江苏省宿迁市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：150分，时长：100分钟，日期：2024.4.8）
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的）
1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【详解】∵从左往右第二个图形不是中心对称图形，但是轴对称图形；第一、三、四个既是中心对称又是轴对称图形，
∴四个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的有三个，
故选：C．
2. 如图，点A、B、C、D、O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ）
A. 30°B. 45°
C. 90°D. 135°
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理求解．
【详解】解：设小方格的边长为1，得，
OC=，AO=，AC=4，
∵OC2+AO2==16，AC2=42=16，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠AOC=90°．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，正确掌握勾股定理逆定理的计算方法是解题的关键．
3. 在式子，，，，，，中，分式的个数是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】形如：(B≠0)，A，B都为整式，且B中含有字母，这样的代数式是分式，根据分式的定义逐一判断即可得到答案．
【详解】解：在式子，，，，，，中，
，，，分母都不含有字母，不是分式，
，，，，分母都含有字母，是分式，一共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式的定义，掌握“利用分式的定义判断代数式是否是分式”是解题的关键．
4. 下列调查中，适合普查的是（ ）
A. 一批手机电池的使用寿命B. 中国公民保护环境的意识
C. 你所在学校的男、女同学的人数D. 端午节期间苏州市场上粽子的质量
【答案】C
【解析】
【详解】一批手机电池的使用寿命适合抽样调查；
中国公民保护环境的意识适合抽样调查；
你所在学校的男、女同学的人数适合普查；
端午节期间苏州市场上粽子的质量适合抽样调查，
故选C.
5. 下列运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的基本性质即分子分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、，故本选项错误；
B、，不能约分，故本选项错误；
C、，不能约分，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选D．
【点睛】此题考查了分式的性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，BM是∠ABC的平分线，交CD于点M，且DM＝2，平行四边形ABCD的周长是14，则BC的长等于（ ）
A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由平行四边形的性质可得AB∥DC，易得∠CMB=∠ABM，再结合角平分线定义可得∠ABM=∠CBM，则有∠CMB=∠ABM=∠CBM；接下来利用等角对等边的性质可得BC=MC，然后结合已知平行四边形的周长进行计算，即可求出DM的长.
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CMB=∠ABM.
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵∠ABM=∠CBM，∠CMB=∠ABM，
∴∠CMB=∠ABM=∠CBM，
∴MC=BC.
∵ABCD的周长是14，
∴BC+CM+DM=7，
∵DM=2，
∴BC=(7-2) ÷2=2.5.
故选B.
点睛：本题重点考查了角平分线的性质及平行四边形的性质等知识，属于基础题，确定出MC=BC是解题的关键，也是解答此题的难点.同时，本题还考查了等角对等边的性质，希望学生熟练掌握.
7. 如图，在矩形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，E、F分别是AP、PQ的中点．BC=12， DQ =5，在点P从B移动到C（点Q不动）的过程中，则下列结论正确的是 ( )
A. 线段EF的长逐渐增大,最大值是13B. 线段EF的长逐渐减小，最小值是6.5
C. 线段EF的长始终是6.5D. 线段EF的长先增大再减小，且6.5≤EF≤13
【答案】C
【解析】
【详解】连接AQ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=12，∠D=90°，
∴AQ==13，
∵E、F分别是AP、PQ的中点，
∴EF是△PAQ的中位线，
∴EF=AQ=6.5，
即线段EF的长始终是6.5，
故选：C.
8. 如图，P为边长为2的正方形的对角线上任一点，过点P作于点E，于点F，连接，给出以下4个结论：①；②；③最短长度为；④若时，则的长度为2．其中结论正确的有（ ）
A. ①②③B. ①②C. ②③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，构造三角形全等证得是解题的关键．连接，可证得，结合矩形的性质，可证得，可判断①；延长交于点G，可证得，可判断②；求得的最小值即可求得的最短长度，可判断③；当点P在点B或点D时，有最大值2，则可判断④；可求得答案．
【详解】解：①如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∵，，且，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，故①正确；
②延长交于点G，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵正方形，，
∴，
当时，，有最小值，此时P为的中点，
由①可知，
∴的最短长度为，故③不正确；
④当点P在点B或点D位置时，，
∴，
∴当时，，
即的长度不可能为2，故④不正确；
综上可知正确的结论为：①②，
故选：B．
二、填空题（共10小题，每题3分，共30分）
9. 当x＝__________时，分式无意义．
【答案】1
【解析】
【分析】根据分式无意义的条件：分母等于0，进行计算即可．
【详解】∵分式无意义，
∴，
∴．
故答案：1．
【点睛】本题考查分式有无意义的条件，明确“分母等于0时，分式无意义；分母不等于0时，分式有意义”是解题的关键．
10. 在整数20200520中，数字“0”出现的频率是_________．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】直接利用频率的定义分析得出答案．
【详解】解：∵在整数20200520中，一共有8个数字，数字“0”有4个，故数字“0”出现的频率是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了频率的求法，正确把握定义是解题关键．
11. 如图，△ABC中，∠A＝73°，∠B＝45°，点D是AC的中点，点E是AB边上一点，且AE＝AB，则∠ADE＝____°．
【答案】62
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理和三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵点E是AB边上一点，且AE=AB，
∴点E是AB的中点，
∵点D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DECB
∴∠ADE=∠C，
∵∠A=73°，∠B=45°，
∴∠ADE=∠C=180-73°-45°=62，
故答案为：62．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理和三角形内角和定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．
12. 当x_______时，分式的值为零．
【答案】= 3
【解析】
【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
【详解】解：根据题意，
∵分式的值为零，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
13. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】先证得△ADF△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
【详解】解：正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF =90，
∴∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90，
∴∠ADF =∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是证得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
14. 的最简公分母是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【详解】解：的分母分别是xy、4x3、6xyz，故最简公分母是．
故答案为．
【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
15. 农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物，现需将该实验田划成四个平行四边形地块（如图），已知其中三块田的面积分别是14m2，10m2，36m2，则第四块田的面积为_____m2．
【答案】
【解析】
【详解】分析：由平行四边形的面积=底×高，可知等高的两个平行四边形面积的比等于底的比，根据这个等量关系列出方程．
详解：根据两条平行线间的距离相等，得14和36所在的平行四边形的底的比是7:18.
设要求的第四块的面积是x，
则
解得
故第四块田的面积为
故答案为
点睛：考查平行四边形的性质，找到等高的两个平行四边形，根据面积比等于高之比进行求解即可.
16. 如图，在矩形中，，，过对角线交点O 作交于E，则的长是________．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解题的关键是识别垂直平分线并用勾股定理建立方程．先证是的垂直平分线，得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，
在矩形中，，，，，
∵，，
∴，，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
17. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝3．点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当经过_____ 秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点？
【答案】
【解析】
【分析】首先过点F作FQ⊥CD于点Q,证明△ADE≌△EQF进而得出AD=EQ,得出当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时:DQ+CM≥8进而求出即可
【详解】过点F作FQ⊥CD于点Q，
∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠DAE+∠1＝90°，
∴∠DAE＝∠2，
在△ADE和△EQF中，
，
∴△ADE≌△EQF（AAS），
∴AD＝EQ＝3，
当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥8，
∴t+3+2t≥8，
解得：t≥ ，
故当经过秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点．
故答案是：．
【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于作辅助线
18. 如图，将两张长为25，宽为5的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值20，那么菱形周长的最大值是________
【答案】52
【解析】
【分析】本题考查的是菱形的性质，勾股定理的应用，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为，
在中，
由勾股定理：，
解得：，
∴，
即菱形最大周长为．
故答案是：．
三、解答题（共10小题，8＋8＋8＋8＋10＋10＋10＋10＋12＋12＝96分）
19. 约分
（1）； （2）.
【答案】（1）- ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）找出分子分母中的公因式2a（a-1），然后进行约分即可；
（2）运用公式法找出分子分母中的公因式a-2b，然后进行约分即可.
【详解】（1）原式= ；
（2）原式= .
【点睛】分式的基本性质和约分是本题的考点，找出公因式是解题的关键. 分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变;约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.
20 通分：与．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了通分，掌握分式的基本性质成为解答的关键．
先确定两分式的最简公分母，然后根据分式的基本性质即可解答．
【详解】解：∵与的最简公分母是，
∴ ，．
21. 如图，在中，，垂足为E，点F在上，且．求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定与选择、矩形的判定等知识点．熟记定理内容是解题关键．先证四边形是矩形．再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可求证 ．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
22. 学生的学业负担过重会严重影响学生对待学习的态度．为此我市教育部门对部分学校的八年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了 名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计我市近8000名八年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
【答案】（1）200；（2）见解析；（3）54°；（4）估计该市初中生中大约有6800名学生学习态度达标．
【解析】
【详解】（1）调查总人数：50÷25％=200（人），
（2）200－50－120=30（人）；
画图如下

（3）30÷200×360°=54°；
（4）8000×（25％+60％）=6800（人）.
点睛：掌握用样本估算总体的方法.
23. 已知：如图，矩形的对角线相交于点O，将线段绕点A逆时针旋转一定角度到，连接，点F为的中点，连接．
（1）求证：；
（2）若，且平分，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形中位线定理，等边对等角等等：
（1）由矩形的性质得到，由旋转的性质可得，证明是的中位线，得到，由此即可证明；
（2）由角平分线的定义得到，设，由中位线定理得到． 则．根据等边对等角得到，则．再由垂直的定义得到，则，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
由旋转的性质可得，
∵点F为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵平分，
∴．
设，
由（1）得是的中位线，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日”，他们将试验中获得的数据记录如下：
（1）表中的值为__________；
（2）通过试验，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是__________（精确到0.01）．
（3）“13个人中有2个人同月过生日”是___________事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”）
【答案】（1）0.800；（2）0.78；（3）必然
【解析】
【分析】（1）用频数除以实验次数即可求得m的值；
（2）在同样条件下，大量反复试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的频率都在0.78左右，从而得出该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率；
（3）利用事件发生的可能性大小进行判断即可．
【详解】（1），
故m=0.800；
（2）通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78；
（3）“13个人中有2个人同月过生日”是必然事件，
故填：必然．
【点睛】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
25. （1）如图①，线段和线段关于点O对称，只用直尺作对称中心O；
（2）如图②，线段是线段绕点O逆时针旋转后得到的图形（旋转角小于180°），用直尺和圆规作旋转中心O．
①②
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．
【解析】
【分析】（1）连接，交于点，点即为所求．
（2）连接，，分别作，的垂直平分线交于点，点即为所求．
【详解】（1）如图所示，点O即为所求．
（2）如图所示，点O即为所求．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
26. 已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．
（1）请问BE与CD有什么数量关系，为什么？
（2）求证：AE平分∠BAD．
【答案】（1）BE＝CD，理由见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质证明△EBF≌△DCE（AAS），进而可以解决问题；
（2）由全等三角形的性质，和矩形性质可得∠BAE=∠EAD．进而得出结论．
【小问1详解】
解：BE=CD，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD．
∴∠BEF+∠BFE=90°．
∵EF⊥ED，
∴∠BEF+∠CED=90°．
∴∠BFE=∠CED．
在△EBF和△DCE中，
，
∴△EBF≌△DCE（AAS）．
∴BE=CD；
【小问2详解】
证明：∵AB=CD，BE=CD，
∴BE=AB，
∴∠BAE=∠BEA=45°．
∴∠EAD=45°．
∴∠BAE=∠EAD．
∴AE平分∠BAD．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．
27. 阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：
再如：
解决下列问题
（1）分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）；
（2）把假分式化为带分式的形式；
（3）如果分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】（1）真 （2）
（3），，，．
【解析】
【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算．
（1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断；
（2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可；
（3）把假分式化为带分式，然后根据值为整数即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可得，分式是真分式；
故答案为：真．
【小问2详解】
解：∵，
故答案为：．
【小问3详解】
解：，
∵的值为整数，的值也是整数，
故的值为：，，，，
∴的值为：，，，．
故答案为：，，，．
28. 我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
（1）四边形ABCD是等对角四边形，A≠C，若A＝50°，B＝100°，则C＝_____，D＝_____．
（2）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求以AB、BC为边在图①、图②中各画一个等对角四边形ABCD．要求：四边形ABCD的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
（3）如图③，在平行四边形ABCD中，A＝60°，AB＝12，AD＝6，点E为AB的中点，过点E作EFDC，交DC于点F．点P是射线FE上一个动点，设FP＝x，求以点A、D、E、P为顶点的四边形为等对角四边形时x的值．
【答案】（1）110°；100°
（2）见解析 （3）x=或
【解析】
【分析】（1）由等对角四边形得出，再由四边形内角和即可求出；
（2）根据题目已给信息作图即可；
（3）过D点作DHAB于H，则四边形DHBE为矩形，根据含30°的直角三角形的性质求出AH和HD，分两种情况讨论进行求值即可．
【小问1详解】
∵四边形ABCD是等对角四边形，，
∴D=B=100°，
∴C=360°-A-B-D=360°-50°-100°-100°=110°．
故答案为：110°；100°．
【小问2详解】
由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
【小问3详解】
如图③，作DHAB于H，
∵在RtADH中，A=60°，
∴ADH=30°，
∴AH=AD=3，
∴DH=3，
∵点E为AB的中点，
∴AE=AB=6，
∴DF=HE=6-3=3，
如图③，当ADP=AEP=90°时，DPE=120°，
∴DPF=60°，
在含30°的RtDFP中，
FP=x=，
如图④，连接DE，
∵AD=AE=6，A=60°，
∴ADE为等边三角形，
当APE=ADE=60°，
在含30°的RtAEP中
EP=2，
∴x=EF+EP=．
综上所述x=或．
【点睛】本题考查了四边形内角和定理、等腰三角形的判定和性质、含30°的直角三角形和矩形的判定和性质；解决本题的关键通过作辅助线运用以上的性质即可得出结果．试验次数
100
300
500
1000
1600
2000
“有2个人同月过生日”次数
80
229
392
779
1251
1562
“有2个人同月过生日”的频率
0.763
0.784
0.779
0.782
0.781