3 3，
∴BP的最小值为3 3，
此时，EF的最小值为 22×3 3=32 6，
故选：C．
连接BP，取BP的中点G，连接EG、FG，先证明△EGF为等腰直角三角形，得到EF= 22BP，进而可知当BP⊥AC时EF最小，利用三角函数求出BP的最小值即可求解，
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
25.【答案】D
【解析】解：∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG=12∠ABC，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠ABG=∠CBG，
又∵∠BAG=∠BAC，
∴△ABG∽△ACB；故①正确；
∴AGAB=ABAC=BGBC，
∴812=12AC，
∴AC=18，
∴CG=10，
∵∠C=∠ABG=∠CBG，
∴BG=CG=10，
∴812=10BC，
∴BC=15，故②正确；
∵∠ADE=∠ABC，∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
又∵∠ABG=∠C，
∴△ABF∽△DCE，
∴CEBF=CDAB，
∵BF=2CE，AB=12，
∴CD=6，
∴BD=9，
过点G作GH//DC，交AD于H，
∴AGAC=HGDC，
∴818=HG6，
∴HG=83，
∵GH//CD，
∴BFFG=BDHG=983=278，故③正确，
故选：D．
由角平分线的性质可证∠C=∠ABG=∠CBG，可证△ABG∽△ACB；故①正确；由相似三角形的性质可求AC=18，即可求BC=15，故②正确；通过证明△ABF∽△DCE，可求CD，BD的长，由平行线分线段成比例可求BFFG=BDHG=278，故③正确，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
26.【答案】32 2
【解析】解：如图，过点D作DN⊥DE交BE于点N，
∵高AD，BE相交于点H，
∴∠BDH=∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DAC+∠AHE=∠DBH+∠BHD=90°，
∵∠AHE=∠BHD，
∴∠DAC=∠DBH，
即∠NBD=∠EAD，
∵DN⊥DE，
∴∠NDE=90°=∠ADB，
∴∠BDN=∠ADE，
在△ADE和△BDN中，
∠NBD=∠EADBD=AD∠BDN=∠ADE，
∴△ADE≌△BDN(ASA)，
∴DN=DE，BN=AE=2，
∴NE=BE-BN=5-2=3，
∵∠NDE=90°，DN=DE，
∴DE= 22NE=32 2，
故答案为：32 2．
过点D作DN⊥DE交BE于点N，根据直角三角形的性质、角的和差求出∠NBD=∠EAD，∠BDN=∠ADE，利用ASA证明△ADE≌△BDN，根据全等三角形的性质求出DN=DE，BN=AE=2，根据线段的和差求出NE=3，解直角三角形求解即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出合理的辅助线构建全等三角形．
27.【答案】= 4
【解析】解：(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC，
∴∠ABE=∠C．
故答案为：=；
(2)由(1)得∠BAD=∠CAD，∠AEB=∠ADC，
∴△ABE∽△ACD，
∴AEAD=BECD，
∵BD：BC=2：5，
∴BDCD=23，
∵BE=BD，
∴BECD=23=AEAD，
∵AD=12，
∴AE=8，
∴DE=12-8=4．
故答案为：4．
(1)根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED=∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB=∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
(2)先证明△ABE∽△ACD，根据相似三角形的性质证得AE与AD的比值，根据AD=12求出AE的值，进而求出DE的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
28.【答案】3 2 3或9-3 5
【解析】解：(1)矩形ABCD中，AB=6，BC=8，
∴∠ABC=90°，
∴AC= AB2+BC2=10，
根据折叠的性质，得AB=AF=6，∠ABC=∠AFE=90°
∴CF=AC-AF=4，
设BE=EF=x，则CE=BC-BE=(8-x)，
∴(8-x)2=x2+42
解得x=3．
故答案为：3．
(2)当DF=CF时，
如图，过点F作FM⊥DC于点M，FG⊥AD于点G，
∴四边形DMFG是矩形，DM=MC=12CD=3，
根据折叠的性质，得AB=AF=CD，∠BAE=∠FAE，
∴FG=DM=MC=12AF=3，
∴∠GAF=30°，
∴∠BAE=∠FAE=∠GAF=30°，
∴BE=ABtan∠BAE=6× 33=2 3；
当DF=DC时，
如图，过点F作FM⊥AD于点M，延长MF交BC于点N，
∴DF=DC=AB=AF=6，
∴直线FM是矩形的对称轴，
∴AM=DM=BN=CN=12BC=4，四边形ABNM是矩形，
∴FM= AF2-AM2=2 5，AB=MN=6，
∴FN=MN-FM=6-2 5，
设BE=EF=x，则EN=BN-BE=(4-x)，
∴(4-x)2+(6-2 5)2=x2
解得x=9-3 5．
故答案为：2 3或9-3 5．
(1)根据勾股定理，得到AC= AB2+BC2=10，AB=AF=6，继而得到CF=AC-AF=4，设BE=EF=x，则CE=BC-BE=(8-x)，利用勾股定理解答即可．
(2)分DF=CF和DF=DC两种情形，利用折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对称性解答即可．
本题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的性质，三角函数，熟练掌握勾股定理，三角函数是解题的关键．
29.【答案】52 3239
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，
∴BE= AB2+AE2= 42+32=5，
∵F为BE的中点，
∴EF=BF=12BE=52，
故答案为：52；
(2)如图，过点F作FG//BC交CE于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴AD//BC//FG，
∴△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠CBF+∠EBA=∠ABC=90°，
∴∠BCF=∠EBA，
∴△BCF∽△EBA，
∴BCEB=BFEA，
即BC5=523，
解得：BC=256，
∴AD=BC=256，
∴DE=AD-AE=256-3=76，
∵F为BE的中点，CF⊥BE，
∴CE=CB=256，
∵△EFG∽△EBC，
∴EGEC=FGBC=EFBE=12，
∴EG=12CE=2512，FG=12BC=2512，
∵△DOE∽△FOG，
∴OEOG=DEFG=762512=1425，
∴OE=1414+25EG=1439×2512=175234，
∴OC=CE-OE=256-175234=400117，
∴OCCE=400117256=3239，
故答案为：3239．
(1)由勾股定理求出BE的长，即可得出结论；
(2)过点F作FG//BC交CE于点G，则AD//BC//FG，得△EFG∽△EBC，△DOE∽△FOG，证△BCF∽△EBA，求出BC=256，再由线段垂直平分线的性质得CE=CB=256，然后由相似三角形的性质求出OE的长，即可解决问题．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
30.【答案】32 1305或 3705
【解析】解：(1)当点D是AB的中点时，如图所示，以C为圆心，以CP长为半径作圆C，交CD于点Q，则DQ为最小值，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2= 32+42=5，
又∵D是AB的中点，
∴CD=12AB=52，
又∵CQ=CP=1，
∴DQ=CD-CQ=52-1=32，
故答案为：32；
(2)如图：
∵CD⊥AB，
∴S△ACD=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=3×45=125，
∴AD= AC2-CD2= 32-(125)2=95，
∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：
CQ=CP=CQ'=1，
分两种情况：
当点Q在CD上，
在 Rt△ADO中，DQ=CD-CQ=125-1=75，
∴AQ= AD2+DQ2= (95)2+(75)2= 1305；
当点Q在DC的延长线上，在 Rt△ADQ'中，DQ'=CD+CQ'=125+1=175，
∴AQ'= AD2+DQ'2= (95)2+(175)2= 3705，
综上所述：当∠ADQ=90°时，AQ的长为 1305或 3705，
故答案为： 1305或 3705．
(1)根据勾股定理得到AB长，当点Q在CD上时，DQ最小，计算即可；
(2)现根据三角形的面积求出CD长，然后利用勾勾股定理求出AD长，分两种情况：当点Q在CD上，当点Q在DC的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答．
本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键．
31.【答案】(1)7316；
(2)6
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．
(1)设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，运用勾股定理计算即可．
(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，当C'与点A重合时，MN取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可．
【解答】
解：(1)∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，C'为线段AD的中点，
∴AB=CD=8，C'D=12BC=3，∠D=90°,CN=C'N；
设CN=x，则C'N=x，DN=CD-CN=8-x，
∴C'N2=DN2+C'D2，
∴x2=(8-x)2+32，
解得：x=7316，
故答案为：7316．
(2)根据垂线段最短，可得当MN⊥CD时，MN取得最小值，
∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，MN⊥CD，
∴四边形BCNM是矩形，
∴MN=BC=6；
当C'与点A重合时，MN取得最大值，
∵矩形ABCD中，AB=8，BC=6，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB=CD=8，AD=BC=6，∠D=90°，CN=C'N=AN；
设CN=x，则C'N=AN=x，DN=CD-CN=AB-CN=8-x，
∴AN2=DN2+AD2，
∴x2=(8-x)2+62，
解得x=254．
∵矩形ABCD中，沿着MN折叠矩形ABCD，
∴AB//CD，∠CNM=∠ANM，
∴∠CNM=∠AMN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN=CN=254；
∴DN=CD-CN=8-254=74；
过点N作NE⊥AB于点E，
则四边形AEND是矩形，
∴AE=DN=74,NE=AD=6,ME=AM-AE=184=92；
∴MN2=NE2+ME2，
∴MN= 62+(92)2=152，
∵C点折叠后的对应点C'在线段AD上(不与两端点重合)
∴折痕MN的长度的取值范围为6
∴∠BAD=∠CAD=∠CBD.∠ABI=∠CBI，
∴∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI=∠IBD．
∴DI=DB；
(2)解：过O作OH⊥AD于点H，
∴AH=HD，
∵点O为AB的中点，
∴OH=12BD=1，
∵AB为直径，
∴∠D=90°
∵DI=DB，
∴△BDI是等腰直角三角形，
∴ID=BD=2.∠BID=45°，
∵IO⊥BI，即∠OIB=90°，
∴∠OIH=45°，
∴△OHI是等腰直角三角形，
∴OH=HI=1，
∴AH=HD=HI+DI=HI+DB=1+2=3，
∴AL=AH+HI=4．
【解析】(1)根据I是△ABC的内心，以及圆周角定理可得∠BAD=∠CAD=∠CBD，∠ABI=∠CBI，从而得到∠BID=∠IBD，即可求证；
(2)过O作OH⊥AD于点H，根据垂径定理可得AH=HD，根据三角形中位线定理可得OH=12BD=1，再证明△BDI是等腰直角三角形，可得ID=BD=2.∠BID=45°，从而得到△OH1是等腰直角三角形，进而得到OH=H1=1，即可求解．
本题主要查了圆周角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的内心问题，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题关键．
33.【答案】(1)解：∵BD=BF，
∴∠DCB=∠A．
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∴∠A+∠AGD=90°．
∵∠CGF=∠AGD，
∴∠DCB+∠CGH=90°，
∴∠CHG=90°，
∴∠AHB=∠CEB=90°．
在△AHB和△CEB中，
∠AHB=∠CEB=90°∠B=∠BAB=CB，
∴△AHB≌△CEB(AAS)，
∴BH=BE=4；
(2)证明：连接CF，BF，如图，
∵BD=BF，
∴∠A=∠C，
∵∠B=∠B，
∴△ABH∽△CBE，
∴AHAB=CECB．
∵∠AHB=∠CHF，∠A=∠FCB，
∴△AHB∽△CHF，
∴AHAB=CHCF，
∴CECB=CHCF．
∵BD=BF，
∴∠ECB=∠FCB，
∴△CEH∽△CBF，
∴∠CEH=∠CBF．
∵∠CBF=∠D，
∴∠CEH=∠D，
∴DF//EH．
【解析】(1)利用圆周角定理，垂直的定义，三角形的内角和定理∠AHB=∠CEB=90°，再利用全等三角形的判定与性质解答即可；
(2)连接CF，BF，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质得到CECB=CHCF，再利用相似三角形的判定与性质得到∠CEH=∠CBF，利用圆周角定理和等量代换的性质得到∠CEH=∠D，最后利用同位角相等两直线平行的性质解答即可．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂直的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键．
34.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD//AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF为⊙O的切线；
(2)解：连接DE，AD，
∵四边形ABDE是圆内接四边形，
∴∠ABC+AED=180°，
∵∠DEF+∠AED=180°，
∴∠DEF=∠ABC，
∵∠ABC=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=DC，
∴△DEC是等腰三角形，
又∵DF⊥EF，
∴DF是△DEC的中线，
∴EF=FC=1，AF=4，
∴AC=AF+CF=5，
∴AB=5，
∴⊙O的半径为2.5；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°=∠ADC，
∴∠DAF=90°-∠ADF=∠FDC，
∴△ADF∽△DCF，
∴AFDF=DFCF，
∴DF2=AF⋅CF=4×1=4，
∴DF=2，
在Rt△ADF中，
AD= AF2+DF2=2 5，
∴sinC=ADAC=2 55，
∴sin∠ABC=2 55．
答：⊙O的半径为2.5，sin∠ABC的值是2 55．
【解析】(1)由AB=AC，得∠B=∠C，即可得∠C=∠ODB，故OD//AC，而DF⊥AC，有DF⊥OD，即知DF为⊙O的切线；
(2)连接DE，AD，由∠DEF=∠ABC，可得∠DEC=∠C，DE=DC，而DF⊥EF，故DF是△DEC的中线，可得EF=FC=1，AF=4，AC=AF+CF=5，即得AB=5，⊙O的半径为2.5；证明△ADF∽△DCF，可得DF2=AF⋅CF=4，DF=2，在Rt△ADF中，AD= AF2+DF2=2 5，得sinC=ADAC=2 55，从而sin∠ABC=2 55．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
35.【答案】135°-α
【解析】(1)解：∵∠A=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∵∠ADC=α，
∴∠ACD=90°-α，
∵EG⊥CD，
∴∠ACD+∠CGF=90°，
∴∠CGF=90°-∠ACD=α，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
在△CGE中，∠GCE=45°，∠CGE=α，
∴∠CEG=180°-∠CGE-∠GCE=180°-α-45°=135°-α，
故答案为：135°-α；
(2)证明：由(1)得，∠CGE=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDE，
∴∠CGE=∠ADC=∠BDE，
又∵∠GCE=∠DBE=45°，
∴△BDE∽△CGE；
(3)解：如图，过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，
∴∠MCA=∠CAB=∠ABM=90°，
∴四边形ABMC是矩形，
∵AB=AC，
∴四边形ABMC是正方形，
∴∠DBE=∠PBE=45°，AC//BM，AB=BM，∠M=90°，
∴∠CGE=∠BPE=∠BDE，
在△BDE和△BPE中，
∠DBE=∠PBE∠BDE=∠BPEBE=BE，
∴△BDE≌△BPE(AAS)，
∴BD=BP，
∵AB=BM，
∴AB-BD=BM-BP，
∴AD=MP，
∵∠MCN=∠CNP=M=∠90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴PM=CN，PN=CM=AB=AC，
在△PNG和△CAD中，
∠PGN=∠CDA∠PNG=∠CADPN=CA，
∴△PNG≌△CAD(AAS)，
∴NG=AD，
∴AD=NG=PM=CN，
∴CG=2AD，
∴ADCG=12．
(1)根据直角三角形的性质求出∠ACD=90°-α，进而求出∠CGF=90°-∠ACD=α，根据等腰直角三角形的性质求出∠GCE=45°，再根据三角形内角和定理求解即可；
(2)结合(1)求出∠CGE=∠BDE，∠GCE=∠DBE=45°，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(3)过点C作CM⊥AC，过点B作BM⊥AB，CM、BM交于点M，延长GE交BM于点P，连接CP，过点P作PN⊥AC于点N，结合正方形的性质推出四边形ABMC是正方形，根据正方形的性质利用AAS证明△BDE≌△BPE，得出BD=BP，进而求出四边形PMCN是矩形，根据矩形的性质得出PM=CN，PN=CM=AB=AC，利用AAS证明△PNG≌△CAD，根据矩形的性质、全等三角形的性质求出AD=NG=PM=CN，则CG=2AD，据此即可得解．
此题是三角形综合题，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
36.【答案】(1)证明：∵D是弧AC的中点，
∴AD=CD，
∵AB⊥DH，且AB是⊙O的直径，
∴AD=AH，
∴CD=AH，
∴∠ADH=∠CAD，
∴AF=DF．
(2)∵DE⊥AB于点E，AB是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°-∠DAE=∠ABD，
∵tan∠ABD=12，
∴tan∠ADE=AEDE=12，
设AE=x，DE=2x，
∵AF=DF=5，
∴EF=DE-DF=2x-5，
∴(2x-5)2+x2=52，
解得x=4或x=0(舍去)，
∴DE=2x=8，
∵tan∠ABD=12，
∴DEBE=12，
∴BE=16，
∴AB=AE+BE=20
∴⊙O的半径为10．
【解析】(1)由D是弧AC的中点，得出AD=CD，再由垂径定理得出AD=AH，根据等弧所对圆周角相等得出∠ADH=∠CAD，即可证明出结论．
(2)根据tan∠ADE=AEDE=12，设AE=x，DE=2x，利用勾股定理求得x，再利用正切函数计算即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，一元二次方程的解法，正切函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正切函数是解题的关键．
37.【答案】(1)证明：∵∠BAC，∠CDB都是弧BC所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CDB，
∵∠CEB=∠ABD+∠BAC，
∴∠CEB=∠ABD+∠CDB；
(2)解：∵OE//AD，点O为AB的中点，
∴OE为△ADB的中位线，
∴DE=BE=12BD=4，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∴AD= AB2-BD2= 102-82=6，
∴AE= AD2+DE2= 62+42=2 13，
设BC=x，EC=y，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
有AB2=AC2+BC2BE2=BC2+CE2，
即102=(2 13+y)2+x242=x2+y2,
整理得：x2+y2+4 13y-48=0x2+y2=16，
∴16+4 13y-48=0，
解得：y=8 13，
∴y2=6413，
∴x2+6413=16，
解得：x=12 1313或x=-12 1313(舍去)，
∴BC的长为12 1313．
【解析】(1)根据圆周角定理可得∠BAC=∠CDB，再利用三角形外角的性质等量代换即可得证；
(2)由OE//AD和点O为AB的中点，可得OE是△ADB的中位线，求得DE=BE=12BD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，∠ACB=90°，由勾股定理求得AD，AE，设BC=x，EC=y，在Rt△ABC和Rt△BCE中，根据勾股定理建立关于x、y的方程，解方程即可．
本题是圆与三角形的综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，中位线的判定与性质，熟练掌握知识点，运用方程思想建立直角三角形三边之间的数量关系是解题的关键．
38.【答案】(1)解：∵AB=AC，若∠BAC=α．
∴∠B=∠ACB=180°-α2，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=180°-180°-α2=90°+12α；
(2)①证明：∵∠ADB=∠ACB，∠CAD=∠CBD，
∴△ADE∽△BCE，
∴AEBE=DECE，
∴AE⋅CE=BE⋅DE，
∴AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE，
∵AB=AC，
∴AE⋅AB-AE2=BE⋅DE，
AE2=AE⋅AB-BE⋅DE；
②解：设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，
∵AB=AC=5，
∴∠ABC=∠ACB=180°-2α2=90°-α，
∴∠ABE=∠ABC-∠DBC=90°-α-α=90°-2α，
在△AEB中∠AEB=180°-∠CAB-∠ABD=180°-2α-(90°-2α)=90°，
∴AC⊥BD，
∵BE2=BC2-CE2=AB2-AE2，
∴62-(5-AE)2=52-AE2，
∴AE=75,CE=185，
∴BE= AB2-AE2=245，
由①知AE⋅CE=BE⋅DE，DE=75×185245=2120，
∴CD= DE2+CE2= (2120)2+(185)2=154．
【解析】(1)根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可；
(2)①先证明△ADE∽△BCE，得AE⋅CE=BE⋅DE，再根据AE⋅(AC-AE)=AE⋅AC-AE2=BE⋅DE即可得出结论；②设∠BAC=2∠DAC=2α，则∠DAC=∠DBC=α，先证明AC⊥BD，再根据勾股定理求出AE，BE，CE的长，由①知AE⋅CE=BE⋅DE，求出DE的长，再根据勾股定理即可．
本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键．
39.【答案】(1)证明：过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BCA=45°，
∴∠GCF=45°，
∵∠AFB=∠CFG，∠AFB=∠CFD，
∴∠CFG=∠CFD，
又∵CF=CF，
∴△DCF≌△GCF(ASA)，
∴CD=CG，
∵∠ABC=∠BCG=90°，
∴AB//CG，
∴△ABF∽△CGF，
∴ABCG=AFCF=2，
∴AB=2CG，
又∵AB=CB，
∴BC=2CG=2CD，
∴BD=CD；
(2)证明：∵△DCF≌△GCF，
∴DF=FG，
∵BD=CD=CG，∠ABD=∠BCG=90°，AB=BC，
∴△ABD≌△BCG(SAS)，
∴AD=BG，
∵BG=BF+FG，
∴AD=BF+DF；
(3)解：过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，
由(2)可知，∠BAD=∠CBF，
∵∠ABD=∠ABE+CBE=∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∴AD⊥BF，
∴DE//CM，
∵BD=CD，
∴BE=EM，
又∵AB=BC，∠AEB=∠BMC=90°，
∴△ABE≌△BCM(AAS)，
∴BE=CM，
∴EM=CM，
∴△ECM是等腰直角三角形，
∴CE= 2CM= 2BE，
∴BECE= 22．
【解析】(1)过点C作CG⊥BC，交BF的延长线于点G，证明△DCF≌△GCF(ASA)，得出CD=CG，证明△ABF∽△CGF，由相似三角形的性质得出ABCG=AFCF=2，则可得出结论；
(2)证明△ABD≌△BCG(SAS)，由全等三角形的性质得出AD=BG，则可得出结论；
(3)过点C作CM⊥BF，交BF的延长线于点M，证明△ABE≌△BCM(AAS)，由全等三角形的性质得出BE=CM，证出EM=CM，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
40.【答案】(1)证明：在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠EACAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
(2)证明：∵∠EAC=∠DAB，
∴∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB，
即∠BAC=∠DAE，
∵AB=AC，AD=AE，
即AB：AD=AC：AE，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠AED=∠C，
∵∠AED+∠BEF=∠C+∠CAE，
∴∠BEF=∠CAE，
∵∠EBF=∠C，
∴△BEF∽△CAE，
∴BE：CA=BF：CE，
∴CE⋅BE=CA⋅BF；
(3)解：∵∠BAC=90°，AC=AB=4，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠C=45°，BC= 2AC=4 2，
∵CEBE=13，
∴CE= 2，BE=3 2，
由(1)得△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠C=45°，BD=CE= 2，
∴∠DBE=∠ABD+∠ABC=45°+45°=90°，
在Rt△BDE中，∵BD= 2，BE=3 2，
∴DE= ( 2)2+(3 2)2=2 5．
【解析】(1)证明△ABD与△ACE全等得到BD=CE；
(2)先证明△ABC∽△ADE得到∠AED=∠C，再证明△BEF∽△CAE，然后根据相似三角形的性质和比例性质得到结论；
(3)先证明△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=∠C=45°，BC= 2AC=4 2，所以CE= 2，BE=3 2，由△ABD≌△ACE得到∠ABD=∠C=45°，BD=CE= 2，接着证明∠DBE=90°，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可计算出DE的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．
41.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∴∠NCF=180°-∠DCB=90°=∠DCE，
∴∠F+∠CNF=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EDC+∠DNM=90°，
∵∠DNM=∠CNF，
∴∠EDC=∠F，
∴△CNF∽△CED；
(2)解：在正方形ABCD中，∠DCB=90°，
∵FG⊥ED，
∴∠EMF=90°=∠DCB，
又∵∠F=∠EDC，EF=ED，
∴△MFE≌△CDE(AAS)，
∴EM=CE，
∵E是BC的中点，正方形ABCD的边长为2．
∴BE=CE=EM=12BC=1，
∵CF=EF-EC，MD=ED-EM，
∴CF=MD，
又∵∠DMN=∠FCN=90°，∠DNM=∠CNF，
∴△DMN≌△FCN(AAS)，
∴DN=FN，
∴CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，
在Rt△CDE中，DE= CD2+CE2= 22+12= 5，
∴sin∠EDC=CEDE=1 5= 55，
∴CNDN= 55；
②由①知，CNDN= 55，
设CN=x，则DN= 5x，
∴CN+DN=CD=( 5+1)x=2，
∴x= 5-12，
∴CN= 5-12，
∴S△CEN=12CE⋅CN= 5-14，
在Rt△BFG中，BGBF=tanF=tan∠EDC=CECD=12，
∴BG=12BF=12(BE+EF)，
∴EF=ED= 5，
∴BG=12×(1+ 5)= 5+12，
∴四边形GBEN的面积=S梯形BCNG-S△CEN=12×( 5-12+ 5+12)×2- 5-14=3 5+14．
【解析】(1)根据正方形的性质及邻补角定义求出∠NCF=∠DCE，结合直角三角形的性质、对顶角性质求出∠EDC=∠F，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)①利用AAS证明△MFE≌△CDE，△DMN≌△FCN，根据全等三角形的性质求出DN=FN，则CNDN=CNFN=sinF=sin∠EDC，解直角三角形求解即可；
②结合①根据线段的和差求出CN= 5-12，则S△CEN= 5-14，根据锐角三角函数定义求出BG= 5+12，再根据四边形GBEN的面积=S梯形BCNG-S△CEN求解即可．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握了正方形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解题的关键．
42.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，CA=CB，点E是AB的中点，
∴∠CEB=90°，
∵CG⊥BD，
∴∠FGC=∠FEB，∠GFC=∠EFB
∴△CFG∽△BFE．
(2)①∵∠ACB=90°，CA=CB，点E是AB的中点，
∴∠ACE=∠BCE=45°，
∵∠FGC=∠FEB，
∴G，E，B，C四点共圆，
∴∠EGB=∠ECB=45°．
②过点E作EM⊥EG，交BG于点M，
∵∠EGB=45°，
∴∠EGB=∠EMG=45°，
∴EG=EM,GM= EG2+EM2= 2EG，
∵∠GEC=90°-∠FEM=∠MEB，EC=EB，
∴△GEC≌△MEB(SAS)，
∴CG=BM，
∵GM=BG-BM，
∴GM=BG-CG，
∴BG-CG= 2EG．
【解析】(1)根据∠FGC=∠FEB，∠GFC=∠EFB，证明△CFG∽△BFE即可．
(2)①根据∠FGC=∠FEB，判定G，E，B，C四点共圆，得∠EGB=∠ECB=45°．
②过点E作EM⊥EG，交BG于点M，证明△EGM是等腰直角三角形，再证明△GEC≌△MEB(SAS)，结合勾股定理即可得BG-CG= 2EG．
本题考查了三角形综合，三角形相似，三角形全等的判定和性质，勾股定理，四点共圆，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握三角形相似，四点共圆，三角形全等是解题的关键．
43.【答案】(1)证明：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵DA⊥DB，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴点A，C，B，D四点共圆，
∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴DA=DB；
(2)解：∵DA⊥DB，DA=DB，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∴∠DBA=45°，ABDB= 2，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=∠ACB=90°，
∴点F，C，B，E四点共圆，
∴∠EFB=∠BCD=45°，
∴△EFB是等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，
∴∠ABF=45°-∠ABE=∠DBE，
∵点A，C，B，D四点共圆，
∴∠BAF=∠BDE，
∴△ABF∽△DBE，
∴AFDE=ABDB= 2．
【解析】(1)证明点A，C，B，D四点共圆，即可解决问题；
(2)结合(1)可得△DAB是等腰直角三角形，再证明点F，C，B，E四点共圆，可得∠EFB=∠BCD=45°，然后证明△ABF∽△DBE，即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定与性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是得到△ABF∽△DBE．
44.【答案】(1)证明：∵AD=BC，BD=AC，AB=BA，
∴△ABD≌△BAC(SSS)，
∴∠ABD=∠CAB，
同理可得：△ADC≌△BCD(SSS)，
∴∠ACD=∠BDC，
∵∠COD=∠AOB，
∴∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，
∴AB//CD；
(2)①如图1，
作BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，
∴∠DBE=180°-∠AOB=180°-120°=60°，四边形AEBC是平行四边形，
∴AE=BC，
∵AC=BD，
∴BD=BE，
∴△BED是等边三角形，
∴DE=BE，∠BDE=∠DEB=60°，
∴∠DFO=∠BED=60°，
∵CD=BC，
∴AE=CD，
由(1)得，
∠DAF=∠ADF，
∵∠DFO=∠DAF+∠ADF，
∴60°=∠DAF+∠DAF=∠ADF+∠ADF，
∴∠DAF=∠ADF=30°，
∴∠ADO=∠BDE+∠ADF=60°+30°=90°，
∴OA=2OD；
②如图2，
取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，
∵M，N分别是AD和BC的中点，
∴MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，
∴∠OGX=180°-∠AOB=60°，∠OHX=180°-∠AOB=60°，
∴∠MXN=360°-∠OGX-∠OHX-∠AOB=120°，
∵AC=BD，
∴MX=NX，
∴MN= 3NX，
∴MN= 32AC，
∴MNAC= 32．
【解析】(1)可证明△ABD≌△BAC，△ADC≌△BCD，进而得出∠ABD=∠BAC=∠ACD=∠BDC，进而得出结论；
(2)①BE//AC，并截取BE=AC，连接AE，DE，连接CE，设AC，DE交于点F，可证得△BED是等边三角形，从而DE=BE，∠BDE=∠DEB=60°，进而得出∠DFO=∠BED=60°，由(1)结论得出∠DAF=∠ADF，进而求得∠DAF=∠ADF=30°，进一步得出结论；
②取AB的中点X，连接MX，NX，设MX交AC于G，NX交BD于H，根据三角形中位线性质得出MX=12BD，NX=12AC，MX//BD，NX//AC，从而得出∠OGX=180°-∠AOB=60°，∠OHX=180°-∠AOB=60°，从而得出∠MXN=360°-∠OGX-∠OHX-∠AOB=120°，可得出MX=NX，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等边三角形．
45.【答案】(1)证明：∵ABCD是正方形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠GDF=∠ABG，∠GFD=∠BAG，
∴△DFG∽△BAG，
∴BGDG=ABDF，
又∵CF=2DF，
∴AB=CD=3DF，
∴BGDG=ABDF=3DFDF=3，即BG=3DG；
(2)解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDB=∠ABD=∠CBD=45°，
又∵DE=DF，BD=BD，
∴△DEB≌△DFB，
∴∠DBE=∠DBF=12∠EBF=15°，BD⊥EF，BE=BF，
∴∠ABE=∠ABD-∠EBD=45°-15°=30°，
∴AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，
∴DE=DF=AD-AE=6-2 3，
∴EF= 2DE= 2(6-2 3)=6 2-2 6；
(3)证明：连接EF交BD于点H，如图3，
由(2)可知BD⊥EF，BE=BF，
∴∠HEN+∠ENH=∠NBM+∠BNM=90°，
∴∠HEN=∠NBM，
又∵∠EHN=∠BHF=90°，
∴△ENH∽△BFH，
∴ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，
又∵DE=DF，∠EDB=45°，
∴EH=HF=DH，
∴ENBF=EH+NHBH+FH=DH+HNBH+DH=DNBD，
又∵BF=BE，
∴ENBE=DNBD．
【解析】(1)根据正方形的性质证明△DFG∽△BAG即可解题；
(2)根据正方形的性质得到△DEB≌△DFB，然后推导出∠ABE=30°，根据三角函数得到AE=AB⋅tan∠ABE=6× 33=2 3，进而求出EF的长；
(3)连接EF交BD于点H，推导△ENH∽△BFH，即可得到ENBF=EHBH=NHFH，即ENBF=EH+NHBH+FH，根据EH=HF=DH和BF=BE等量代换即可解题．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．温馨提示：
本卷共45题，题目均选自2024年安徽省各地市一模试题。
本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。
本卷难度较大，适合基础较好的同学。
相关试卷
2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选(含解析)： 这是一份2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选(含解析)，共53页。
[数学]2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选（有解析）： 这是一份[数学]2023年安徽省各地市中考数学三模压轴题精选（有解析），共53页。
[数学]2024年广东省各地市中考数学一模压轴题选编（有解析）： 这是一份[数学]2024年广东省各地市中考数学一模压轴题选编（有解析），共100页。
![[数学]2024年河南省各地市中考数学一模压轴题精选（有解析）](http://m.enxinlong.com/m//jx-previews-01.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/2/3/15868347/0-1718594811130/0.jpg?x-oss-process=image/resize,w_202)
