江苏省无锡市宜兴市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．
考试时间为100分钟，试卷满分120分．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合．
2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效．
3．作图必须用2B铅笔作答．
4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果．
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1. 下列图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形识别．熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，是解题的关键．根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故选B．
2. 下列调查中适合采用全面调查的是（ ）
A. 调查市场上某种白酒的塑化剂的含量
B. 调查鞋厂生产的鞋底能承受弯折次数
C. 了解某火车的一节车厢内感染禽流感病毒的人数
D. 了解某城市居民收看辽宁卫视的时间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全面调查与抽样调查，根据实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，逐项进行分析即可．
【详解】解：A、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
B、数量较大，具有破坏性，适合抽查，不符合题意；
C、事关重大，因而必须进行全面调查，符合题意；
D、数量较大，不容易普查，适合抽查，不符合题意．
故选：C．
3. 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（ ）
A. 守株待兔B. 旭日东升C. 水涨船高D. 水中捞月
【答案】A
【解析】
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A. 守株待兔, 有可能发生，也有可能不发生，是随机事件，符合题意；
B. 旭日东升，是必然事件，不符合题意；
C. 水涨船高, 是必然事件，不符合题意；
D. 水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 矩形的对角线互相垂直平分B. 菱形的对角线相等
C. 有三个角是直角的四边形是矩形D. 有三边相等的四边形是菱形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质和判定，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
利用矩形、菱形的性质和判定解答即可．
【详解】解：A．矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，故本选项不合题意；
B．菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故本选项不符合题意；
C．有三个角是直角的四边形是矩形，故本选项合题意；
D．四条边都相等的四边形是菱形，故本选项不合题意．
故选：C．
5. 若、的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由、的值均扩大为原来的3倍，可得分别扩大3倍后为 再代入各选项，利用分式的基本性质约分，从而可得答案．
【详解】解： 、的值均扩大为原来的3倍，
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值发生了变化，故不符合题意；
变为：，所以分式的值没有发生了变化，故符合题意；
故选：
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
6. 从A地出发去B地，既有高速动车组列车也有普通动车组列车，高速动车组列车比普通动车组列车时速高100千米/小时，乘坐高速动车组列车行驶875千米所用的时间比乘坐普通动车组列车少用1小时，若普通动车组列车的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．根据题意可得等量关系为乘坐高速动车组列车的时间=乘坐普通动车组列车的时间，根据等量关系列式即可判断．
【详解】解：根据题意，得，
即．
故选：B．
7. 如图，在中，于点，于点．若，，且的周长为40，则的面积为（ ）

A. 24B. 36C. 40D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的性质，二元一次方程组的解法．由平行四边形的性质与等面积法可得方程组，解之从而可得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
由等面积法可得：

把①代入②得：，
，

故选：D．
8. 如图，把两个边长不等的正方形放置在周长为48的长方形内，两个正方形中均有一组邻边分别落在长方形的一组邻边上．如果两个正方形的周长和为60，那么这两个正方形的重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式加减的应用，整体代换运算；设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，由已知条件得，由两正方形之间的关系得，，由长方形的周长和可得 ，即可求解；
理解两正方形周长和两长方形周长之间的关系是解题的关键．
【详解】解：设较小的正方形边长为x，较大的正方形边长为y，阴影部分的长和宽分别为a、b，
两个正方形的周长和为60，
，
，
，
，
长方形的周长为48，
，
，
，
，
，
，
，
重叠部分（图中阴影部分所示）的周长为；
故选：D．
9. 如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，设与交与点，利用已知条件和正方形的性质得到为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，设与交与点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
．
由题意得：，
，．
．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键．
10. 如图，在矩形中，，，将绕点C顺时针旋转得到，延长分别交、于M、N，当N为中点时，的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接，证明，再证明，可得，证明，可得，证明，可得，再利用勾股定理进一步解答即可．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形，，，
∴，，，
∴，
由旋转可得：，，，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
∴，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
11. 在平行四边形中，若，则______度．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形中，得到，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：65．
12. 当________时，分式的值为零．
【答案】2
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，即可求出的值．
【详解】解：分式的值为零，
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式值为零的条件，分母为零分式无意义，分子为零且分母不为零分式的值为零．
13. 已知一组数据有50个，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别是10，5，7，6，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是_________．
【答案】12
【解析】
【分析】根据频数之和等于总数，总数乘以频率等于频数，进行求解即可．掌握总数乘以频率等于频数，是解题的关键．
【详解】解：∵第五组的频率是0.2，
∴第五组的频数为，
∴第六组的频数是；
故答案为：12．
14. 若关于x的方程 +＝3的解为正数，则m的取值范围是_____．
【答案】m＜且m
【解析】
【分析】根据解分式方程的方法求出题目中分式方程的解，然后根据关于x的方程的解为正数和x﹣3≠0可以求得m的取值范围．
【详解】解： ，
方程两边同乘以x﹣3，得
x+m﹣3m＝3（x﹣3）
去括号，得
x+m﹣3m＝3x﹣9
移项及合并同类项，得
2x＝﹣2m+9
系数化为1，得
x＝，
∵关于x方程的解为正数且x﹣3≠0，
∴，
解得，m＜且m．
【点睛】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
15. 有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，则甲的工作效率与乙的工作效率的比是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的应用，设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．由甲、乙合作10天可以完成；若甲单独工作13天，且乙单独工作3天也可完成，再建立方程组即可．
【详解】解：设甲单独工作x天可以完成工程，以单独工作y天可以完成工程．
由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴甲的工作效率与乙的工作效率的比是．
故答案是：
16. 如图，在▱ABCD中，∠A=65°，将▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱，当首次经过顶点C时，旋转角∠的大小为_______．
【答案】50°##50度
【解析】
【分析】由旋转的性质得出BC=，由等腰三角形的性质得出∠=∠，由旋转角∠=∠，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵▱ABCD绕顶点B顺时针旋转到▱，
∴BC= ，
∴∠=∠，
∵∠A=65°，
∴∠A=∠BCD=∠=65°，
∴∠=∠=65°，
∴∠=180°-2×65°=50°，
∴∠ =50°，
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明∠=∠．
17. 如图，矩形中，，，点在矩形内，连接，，，已知，，延长交于点，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：延长交于点F，如图，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得．
故答案为：．
18. 如图1，已知矩形纸片，，，将纸片进行如下操作：将纸片沿折痕进行折叠，使点A落在边上的点E处，点F在上（如图2），则______；然后将绕点F旋转到，当过点C时旋转停止，则______．

【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明得，，从而垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上，
∴，，
∴四边形是矩形，,
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，，
如图所示，连接，
∴，

∵将绕点旋转到，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：3，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共计66分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．）
19. （1）化简：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）原方程的根是
【解析】
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的解法，掌握相应的运算法则是解本题的关键；
（1）先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可；
（2）先把方程去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】解：（1）原式
．
（2），
两边同乘得：，
整理得：，
得：，
经检验：是原方程的根，
所以，原方程的根是．
20. 先化简，再从，0，1四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值．
【答案】；当时，原式
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先将分式化简，再代入求值即可，熟练掌握计算法则是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
；
根据分式有意义的条件，x不能为，0，
当时，原式．
21. 某校积极开展“阳光体育”活动，共开设了跳绳、足球、篮球、跑步四种运动项目，为了解学生最喜爱哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并绘制了如下的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．

（1）这次抽样调查的样本容量是______，并补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中喜爱篮球项目的学生人数所对应的圆心角为______度．
（3）该校共有1600名学生，请估计全校最喜爱篮球人数比最喜爱足球的人数多多少人?
【答案】（1）40，见解析
（2）135 （3）120人
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体的数量；
（1）根据跳绳的人数及其占比即可求得抽查的人数；根据抽查的总人数及足球的占比可求得喜欢足球的人数，进而求得喜欢跑步的人数，即补全条形统计图；
（2）喜欢篮球的占比与之积即可求得圆心角度数；
（3）用样本估计总体的思想即可求得．
【小问1详解】
解：根据题意得：（人）
答：本次被调查的学生人数是40人．
故答案为：．
喜欢足球的有（人），
喜欢跑步的有（人），
补图如下：
【小问2详解】
解：，
故答案为：；
【小问3详解】
解：（人）
∴全校最喜爱篮球的人数比最喜爱足球的人数大约多人．
22. 在一个不透明的袋中装有若干个相同的白球，为了估计袋中白球的数量，某数学学习小组进行了摸球试验：先将12个相同的黑球装入袋中，且这些黑球与白球除颜色外无其他差别，搅匀后从袋中随机摸出一个球并记下颜色，再放回袋中，不断重复．如表是这次摸球试验获得的统计数据：
（1）表中的a＝____；b＝____；
（2）从袋中随机摸出一个球是黑球的概率的估计值是___；（精确到0.1）
（3）袋中白球个数的估计值为____．
【答案】（1）249、0.4##
（2）0.4##
（3）18
【解析】
【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；
（2）从表中的统计数据可知，摸到黑球的频率稳定在0.4左右；
（3）摸到黑球的概率为0.4，根据黑球的概率公式得到相应方程求解即可．
【小问1详解】
解：由表可得a=600×0.415=249，b=600÷1500=0.4，
故答案为：249，0.4；
【小问2详解】
解：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4，据此可估计摸到黑球的概率是0.4；
故答案为：0.4；
【小问3详解】
解：设白球有x个，
根据题意得：，
解得x=18，
经检验：x=18是分式方程的解，
∴估算这个不透明的口袋中白球有18个．
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．组成整体的几部分的概率之和为1．
23. 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF．
求证：
（1）△DOF≌△BOE；
（2）DE=BF．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，利用ASA即可证明△DOF≌△BOE；
（2）证明四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点，
∴AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF．
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
【小问2详解】
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴EO=FO，
∵OB=OD，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴DE=BF．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．
24. 如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点，连结DE并延长交射线AB于点F，连结BE．
（1）求证：∠AFD=∠EBC；
（2）若∠DAB=90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
【答案】(1)见解析;(2) ∠EFB=30°或120°.
【解析】
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS），即可得出答案；
（2）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=AB，∠ACD=∠ACB，
在△DCE和△BCE中
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），
∴∠CDE=∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDE=∠AFD，
∴∠EBC=∠AFD.
（2）分两种情况,
①如图1，当F在AB延长线上时，
∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE=BF，设∠BEF=∠BFE=x°，
可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x=180，
解得：x=30，
∴∠EFB=30°.
②如图2，当F在线段AB上时，
∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE=FB，设∠BEF=∠EBF=x°，则有∠AFD=2x°，
可证得：∠AFD=∠FDC=∠CBE，
得x+2x=90，
解得：x=30，
∴∠EFB=120°．
综上：∠EFB=30°或120°．
【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
25. 我校在开学前去商场购进A，B两种品牌的乒乓球拍，购买A品牌球拍共花费1800元，购买B品牌球拍共花费700元，且购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，已知购买一副B品牌球拍比购买一副A品牌球拍多花5元．
（1）求购买一副A品牌、一副B品牌球拍各需多少元？
（2）为了进一步发展“校园乒乓球”，学校在开学后再次购进了A，B两种品牌的球拍，每种品牌的球拍都不少于16副，在购买时，商场对两种品牌的球拍的销售单价进行了调整，A品牌球拍销售单价比第一次购买时提高了5%，B品牌球拍按第一次购买时销售单价的6折出售且总花费恰好为903元，那么此次有哪些购买方案？
【答案】（1）一副A品牌球拍需30元、一副B品牌球拍需35元
（2）有两个方案，方案一：购买18副A品牌球拍与16副B品牌球拍
方案二：购买16副A品牌球拍与19副B品牌球拍
【解析】
【分析】（1）设一副A品牌球拍需x元、一副B品牌球拍需x+5元，根据购买A品牌球拍数量是购买B品牌球拍的3倍，列出方程解答即可；
（2）先求出A品牌球拍与B品牌球拍的单价，设此次购买m副A品牌球拍与n副B品牌球拍，根据花费恰好为903元，列出m与n的关系式，利用每种品牌的球拍都不少于16副，列出不等式，求出n的取值范围，通过分析得出结论即可．
【小问1详解】
解：设：一副A品牌球拍需x元、一副B品牌球拍需x+5元，
∴
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴，
∴一副A品牌球拍需30元、一副B品牌球拍需35元．
【小问2详解】
解：调整价格后，一副A品牌球拍需元，一副B品牌球拍需元，
设：此次购买m副A品牌球拍与n副B品牌球拍，
∴，
∴，
∵每种品牌的球拍都不少于16副，
∴，
解得：，
∴n的取值有：16、17、18、19，
∴当时，，此时，
当时，，此时不是整数，不合题意，
当时，，此时不整数，不合题意，
当时，，此时，
∴方案一：购买18副A品牌球拍与16副B品牌球拍，
方案二：购买16副A品牌球拍与19副B品牌球拍．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的应用，注意分式方程需检验，正确理解题目意思并列出方程与 不等式是解题的关键．
26. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为t（s）．
（1）如图2．当，且点落在上时，求此时的坐标；
（2）若直线与直线相交于点M，且时，．
①求点C的坐标；
②当时，的大小是否发生变化，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①；②不会改变，见解析
【解析】
【分析】（1）过点作于点Q，设，则，由勾股定理解求出，再利用面积法求出，利用待定系数法求出的函数表达式，即可求解；
（2）①连接，根据和对称，可得，结合，得出，再证，推出，即可求解；
②分和两种情况，利用折叠的性质及全等三角形的性质分别证明即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点Q，
∵矩形OABC中，，，
∴，，
∴，
由对称得，，则，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴点的横坐标为，
设的函数表达式为，
将代入得：，
∴的函数表达式为，
将代入得：，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，
∵，，
∴，，
∵和对称，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；
②（Ⅰ）当时，
∵，，
∴，
（Ⅱ）当时，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可得：，，
∴，
∵，，，
∴，即．
综上：不会改变．
【点睛】本题考查坐标与图形，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正比例函数、矩形的性质等知识点，利用折叠的性质找出全等三角形是解题的关键．
摸球的次数s
150
300
600
900
1200
1500
摸到黑球的频数
64
123
a
367
486
600
摸到黑球的频率
0.427
0.410
0.415
0.408
0.405
b