上海市进才中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2024.4
一、填空题 （本大题共有12小题，满分54分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1. 扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得.
【详解】扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，
所以该扇形的面积.
故答案为：
2. 已知点，，若点满足，则点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】设点的坐标是，利用共线向量的坐标运算可得，求解可得点的坐标.
【详解】设点的坐标是，由，，
可得，，
又，则有，
即，解得.
故答案为：.
3. 向量在向量方向上的数量投影为________.
【答案】
【解析】
【分析】利用数量积的几何意义根据题意直接求解即可
【详解】向量在向量方向上的数量投影为
，
故答案为：
4. 函数的单调增区间是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据正切函数的单调性即可得出答案.
【详解】解：令，
得，
所以函数的单调增区间是.
故答案为：.
5. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若则_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量基本定理得到答案.
【详解】因为E为AD中点，所以，
因为D是BC上靠近点C的三等分点，所以，
所以.
故答案为：
6. 在上的值域为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的值域即可得到结果.
【详解】
.
故答案为：
7. 向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由向量夹角为钝角可得且，由向量坐标运算可构造不等式求得结果.
【详解】夹角为钝角，且，
解得：且，的取值范围为.
故答案为：.
8. 在中，角、、的对边分别为、、，，则角______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据余弦的倍角公式，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由，因为，可得，
因为，可得，所以或.
故答案为：或.
9. 已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解.
【详解】由函数，令，即，
解得，可得，
因为，则对应的零点为
因为函数在区间有且仅有3个零点，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
10. 平面上三点的坐标分别是.小林同学在点处休息，进而小猫沿着所在直线来回跑动，小猫离小林同学最近时的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，求得设的方程为，设，结合，列出方程求得，即可求解.
【详解】设的方程为，
将点代入得，解得且，则，
由题意知，小猫离小林同学最近时所在位置的点与的连线与垂直
设，则，
所以，解得，所以点.
故答案为：.
11. 矩形中，，，动点满足，，则下列说法中正确的是______.
①若，则的面积为定值 ②若，则的最小值为4
③若，则满足的点不存在 ④若，，则的面积为
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据、的不同取值，分析点所在的位置，结合题意逐项分析即可.
【详解】
对于①，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，
在中，以为底边，高为点到的距离，
所以为定值，故①正确；
对于②，当时，由向量加法的平行四边形法则知，点应该在边上，
当位于点处时， 有最小值2，故②错误；
对于③，当时，取的中点，的中点，连接，
此时点位于上，如图点与重合，此时、夹角为，
同理，若点与重合，此时、夹角也为，
若不与、重合，设、夹角为，则，
又因为，，
所以
，
因为、，所以、，
所以，由题意知，，
、夹角为，所以，
又因为、夹角为， 所以，
，，且，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以，所以、夹角为锐角，
综上，无论怎么移动，，都不会垂直，故③正确；
对于④，当，时，由向量加法的平行四边形法则作图，
此时到的距离为，
所以，故④正确.
故答案为：①③④
12. 在中，，，.为所在平面内的动点，且，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系表示各点坐标，再利用三角恒等变换即可求出结果.
【详解】
如图所示建立直角坐标系，设，
为所在平面内的动点，且，
设，
则，
，
其中，
则的取值范围是，
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出周期排除AC；判断奇偶性即可得解.
【详解】函数、的最小正周期为，AC不是；
函数是偶函数，D不是，是奇函数，且最小正周期为，B是.
故选：B
14. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
15. 是平面上一定点，，，平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（ ）
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的数量积的定义式结合三角函数诱导公式化简已知等式，再由向量的数量积为零推出向量垂直即可.
【详解】如图所示，过点作，垂足为点．
则，
同理，
动点满足，．
，．
，
，
因此的轨迹一定通过的垂心．
故选：D．
16. 若非零不共线的向量满足，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断
【详解】
（2）
由非零向量，满足
当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, ,
则. 在图（1）中, ,
不能比较与大小;
在图（2）中, 由, 得,
所以 为的直角三角形.
易知
由三角形中大角对大边, 得.
故选：C
三、解答题 （本大题满分78分） 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17. 已知平面向量满足，且．
（1）求向量的夹角；
（2）若，求实数值．
【答案】（1）；
（2）﹒
【解析】
【分析】(1)由平方，根据向量数量积的运算方法即可求出csθ，从而可求θ；
(2)由得，根据向量的数量积运算律即可求出λ﹒
【小问1详解】
由平方得，
∵，∴，解得，
∵，∴；
【小问2详解】
由(1)知．
∵，∴，
化简得，
∴，解得．
18. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）请直接写出表中的值，并求出函数的解析式和最小正周期；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1），最小正周期为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用周期可求得，利用五点作图法的第二个关键点可求，进而求得解析式可求；
（2）由题意可得与的图象在上有两个交点，结合图象可求实数的取值范围.
【小问1详解】
根据表中的数据，得，
，又，，
函数的解析式为，
令，解得，
可得，
数据补全如下表：
则最小正周期为
【小问2详解】
关于的方程在上有两个不同的实数解，
则与的图象有两个交点，
作出两函数的图象如图所示：
结合函数图像可知
实数的取值范围为.
19. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
【答案】（1）；（2）5
【解析】
【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【详解】（1）连结，则
四边形的面积为
（2）由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
【点睛】本题考查了三角函数和解三角形综合实际应用问题，考查了学生综合分析，数学建模，转化划归，数学运算能力，属于较难题
20. 已知函数的图象如图所示，点为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值.
（1）求参数的值；
（2）若，求向量与向量的夹角；
（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出，利用在处取得最小值求出；
（2）由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；
（3）设，利用向量数量积的坐标表示出，观察取最小值时点P位置，然后根据最小值大于等于1可得的取值范围.
【小问1详解】
由题意可得在处取得最小值，则，，
所以，，
，则.
【小问2详解】
由题，，
则，，，
则，，
，，，
设向量与向量的夹角为，
则，
，.
【小问3详解】
，，，
是上动点，
设，，
，
，
易知，在或处有最小值，
在或处有最大值，
当或时，有最小值，
即当在或时，有最小值，此时或，
若，则，，，
又，解得，
若，则，，，
又，解得，
综上可得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用三角函数的性质解决点的问题，并代入向量的坐标表示，第三问的关键两个函数的最值同时取得，从而转化为求函数的最小值.
21. 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
（1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
（2）证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
（3）已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
【答案】（1），1，1，，，，1，，，1，，，，1，1，
（2）证明见解析 （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由维信号向量的定义可写出4个两两垂直的4维信号向量；
（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，根据题意不妨设，利用，可得有3个分量为，进而可得的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，由题意可得，可证结论；
（3）任取，计算内积，，设第个分量之和为，利用，可得结论.
【小问1详解】
依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：
，，，．
【小问2详解】
假设存在6个两两垂直的6维信号向量，
因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，
所以不妨设，
因为，所以有3个分量为，
设的前3个分量中有个，则后3个分量中有个，，
则，
，则，矛盾，
所以不存在6个两两垂直的6维信号向量．
【小问3详解】
任取，计算内积，
将所有这些内积求和得到，则，
设的第个分量之和为，
则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为，
所以，
则，所以，故.
【点睛】方法点睛：新定义题型，认真阅读，弄清题意是关键，理解内积的定义，与所学内容类比，转化，考查运算求解能力与逻辑思维能力，对综合素养要求较高.
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