初中数学中考复习 专题03 规律探究之数式【考点精讲】（解析版）

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专题03 规律探究之数式


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题型精讲


题型一：数列数字问题
【例1】（2021·山东济宁市）按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是（ ）
A． B． C． D．
【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方，根据规律即可得到答案．
【详解】
观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方，
第个数据为：
当时的分子为，分母为
这个数为
故选：．
【例2】（2020·牡丹江）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（　　）
A．37 B．41 C．55 D．71
【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n个数的表示方法，从而得出结果．
【详解】1＝1×2﹣1，
5＝2×3﹣1，
11＝3×4﹣1，
19＝4×5﹣1，
…
第n个数为n（n+1）﹣1，
则第7个数是：55．
故选：C．
题型训练


1．（2021·贵州铜仁市）观察下列各项：，，，，…，则第项是______________．
【分析】根据已知可得出规律：第一项：，第二项：，第三项：…即可得出结果．
【详解】
解：根据题意可知：
第一项：，
第二项：，
第三项：，
第四项：，
…
则第项是；
故答案为：．
2．（2020玉林）观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，
则n等于（　　）
A．499 B．500 C．501 D．1002
【分析】观察得出第n个数为2n，根据最后三个数的和为3000，列出方程，求解即可．
【详解】由题意，得第n个数为2n，
那么2n+2（n﹣1）+2（n﹣2）＝3000，
解得：n＝501，
故选：C．
3．（2021·湖北）根据图中数字的规律，若第个图中的，则的值为（ ）

A．100 B．121 C．144 D．169
【分析】分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可．
【详解】
解：根据图中数据可知：



则，，
∵第个图中的，
∴，
解得：或(不符合题意，舍去)
∴，
故选：B．

题型二：图型数字问题
【例3】（2021·江苏扬州市）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．

【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．
【详解】
解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，
第②个图形中的黑色圆点的个数为：=3，
第③个图形中的黑色圆点的个数为：=6，
第④个图形中的黑色圆点的个数为：=10，
...
第n个图形中的黑色圆点的个数为，
则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，
其中每3个数中，都有2个能被3整除，
33÷2=16...1，
16×3+2=50，
则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即=1275，
故答案为：1275．
【例4】（2021·四川）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．

【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．
【详解】
解：由图可知：
拼成第一个图形共需要3根火柴棍，
拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，
拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，
...
拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，
故答案为：2n+1．
题型训练


1．（2021·四川）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___ 个图形共有210个小球．

【答案】20
【分析】
根据已知图形得出第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n=，列一元二次方程求解可得．
【详解】
解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，
第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，
第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，
第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，
……
∴第n个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n=，
当共有210个小球时，
，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴第个图形共有210个小球．
故答案为：．
2．（2020重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（　　）

A．10 B．15 C．18 D．21
【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．
【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，
第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，
第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，
……
∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，
故选：B．
3．（2020山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有　 　个三角形（用含n的代数式表示）．

【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．
【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1
第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1
第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1
…
按此规律摆下去，
第n个图案有（3n+1）个三角形．
故答案为：（3n+1）．
题型三：指数型数字问题
【例5】（2020铜仁市）观察下列等式：
2+22＝23﹣2；
2+22+23＝24﹣2；
2+22+23+24＝25﹣2；
2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　 　（结果用含m的代数式表示）．
【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．
【详解】∵220＝m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
＝220（1+2+22+…+219+220）
＝220（1+221﹣2）
＝m（2m﹣1）．
故答案为：m（2m﹣1）．
【例6】（2021·湖南怀化市）观察等式：，，，……，已知按一定规律排列的一组数：，，，……，，若，用含的代数式表示这组数的和是___________．
【分析】根据规律将，，，……，用含的代数式表示，再计算的和，即可计算的和．
【详解】由题意规律可得：．
∵
∴，
∵，
∴．
．
．
……
∴．
故．
令

②-①，得
∴=
故答案为：．

题型训练

1．（2021·浙江嘉兴市）观察下列等式：，，，…按此规律，则第个等式为__________________．
【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可．
【详解】
解：∵，
，
，
…
∴第个等式为：
故答案是：．
2．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（　　）
A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2
【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．
【解析】∵2100＝S，
∴2100+2101+2102+…+2199+2200
＝S+2S+22S+…+299S+2100S
＝S（1+2+22+…+299+2100）
＝S（1+2100﹣2+2100）
＝S（2S﹣1）
＝2S2﹣S．
故选：A．
3．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a，b，c表示这列数中的连续三个数，猜想a，b，c满足的关系式是　 　．
【分析】首项判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a﹣b＝c，据此解答即可．
【解析】∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，
1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，
∴a，b，c满足的关系式是a﹣b＝c．
故答案为：a﹣b＝c．

题型四：排列型数字问题
【例7】把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：
1
2，3，
4，5，6，7，
8，9，10，11，12，13，14，15，
…   …   …   …  
按此规律，可知第n行有         个正整数
【答案】：
【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是1，联想到任何不是零的数的任何次幂都是1，所以，指数0=序号1-1，又因为第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是2、或4或6等等，但是，第二个数为2，指数等于2-1=1，所以，底数为2，这样，我们就找到规律，第n行中的数字个数为。
【例8】（2021·湖北荆门市）如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第____行第______列．

【分析】找到第n行第n列的数字，找到规律，代入2021即可求解
【详解】通过观察发现：
1=1
3=1+2
6=1+2+3
10=1+2+3+4
……
故第n行第n列数字为：，
则第n行第1列数字为：，即+1
设2021是第n行第m列的数字，则：
即,可以看作两个连续的整数的乘积，
为正整数，

当时，
故答案为：64，5
题型训练
1．将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（，）表示第排，从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是         。


【答案】：23
【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有3个数字，第四行有4个数字，……第n行有n 个数字，这是第一条变化规律；我们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字3=第一行中的数字个数1+第二行数字个数2，第三行最后的数字6=第一行数字个数1+第二行数字2+第三行数字个数3；因此，第n行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n=，
所以，第六行最后的数字为：==21，所以，第七行的第一个数字为22，第二个数字位23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数是 23。
2．（2021·江西）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．

【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．
【详解】
解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，
例如：
第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，
即：；
第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，
即：；

由此规律：
故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，
即空缺数为：3，
故答案是：3．
题型五：等式探究型数字问题
【例9】阅读解答：
（1）填空：_____；_____；_____……
（2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式_________；
（3）根据上述规律，计算：．
【解析】（1）21-20=1=20，22-21=2=21，23-22=4=22；
（2）由题意可得：2n-2n-1=2n-1；
（3）设，
∴，
∴==．
故答案为：（1）1，0；2，1；4，2；（2）2n-2n-1=2n-1；（3）
【例10】（2020张家界）观察下面的变化规律：
，，，…
根据上面的规律计算：　 ．
【分析】本题可通过题干信息总结分式规律，按照该规律展开原式，根据邻项相消求解本题．
【解析】由题干信息可抽象出一般规律：2a⋅b=1a-1b（a，b均为奇数，且b＝a+2）．
故21×3+23×5+25×7+⋯+22019×2021
＝1-13+13-15+15-17+⋯+12019-12021
＝1-12021
=20202021．
故答案：20202021．

题型训练


1．（2020青海）观察下列各式的规律：
①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．
请按以上规律写出第4个算式　 　．
用含有字母的式子表示第n个算式为　 ．
【分析】按照前3个算式的规律写出即可；
观察发现，算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方，等于﹣1，根据此规律写出即可．
【解析】④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．
第n个算式为：n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n（n+2）﹣（n+1）2＝﹣1．
2．（2021·湖北鄂州市）已知为实数﹐规定运算：，，，，……，．按上述方法计算：当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】当时，计算出，会发现呈周期性出现，即可得到的值．
【详解】
解：当时，计算出，
会发现是以：，循环出现的规律，
，
，
故选：D．



提分作业

1．（2020孝感）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是　 　．
【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，
解得：x＝﹣81．
故答案为：﹣81．
2．（2020滨州）观察下列各式：a1，a2，a3，a4，a5，…，根据其中的规律可得an＝　 　（用含n的式子表示）．
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2﹣1，即第n项的分子是n2+（﹣1）n+1；依此即可求解．
【解析】由分析可得an．
故答案为：．
3．（2020绥化）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是　 ．

【分析】根据已知图形得出第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，据此求解可得．
【解析】∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2，
图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7，
图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14，
……
∴第n个图形中黑点的个数为2n（n+1）÷2+（n﹣1）＝n2+2n﹣1，
∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119．
故答案为：119．
4．（2020黔西南州）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　 　．

【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．
【解析】第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
5．（2021·湖北中考真题）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）

A．2025 B．2023 C．2021 D．2019
【答案】B
【分析】
根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．
【详解】
解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，
∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，
根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，
∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，
故选：B．
6．（2021·陕西）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为______．
-1
-6
1
0
a
-4
-5
2
-3

【答案】-2
【分析】
先通过计算第一行数字之和得到各行、各列及各条对角线上的三个数字之和，再利用第二列三个数之和得到a的值．
【详解】
解：由表第一行可知，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均为，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2021·甘肃武威市·中考真题）一组按规律排列的代数式：，…，则第个式子是___________．
【答案】
【分析】
根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【详解】
解：∵当n为奇数时，；
当n为偶数时，，
∴第n个式子是：．

故答案为：
8．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．


【答案】875
【分析】
设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“an＝n2−n＋5（n为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．
【详解】
解：设第n个“龟图”中有an个“〇”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1＋2＋2＝5，a2＝1＋3＋12＋2＝7，a3＝1＋4＋22＋2＝11，a4＝1＋5＋32＋2＝17，…，
∴an＝1＋（n＋1）＋（n−1）2＋2＝n2−n＋5（n为正整数），
∴a30＝302−30＋5＝875．
故答案是：875．