浙江省宁波市海曙区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 使有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：根据被开方数是非负数，可得答案．
详解：由题意，得
x-3≥0，
解得x≥3，
故选C．
点睛：本题考查了二次根式有意义的条件，利用得出不等式是解题关键．
2. 下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况．根据一元二次方程根的判别式判断即可．
【详解】解：A、，，方程没有实数根，不符合题意；
B、，，方程没有实数根，不符合题意；
C、，，方程有两个相等的实数根，不符合题意；
D、，，方程有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. 赵爽弦图B. 笛卡尔心形线
C 科克曲线D. 斐波那契螺旋线
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
D．不轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
故选C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4. 有31位学生参加学校举行的“最强大脑”智力游戏比赛，比赛结束后根据每个学生的最后得分计算出中位数、平均数、众数和方差，如果去掉一个最高分和一个最低分，则一定不发生变化的是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【详解】解：由中位数的定义可知，去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
所以中位数一定不发生变化，
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数，熟记中位数的定义是解题关键，难度不大．
5. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是（ ）
A. 2B. C. 0D. 2或
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴，即，
∴或，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0，还考查解一元二次方程．
6. 若一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角与外角，设这个多边形的边数为n，根据内角和公式以及多边形的外角和为即可列出关于n的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为，
依题意得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是10．
故选：D．
7. 如图，面积为50m2的矩形试验田一面靠墙（墙的长度不限），另外三面用20m长的篱笆围成，平行于墙的边开有一扇1m宽的门（门的材料另计）．设试验田垂直于墙的一边AB为xm，可列方程为（ ）
A. （20＋1﹣x）x＝50B. （20﹣1﹣x）x＝50
C. （20＋1﹣2x）x＝50D. （20﹣1﹣2x）x＝50
【答案】C
【解析】
【分析】根据篱笆的总长及AB的长度，可得出BC，根据矩形试验田的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：∵篱笆的总长为20m，且AB=x m，平行于墙的一边开有一扇1m宽的门，
∴BC=（20+1-2x）m．
∴（20+1-2x）x=50．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8. 用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角是钝角或直角”，第一步应假设（ ）
A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
【答案】C
【解析】
【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法，进行判断即可．
【详解】解：由反证法的定义得
先假设结论：“至少有一个内角是钝角或直角”不成立，
则有：一个四边形中没有一个内角是钝角或直角，
故选：C．
【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键．
9. 如图，在ABCD中，∠ABC=45°，BC=4，点F是CD上一个动点，以FA、FB为邻边作另一个AEBF，当F点由D点向C点运动时，下列说法正确的选项是（ ）
①AEBF的面积先由小变大，再由大变小；②AEBF的面积始终不变；③线段EF最小值为

A. ①B. ②C. ①③D. ②③
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，利用解直角三角形求出BG的长度，则，即可判断①②；由菱形和矩形的性质，即可求出EF的最小值，可判断③．
【详解】解：过点B作BG⊥CD，交DC延长线于点G，
在ABCD中，则AB∥CD，
∴∠BCG=∠ABC=45°，
在Rt△BCG中，BC=4，
∴BG=，
∵，
∵AB为定值，则AEBF的面积始终不变；故②正确，①错误；
当EF⊥AB时，线段EF的长度最小，
∴四边形BGFH是矩形，四边形AEBF是菱形，
∴，
∴，
∴线段EF最小值为；故③正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确确定点F的位置进行求EF的最小值．
10. 如图，在中，，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，连接、，则的最小值为（ ）
A. 27B. 45C. 18D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．利用平行四边形的判定和性质，三角形不等式计算即可．
本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移，折叠，三角形不等式，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，作点D关于直线的对成点T，连接、、．
∵，，将沿射线平移，得到，再将沿射线翻折，得到，
∴，，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵D、T关于对称，
∴，，
∴，
∵，
∴B、A、T共线，
∴，
∵，
∴， ，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
则的最小值为45，
故选B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B=80O,则∠D=________度．
【答案】100
【解析】
【详解】由已知得∠A+∠C=180°，又∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∴∠B+∠D=180°，∵∠B=80°，∴∠D=100°.
故答案为：100
12. 已知一组数据1，2，4，5，的平均数为4，则这组数据的方差为________．
【答案】6
【解析】
【分析】先根据平均数求出的值，再根据方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】解：一组数据1、2、4、5、的平均数为4，
，
，
这组数据为1、2、4、5、8，平均数为4，
方差，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了由平均数求未知数据的值，求方差．掌握求平均数的公式和求方差的公式是解题关键．
13. 若为方程的一个根，则代数式的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次方程的解的定义，再用整体代入即可求解．
【详解】解：∵为方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键记住：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14. 已知，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】将提取公因式，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：，，





．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了代数值求解，平方差公式以及二次根式的乘法和减法的运算，掌握二次根式乘法和减法的运算法则是解答关键．
15. 如图，在四边形中，，若，，M为的中点，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形判定与性质、中位线的性质等．延长，使，根据题意先证明四边形是平行四边形，可解得，继而得到C是的中点，再结合中位线的性质解题即可．添加辅助线构造中位线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长，使，连接，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
C是的中点，
又 M为的中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
16. 如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，交于点，折痕为，若，，则的度数为______ ．

【答案】40°##40度
【解析】
【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，平行四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
17. 已知，那么的值等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】通过完全平方公式求出，把待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算．
【详解】解：∵，
∴，
∴
∴ ，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示．
18. 如图，在中，，，M是中点，，分别交、于点O、I，若的面积为48，则下面结论①；②的面积为12；③；④；正确的有______．
【答案】①②③
【解析】
【分析】①证明与都是的余角，便可判断①的正误；②过点M作，与交于点E，证明，，再证明，得，进而得，再由等高的三角形的面积比等于底边之比求得的面积，便可判断②的正误；③由②的，得与的关系，便可判断③的正误；
④过点C作，与的延长线交于点F，证明，得，当H不是的中点时，，此时，便可判断④的正误．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，故①正确；
②过点M作，与交于点E，
∵M是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
故②正确；
③∵，
∴，故③正确；
④过点C作，与的延长线交于点F，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
当H不是的中点时，，
∴，
故④不正确；
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的中位线定理，三角形的面积，关键在于构造全等三角形．
三、解答题（本大题共46分，第19、20、21题6分，第22、23题8分，第24题12分）
19. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的性质先化简再计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则计算即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
20. 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解∶，
，
∴，
∴，．
【点睛】此题考查利用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法．
21. 浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
（1）如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
（2）“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【答案】（1）甲同学排名靠前
（2）乙同学排名靠前
【解析】
【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断．
【小问1详解】
解：甲的平均数为分，
乙的平均数为分，
∵85＞84，
∴根据三项得分的平均数，甲同学排名靠前；
【小问2详解】
解：甲同学的综合成绩为分，
乙同学的综合成绩为分，
∵83.6＞83.4，
∴乙同学排名靠前．
【点睛】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键．
22. 如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）首先证明，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
，
，，
∴，
∴四边形平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
23. 公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
24. 如图，在直角坐标系中，一次函数交轴，轴于，．若点向右平移个单位得到点，作平行四边形．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动，记点运动时间为秒．

备用图
（1）直接写出点的坐标________，点的坐标________（用含的代数式表示）；
（2）若，连接，是的中点，连接并延长交直线于点，当为何值时，存在以为腰的等腰
（3）若，连接，作关于的对称点，恰好落在平行四边形的边上，则________．（直接写出答案）
【答案】（1）（-2，0）；（m-2，0）；
（2）当t为0或或时，存在以BF为腰的等腰△BFH；
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出A、B的坐标，再根据平移和平行四边形的性质得到AD的长即可求出点D的坐标；
（2）分点E在线段OD上和在线段OD延长线上两种情况讨论求解即可；
（3）如图所示过点 作直线轴交BC于G，交x轴于H，取AB中点F，连接OF，连接，则四边形是矩形，先证明△AOF是等边三角形，然后根据勾股定理求出，，则，，设，则，在中，，得到由此求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数交轴，轴于，，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，），
∴OA=2，
∵点向右平移个单位得到点，
∴BC=m，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=m，
∴，
∴点D的坐标为（m-2，0），
故答案为：（-2，0）；（m-2，0）；
【小问2详解】
解：∵OD=3OA=6，
∴m-2=6，
∴m=8，
∴点D的坐标为（6，0），
∴
∵F是BD的中点，
∴,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠FBH=∠FDE，∠FHB=∠FED，
∴△FBH≌△FDE，
∴BH=DE，
①当点E在线段OD上时，
当BF=BH，△BFH为等腰三角形时，
∴，
∴，
∴；
当BF=FH，△BFH为等腰三角形时，
过点F作FG⊥BH于G，连接OF，
∵BF=FH，FG⊥BH，
∴BH=2BG，
∵F是BD的中点，∠BOD=90°，
∴，
∴△BOF是等边三角形，
∴∠OBF=60°，
∵轴，
∴∠OBC=90°，
∴∠FBG=30°，
∴，
∴，
∴BH=DE=2BG=6，
∴此时点E与点O重合，即此时t=0；
②当E在OD延长线上时，
∵∠HBF是钝角，
∴只存在BE=BF，△BFH为等腰三角形这种情况，如图1所示，
同理可证，
∴，
∴，
综上所述，当t为0或或时，存在以BF为腰的等腰△BFH；
【小问3详解】
解：如图所示过点 作直线轴交BC于G，交x轴于H，取AB中点F，连接OF，连接，则四边形是矩形，
由（1）可得OA=2，，
∴，，
∵F是AB的中点，∠AOB=90°，
∴，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠BAO=60°，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
由轴对称的性质可得，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
∴，，
设，则，
在中，，
∴，
解得
∴，
∴
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质与判定，轴对称的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83