2022-2023学年上海市进才中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市进才中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知，，则是的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解.

【详解】由，可得出，

由，得不出，

所以是的充分而不必要条件，

故选：A.

2．若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】可以考虑设，然后分类讨论去绝对值号，求解出函数的最小值，然后求解出a的取值范围．

【详解】设，

当时，；

当时，；

当时，，

故有最小值3．

对一切恒成立，，即．

故选：C．

3．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ）

A．15 B．17 C． D．18

【答案】C

【分析】本题实际考查二次方程的两根的关系，可利用韦达定理转化为含参数的方程来解决问题．

【详解】设的方程有两个实数根为，，

，，

这两根的平方和比两根的积大21，

，

即：，

，

解得：或，

△，

解得：．故舍去，

．

故选：C.

【点睛】在解决关于二次方程这类问题时，一定要注意对于判别式的讨论，以免造成不必要的失误．

4．设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值.

【详解】，，，，

当时，，，

因为，所以，即

当时，，，，

因为，所以，

当时，，，，，

因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立，

正整数的最大值为4，

故选：A．

二、填空题

5．已知集合，则集合=______．（用列举法表示）

【答案】

【分析】根据给定条件直接计算作答.

【详解】因，而，所以.

故答案为：

6．已知，则x＝___．

【答案】100

【分析】直接根据对数的运算即可得结果.

【详解】因为，所以，

即，所以，

故答案为：100.

7．，则___．

【答案】

【分析】分别解绝对值不等式和分式不等式得集合，再求交集即可.

【详解】因为，，

所以，

故答案为：.

8．用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是___．

【答案】假设，方程与都没有实根.

【分析】根据反证法假设方程都没有根.

【详解】用反证法证明命题“设，则方程与至少有一个实根”时要做的假设是

假设，方程与都没有实根.

故答案为：假设，方程与都没有实根.

9．已知，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】由不等式的性质求解即可

【详解】因为，

所以，

又，

所以，

故答案为：

10．若集合有且只有一个元素，则的取值集合为__________．

【答案】##

【分析】讨论集合A中的条件属于一次方程还是二次方程即可求解.

【详解】①若，则，解得，满足集合A 中只有一个元素，所以符合题意；

②若，则为二次方程，集合A有且只有一个元素等价于，解得.

故答案为：.

11．已，则的最大值为___．

【答案】3

【分析】构造乘积为常数，用基本不等式求解.

【详解】∵，   ∴

当且仅当，且，即时，等号成立.

∴

故答案为：3.

12．对于，，___．

【答案】##

【分析】根据指数幂的运算性质，即可得出结果.

【详解】∵，，

故答案为：

13．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为___．

【答案】

【分析】根据三个二次之间的关系，可得，的解及a的符号，根据韦达定理可得出参数的关系，代入解不等式即可.

【详解】由已知得，和2是的两个解，且a<0.则由韦达定理知，

   解得，

则可化为

∵a<0   ∴不等式化为

解得，或

所以，不等式的解集为

故答案为：.

14．已知，且，则xy的最小值为___．

【答案】##

【分析】根据对数运算法则得到，使用基本不等式求出，解不等式求出答案.

【详解】，故，

因为，

所以，即，

当且仅当，即时，等号成立，

令，

所以，

解得：，或（舍去），

则.

故答案为：.

15．设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是___．

【答案】##

【分析】逐个列举出来.

【详解】元素个数为0的1个，；

元素个数为1的5个，，，，，；

元素个数为2的10个，，，，，，，，，，.

所以，排在第12位的子集是.

故答案为：.

16．已知，且，若对，不等式恒成立，则的最大值为___．

【答案】1

【分析】由，不等式恒成立，得，利用绝对值不等式的定理，逐步转化，即可得到本题答案.

【详解】设，对，不等式恒成立的等价条件为，又表示数轴上一点到两点的距离之和的倍，显然当时，，

则有，所以，得，

从而，

所以的最大值为1.

故答案为：1.

三、解答题

17．（1）计算：；

（2）已知，且，求m的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据指数运算和根式运算法则进行计算；

（2）将指数式和对数式互化，结合换底公式和对数运算法则进行计算.

【详解】（1）

；

（2）因为，所以，

由换底公式可得：，

因为，

所以，

则，

因为，

所以.

18．（1）设，求证：；

（2）求证：当时，中至少有一个小于等于．

【答案】（1）证明过程见解析；

（2）证明过程见解析.

【分析】（1）利用作差法证明不等式；

（2）利用反证法证明，假设均大于，利用基本不等式推导出，得到假设不成立，结论得证.

【详解】（1）证明：

，

因为，所以，

所以，故，当且仅当时，等号成立.

（2）假设均大于，

则

因为，所以，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

故，这与均大于矛盾，

故假设不成立，则当时，中至少有一个小于等于．

19．随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大．某物流公司为扩大经营，今年年初用192万元购进一批小型货车，公司每年需要付保险费共计12万元，除保险费外，从第一年到第n年所需维修费等各种费用总额为万元，且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入．

(1)该批小型货车购买后第几年开始盈利？

(2)求该批小型货车购买后年平均利润的最大值．

【答案】(1)第5年

(2)12万元

【分析】(1)由题意可得当利润为正时开始盈利，即有，解此一元二次不等式即可得答案；

(2) 设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y,则有，再利用基本不等式求最在值即可.

【详解】（1）解：由题意，得，

即，

化简，得，解得：．

所以该批小型货车购买后第5年开始盈利．

（2）解：设该批小型货车购买n年后的年平均利润为y，

则．

当且仅当，即n＝8时取“＝”．

所以该批小型货车购买后的年平均利润最大值是12万元．

20．已知函数

(1)当时，求f（x）有意义时x的取值范围；

(2)若f（x）在时都有意义，求实数a的取值范围；

(3)若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3)a=4或a=5

【分析】（1）真数部分大于0，求解不等式即可；

（2）由题意可转化为在时恒成立，分离a，可转化为求最值的问题；

（3）方程有且仅有一个解，可转化为有且仅有一个解，讨论a与0的关系即可解出.

【详解】（1）要使有意义，则，

∵  即  解得，

所以，x的取值范围为

（2）f（x）在时都有意义，即在时恒成立，

即在时恒成立，

即在时恒成立，只需即可

令，

令，

∵，  ，

当且仅当，，且，即时等号成立，

∴

∴，即最大值为1，

∴.

（3）由已知，有且仅有一个解，

即有且仅有一个解，

即有且仅有一个解，

显然，则有且仅有一个解，

当时，方程化为，解得满足；

当时，一元二次方程有且只有一个解，

则，此时，只有一个解.

综上所述，a=4或a=5.

21．求已知集合，且，，其中，且．若，且对集合中的任意两个元素都有则称集合有性质．

(1)判断集合是否具有性质；

(2)若集合具有性质．

①求证：的最大值大于等于；

②求的元素个数的最大值．

【答案】(1)该集合不具有性质

(2)6

【分析】（1）由即可求解.

（2）①设中元素，由，即可解决；②要使的元素个数的最大，由中的元素满足，根据①中结论得，然后逐个讨论的值即可解决.

【详解】（1）由题知，集合，

，

该集合不具有性质.

（2）①证明：，不妨设

，则，

故，

故的最大值大于等于.

②要使的元素个数的最大，，

不妨设，

则中的元素满足，

则由①知，

又，

当 时，由解得，

当 时，由解得，

当 时，由解得，

当 时，由解得，

当 时，由解得，

故的元素个数的最大值为6，

此时集合.