安徽省蚌埠G5教研联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分．
3．请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，总分40分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了最简二次根式，利用最简二次根式的定义：被开方数不含分母，分母中不含根号，且被开方数不含能开的尽方的因数，判断即可．
【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B．是最简二次根式，故该选项符合题意；
C．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 一元二次方程的一次项系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，根据定义即可得出答案，把握“一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的含义”是解题的关键．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为．
故选：C．
3. 下列各组线段，不能组成直角三角形是（ ）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、A、，，
∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
4. 下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的化简，根据一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、，与属于同类二次根式，A符合题意；
B、，与不属于同类二次根式，B不符合题意；
C、与不属于同类二次根式，C不符合题意；
D、，与不属于同类二次根式，D不符合题意；
故选：A．
5. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断.
【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2，
，．
选项A符合题意，
故选A.
6. 解一元二次方程，用配方法可变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可．
【详解】解：
故选：D．
7. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了绝对值的性质、二次根式的性质、整式的加减混合运算．根据的取值范围可判断得出，，根据负数的绝对值是其相反数，二次根式的性质即可化简原式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
故，，
∴．
故选：A．
8. 某商场以每件元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为元，则平均每天可销售件，经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，每件商品售价为多少元时，商场日盈利可达到元？设每件商品售价为元，下列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设每件商品售价为元，则每天可销售件，根据每日的总利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设每件商品售价为元，则每天可销售件，
依题意，得：，
即．
故选：D．
9. 如图，在中，，是边上的中线，，，则的长为（ ）
A. B. 8C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的中线．根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出，再用勾股定理求出，根据中线的定义求出，最后用勾股定理解直角即可．
【详解】解：，， ，
，
，
是边上的中线，
，
，
故选D．
10. 如图，在中，，，．点在线段上，连接．以下说法不正确是（ ）

A. 当时，是直角三角形B. 当时，是等腰三角形
C. 当时，是等腰三角形D. 当时，平分
【答案】D
【解析】
【分析】过点作交于点，根据勾股定理求得，结合三角形的面积求得的值，即可判断A选项；连接，当时，推得是斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，即可判断B选项；当时，求得，即可判断C选项；作的角平分线与交于点，连接，过点作交与点，过点作交与点，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，结合三角形的面积公式可求得，根据勾股定理求得的值，即可判断D选项．
【详解】解：过点作交于点，如图：

∵，，，
∴，
∵，
即，
解得：，
则；
故当时，点与点重合，此时是直角三角形；A不符合题意；
当时，连接，如图：

∵，，
∴，
即点是的中点，
故是斜边上的中线，
∴，
∴是等腰三角形；B不符合题意；
当时，连接，如图：

∵，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；C不符合题意；
作的角平分线与交于点，连接，过点作交与点，过点作交与点，如图：

则，
∵，
即，
解得：，
∴，
∴；
即当时，平分；D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直角三角形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是借助三角形的面积公式求出未知量．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，总分20分）
11. 二次根式有意义，则x取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，据此得到，即可求出答案．
【详解】解：∵次根式有意义，
∴，
解得，
故答案为：．
12. 若关于的一元二次方程有一个根为，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根；根据一元二次方程的定义可得出；根据题意将代入方程求出的值，即可求解．
【详解】解：∵该方程是一元二次方程，
∴，
即；
∵关于的一元二次方程有一个根为，
故将代入方程为，
整理得：，
解得：或（舍去），
故答案为：．
13. 一元二次方程有两个相等的实数根，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次方程．根据一元二次方程根的判别式得出，解一元一次方程即可．
【详解】解：，
整理得：，
，，，
则，
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
14. 在中，点在边上运动，点在边上运动．
①若，，，则点到直线的距离为_______．
②若，，，则的长为______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，等腰三角形的判定和性质．
①过点作交于点，根据等边三角形的判定和性质可得，根据勾股定理求出的值即可；
②过点作交于点，根据等腰直角三角形判定和性质可得，，根据三角形的外角性质可得，根据等角对等边可得，根据勾股定理求出的值，即可求解.
【详解】解：①过点作交于点，如图：
∵，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
②过点作交于点，如图：
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本题共两小题，每小题8分，总分16分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 用适当方法解下列方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
，．
四、解答题（本题共两小题，每小题8分，总分16分）
17. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．
（1）在图中以格点为顶点画，使，，，并标注顶点对应的字母；
（2）（1）中所画的面积是______．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理以及三角形的面积，利用割补法或利用三角形面积计算公式即可求得三角形面积．
（1）依据，，，进行作图；
（2）依据三角形面积公式，即可得到的面积．
【小问1详解】
画出图形如图：
【小问2详解】
，
故答案为：5．
18. 观察下列等式再解答问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面个等式的规律，猜想第④个式子，并验证；
（2）按照上面各个等式反映的规律，试写出用含（为正整数）的式子表示的等式．
【答案】（1），见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简，观察式子找出规律是解题的关键．
（1）根据题中等式的规律计算即可，并验证；
（2）找出第个等式的左边为，右边为，列出等式即可．
【小问1详解】
解：，
验证：左边右边．
【小问2详解】
解：由题可知第个等式为：．
五、解答题（本题共两小题，每小题10分，总分20分）
19. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）．
（1）背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为2元/，大理石造价为元/，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的应用；
（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案．
【小问1详解】
解：长方形的周长为；
【小问2详解】
解：长方形的面积：，
大理石的面积：，
壁纸的面积：，
整个电视墙的总费用：（元）．
20. 如图，在中，，，．将按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为．求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在中由于，，，所以根据勾股定理可求出的长，由折叠可知，，设，则在中，由 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在中由于，，，
由勾股定理得：，
∵由折叠可知， ，
设，则．
在中，，
即，解得，
∴．
六、解答题（本题共两小题，每小题12分，总分24分）
21. 已知关于的方程．
（1）求证：不论取什么实数时，这个方程总有实数根；
（2）当为何正整数时，关于的方程有两个整数根？
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，
（1）当时，方程为一元一次方程．当时，方程为一元二次方程，证明出根的判别式即可；
（2）由一元二次方程的根与系数关系得到：，然后根据解是整数得到，即可算出m的值．
【小问1详解】
证明：当时，方程为一元二次方程，，
一元二次方程有两个实数根．
当时，方程为，有实数根．
综上，不论取什么实数时，这个方程总有实数根．
【小问2详解】
解：方程有两个整数根，∴方程为一元二次方程，即．
由根与系数关系得到：，
又和为整数，且为正整数，
∴，解之得：，
经检验，此时符合题意．
22. 《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践．
（1）若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）；
（2）求当为何值时，围成的菜地面积为平方米；
（3）要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）不能，见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）根据各边之间的关系，可得出长为米；
（2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可；
（3）根据花圃面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米，
∴长为米．
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米
【小问3详解】
解：不能围成面积为平方米的花圃，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
即不能围成面积为平方米的花圃．
七、解答题（本题总分14分）
23. [探究]
（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________；
②据此求出的最小值；
[类比]
（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________．
【答案】（1）①，；②；
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，两点之间线段最短的知识，掌握勾股定理的运算，最短路径的运用，合理作出图形是解题的关键．
（1）①根据图形，运用勾股定理即可求解．
②运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解．
（2）运用材料提示，构造图形后，用两点之间线段最短得出直角三角形，运用勾股定理即可求解．
【详解】和是直角三角形，，
在中，，，
，
在中，，，
，
故答案：，．
②如图所示，过点做的平行线交延长线于点，
∴，，
当点，，三点共线时，有最小值，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
（2）如图所示，，，，，，设，则，
∴，，
当，，三点共线时，的值最小，
∴由上证明可得，，，
∴在直角中，，
∴的最小值为，
故答案为：．