上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份上海市进才中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了11，； 2，B； 14，不存在等内容，欢迎下载使用。
一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．用集合语言表述“直线和直线相交于点”：________．
2．双曲线的实轴长为________．
3．点在椭圆上，则点的横坐标的取值范围是________．
4．直线与直线的夹角为________．
5．已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为________．
6．如果方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围________．
7．已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为________．
8．直线与双曲线只有一个交点，则实数的值为________．
9．如图，若平行四边形是用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图．已知，，平行四边形的面积为8，则原平面图形中的长度为________．
10．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点和点反射后，满足，，则该椭圆的离心率为________．
11．设，为双曲线上两点，如下四个点：，，，中，可作为线段中点的是________．（请将所有满足条件的点填入）
12．已知抛物线与直线相交于不同的，两点．记点，的横坐标分别为，且，若存在以，，为边长的三角形，则的取值范围
是________．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
14．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点中心对称
15．已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为2”是“的一条渐近线为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．已知、是曲线上两点，若对于平面内任意不在曲线上的点，使得曲线上存在点和点使得，则称曲线是“曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“曲线”；②任意双曲线都是“曲线”．则（ ）
A．①成立②成立 B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知圆关于直线对称，且过点
（1）求圆的圆心坐标和半径；
（2）若直线过点，且与圆交于，两点，满足，求直线的方程．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
如图，已知正方体的棱长为2，点是棱的中点．
（1）求证：与是异面直线；
（2）求异面直线与所成角的大小．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
正方体中，为的中点，为的中点．
（1）记点，，确定的平面为，作出平面和平面的交线，并说明理由；
（2）求证：四边形是等腰梯形．
20．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知椭圆（，且），点在椭圆上，点，原点为．
（1）若点在曲线上，且长轴长为，求椭圆的短轴长；
（2）若点在第二象限，且是以为直角的等腰直角三角形，求的最小值；
（3）若椭圆的焦点在轴上，是否存在，使得点在线段的中垂线上？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）．
（1）若且，求直线的方程；
（2）若，求线段的最小值；
（3）若点，，三点共线，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
二、选择题
13.B； 14.D； 15.D； 16.C
15.已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“的离心率为2”是“的一条渐近线为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若双曲线的离心率为2,则,
若双曲线的焦点在轴上,则渐近线方程为;
若双曲线的焦点在轴上,则渐近线方程为;
的离心率为2"不是"的一条渐近线为"的充分条件;
反之,双曲线的一条渐近线为,若双曲线的焦点在轴上,
则渐近线方程为,则,此时离心率;
若双曲线的焦点在轴上,则渐近线方程为,
则,此时离心率,
的离心率为2"不是"的一条渐近线为"的必要条件;
综上所述，"的离心率为2"是"的一条渐近线为的既不充分也不必要条件.
故选:.
三、解答题
17.（1）圆心坐标为，半径为 （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1） （2） （3）
20.（1） （2）9 （3）不存在
21.（1） （2） （3）