2022-2023学年上海市进才中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市进才中学高二下学期期中数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市进才中学高二下学期期中数学试题 一、填空题1．已知，则________．【答案】6【分析】由组合的计算公式求解即可.【详解】因为，所以，所以（舍）或，所以.故答案为：6.2．已知，，且，则________．【答案】2【分析】根据空间向量垂直的坐标表示可解.【详解】因为，，所以，解得.故答案为：23．已知一个随机变量的方差，则________．【答案】4【分析】根据方差性质可得.【详解】由方差性质可得.故答案为：44．从0，1，2，，9这10个自然数中任取2个不同的数，它们的积是奇数的概率为________．【答案】【分析】利用组合公式先求总的基本事件数，然后再求积为奇数的基本事件数，由古典概型概率公式可得.【详解】根据题意，记取出的两个数的积为奇数为事件，从10个数中任取2个数相乘，有种情况，若取出的两个数全部为奇数，有种，则 故答案为：5．某校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为180的样本，已知从学生中抽取的人数为165，则该学校的教师人数是________．【答案】200【分析】根据分层抽样各层样本容量和总体个数的比值关系可解.【详解】从所有师生中抽取一个容量为180的样本，已知从学生中抽取的人数为165，则老师抽取人，则该学校的教师人数人.故答案为：2006．当，化简：_____．【答案】0【分析】构造二项式，对其求导，然后赋值计算即可.【详解】因为，两边对求导数得：，令，代入上式，即得：，故答案为：0.7．甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，则该目标至少被命中一次的概率为________．【答案】【分析】根据题意，由概率计算公式代入计算即可得到结果.【详解】设目标至少被命中一次的概率为，则故答案为:8．把一颗质地均匀的骰子连续抛掷两次，记事件为“所得点数之和是偶数”，记事件为“至少有一次点数是4”，则________．【答案】【分析】列举出事件A的所有基本事件，然后从其中找出满足事件B的基本事件，利用古典概型概率公式可得.【详解】事件有下列可能：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种；满足条件有：，，，，，共5种，所以 故答案为：9．某活动小组有4男3女共7名学生在博物馆参观后排队合影留念．若这7人排成一排，且3名女生互不相邻，则共有________种不同的排法．【答案】1440【分析】根据题意，女生互不相邻，属于不相邻问题，所以先排其他人，再把女生插入排好的空档中即可.【详解】先把四个男生排成一排有种排法，在每一种排列中有五个空档（包括两端），再把三个女生插入空档中有种方法，所以共有种不同方法.故答案为：1440.10．已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是________．【答案】【分析】利用捆绑法可求得个红球恰好排在一起的方法数，结合小球随机排列的方法总数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】个小球随机排列，有种情况；把个红球看成一个整体，有种情况，然后把这个整体与其他小球排序，有种情况；个红球恰好排在一起的概率是：.故答案为：.11．某班共有40名学生，其中23名男生的身高平均数为，方差为28；17名女生的身高平均数为；若全班学生的身高方差为62，则该班级女生身高的方差为________．【答案】【分析】求出班级平均身高，然后利用方差的性质可解.【详解】由题意可知，所有学生的平均身高为：，设班级女生身高的方差为，则，所以，即该班级女生身高的方差为.故答案为：.12．将一枚均匀的硬币连续抛掷次，以表示没有出现连续3次正面的概率．已知，则________．【答案】/0.875【分析】由题意表示没有出现连续3次正面的概率，则利用分类讨论法列表分析即可找出的值.【详解】要求，即抛掷次没有出现连续3次正面的概率，分类进行讨论，若第次反面向上，前次未出现连续3此正面即可；若第次正面向上，则需要对第进行讨论，依次类推，得到下表：第次次次概率反面  正面反面 正面正面反面所以，所以．故答案为：. 二、单选题13．下列命题中假命题是（    ）A．一组数据的极差可以表示这组数据的波动范围大小；B．任意给定统计数据，都可以绘制散点图；C．茎叶图既可以用于呈现单组数据，也可以用于对两组同类数据的比较分析；D．一组数据中的百分位数既可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.【答案】B【分析】根据极差、散点图、茎叶图和百分位数的定义即可判断答案.【详解】极差表示最大值与最小值的差距，它在一定程度上能表示这组数据的波动大小范围.A正确；散点图应该是表示两个变量组成的数对.B错误；根据茎叶图的作法可知，C正确；一组n个观测值按数值大小排列，处于p%位置的值称第p百分位数，例如中位数是第50百分位数，显然中位数可以在数据中，也可以不在数据中.D正确.故选：B.14．设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则或，重合【答案】B【分析】根据空间向量证明面面垂直、线面平行、线面平行和面面平行方法判断选项即可.【详解】A项，若，由法向量的性质知，法向量垂直，平面垂直，故A正确；B项，若，可知与平面平行或在平面内，故B错误；C项，若，由法向量的性质知，该向量垂直于平面，故C正确；D项，若，可从题目，分别是平面，的法向量知，法向量平行，所以平面平行或重合，故D正确.故选：B15．已知集合，，从集合中任取2个不同的元素，其中最小的元素用表示，从集合中任取3个不同的元素，其中最大的元素用表示，记，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别列出从集合、取元素的情况，即可得到、的取值情况，再利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合中任取2个不同的元素，有6种可能，分别为：，，，，，，其中最小的元素的取值分别为1，2，3，从集合中任取3个不同的元素，有10种可能，分别为：，，，，，，，，，，其中最大的元素取值分别为3，4，5，所以.故选：C16．将110表示成3的非负整数幂的和的形式，其中加数的不同排列视作同一种表示方法，共有（    ）种不同的方法．A．247 B．402 C．485 D．508【答案】D【分析】设，当，设，则，求出的非负整数解；当时，同理求出方程的解的个数，两种情况相加即可得出答案.【详解】设若，（i），则，设则，方程（1）的非负整数解的个数为，方程（2）的非负整数解的个数为．的非负整数解有：，，，，，，，，，，，，故方程的解的个数为：；（ii）当，则，类似地有方程的解的个数为：，综上，共有种不同的方法.故选：D. 三、解答题17．已知四棱锥的底面是矩形，平面，，．点是线段的中点，求：(1)异面直线和所成角的大小；(2)直线与平面所成角的大小．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先找出异面直线和所成角，然后在三角形中利用余弦定理先求出角的余弦值，再求角即可；（2）利用等体积法即，求出点B到平面的距离，根据线面角的含义即可求得答案.【详解】（1）取中点为，靠近的四等分点为，连接，取，连接，如图所示：因为，分别是，的四等分点，则，因为平面，平面，则,所以，因为，分别是，的中点，所以，则异面直线和所成角即为直线和所成角,即为或其补角；因为，，所以，，而,则．,所以，因为异面直线和所成角的范围为，故异面直线和所成角的大小为.（2）因为平面，平面，故，，故，，设B到平面的距离为h，则，即，取中点为，连接，则，故平面，平面，故，则，，设直线与平面所成的角为，则,即直线与平面所成的角为.18．已知的二项展开式中，所有项的二项式系数之和等于．求：(1)的值；(2)展开式中的常数项；(3)展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据二项式系数和，可解方程求得的值；（2）由二项式定理可得二项展开式通项，将代入通项中即可得到常数项；（3）设第项的系数最大，采用不等式法可构造不等式组求得的值，代入通项即可求得系数最大的项.【详解】（1）展开式的二项式系数和为，，解得：.（2）展开式通项为：，令，解得：，则展开式常数项为.（3）设展开式第项的系数最大，则，即，解得：，又，，展开式中系数最大的项为.19．为了解某校高二年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如下．450名高二学生数学成绩的频率分布直方图(1)求的值；(2)估计这次数学考试的平均成绩；(3)求这次数学考试的及格率（不低于60分视作及格）．【答案】(1)(2)(3)70% 【分析】（1）由频率分布直方图小矩形面积之和为1即可计算；（2）根据频率分布直方图直接计算即可；（3）用频率估计概率即可.【详解】（1）由，解得；（2）这次数学考试的平均成绩为：；（3）由频率分布直方图得这次数学考试的及格率为：.20．一个袋子中有大小、质地都相同仅颜色不同的8个小球，其中5个是红球，3个是黄球．规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分．现随机从袋中摸出3个球，记这三个球的得分之和为随机变量．求：(1)的所有可能的取值（直接列出，不需要说明理由）；(2)的分布；(3)的期望和方差（结果保留三位小数）．【答案】(1)，4，5，6(2)X3456P(3)， 【分析】（1）根据取出小球分类即可得到X的值；（2）根据离散型分布列的步骤求解即可；（3）利用方差与期望之间的关系求解可得.【详解】（1）取出的小球有3红、2红1黄、1红2黄、3黄，共4种情况，所以（2）因为所以的分布列为：X3456P（3）因为所以21．甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落．(1)求飞机恰被一人击中的概率；(2)求飞机被击落的概率；(3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率．【答案】(1)(2)(3) 【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得;(3)根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则，依题意，，，．由全概率公式，为求，设“飞机被第i人击中”，，，，将数据代入计算得（2）于是．（3）．