2022-2023学年上海市进才中学高一下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年上海市进才中学高一下学期期中数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市进才中学高一下学期期中数学试题 一、填空题1．与反向的单位向量为__________．【答案】【分析】反向单位向量即为，代入即可.【详解】与反向的单位向量为.故答案为：.2．函数的单调递增区间为______．【答案】（）【分析】根据正切型三角函数单调区间的求法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的单调递增区间为（）故答案为：（）3．设，是不共线向量，与共线，则实数为__________．【答案】/【分析】根据向量平行列出方程组，求出实数的值.【详解】因为，是不共线向量，与共线，所以存在实数使得，所以，解得：.故答案为：4．已知，，则______.【答案】/【分析】根据同角三角函数关系求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，即，所以，故答案为：.5．函数的单调递减区间是 ______.【答案】【详解】试题分析：因为；所以由可得x∈所以函数的递减区间为 ．【解析】三角函数的性质.6．已知，且，则实数______．【答案】/-0.2【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：7．已知单位向量，满足，则______．【答案】/0.2【分析】由向量垂直及向量数量积的运算律、数量积的定义列方程求夹角余弦值即可.【详解】由题意，解得．故答案为：8．已知向量，则在方向上的数量投影为___________【答案】【分析】根据平面向量投影的定义计算即可【详解】向量，， ，所以 在 方向上的数量投影为；故答案为：9．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______.【答案】-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用表示与，然后利用数量积的运算律求解即可【详解】因为，所以，所以，即，故答案为：-310．如图，中，，，CD与BE交于F，设，，，则为__________．【答案】【分析】设，，根据平面向量基本定理，将用已知向量，表示出来，列出方程组即可求解.【详解】解：设，，同理设，，根据平面向量基本定理，得，解得，，故答案为：11．如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 __________．【答案】【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合，即可求解.【详解】因为O为的重心，且，可得，解得，所以，所以，所以，所以，解得，可得，由，即，可得，解得，又由，所以，所以，于是，所以..故答案为：.12．在斜三角形△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，的最小值为____________【答案】/【分析】利用正弦定理，同角三角函数的基本关系和基本不等式即可求解.【详解】因为，由正弦定理可得，又因为，所以，整理可得，因为，所以，且，，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故答案为：. 二、单选题13．设，是两个非零向量，则下列说法正确的是（  ）A．若|＋|＝||－||，则⊥B．若⊥，则|＋|＝||－||C．若|＋|＝||－||，则存在实数λ，使得＝λD．若存在实数λ，使得＝λ，则|＋|＝||－||【答案】C【详解】利用排除法可得选项C是正确的，∵|＋|＝||－||，则，共线，即存在实数λ，使得＝λ．如选项A：|＋|＝||－||时，，可为异向的共线向量；选项B：若⊥，由正方形得|＋|＝||－||不成立；选项D：若存在实数λ，使得＝λ，，可为同向的共线向量，此时显然|＋|＝||－||不成立14．已知和都是锐角，向量，，则（    ）A．存在和，使得 B．存在和，使得C．存在和，使得 D．存在和，使得【答案】B【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示及和角公式得到，即可判断A、C，当时可以判断B，根据数量积的运算律判断D.【详解】因为和都是锐角，所以，又，，所以，，，因为，所以，故，因此A和C错误；当时，，即，所以B正确；，所以D错误；故选：B.15．已知函数，若的图象关于点对称，且直线与函数的图象的两个交点之间的最短距离为，则下列四个结论中错误的是（　　）A．的最小正周期为B．的单调递减区间是，C．的图象关于直线对称D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数【答案】C【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；所以，所以，因为的图象关于点对称，所以，即，，又因为，所以当时，，所以，令，，解得，，所以的单调递减区间为，，故B正确；因为，故C错误；函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，故D正确．故选:C．16．有下面两个命题：①若是周期函数，则是周期函数；②若是周期函数，则是周期函数，则下列说法中正确的是（    ）．A．①②都正确 B．①正确②错误 C．①错误②正确 D．①②都错误【答案】B【分析】由周期函数的定义判断两个命题即可.【详解】若是周期函数，设周期为，则，则也是周期函数，故①正确；若是周期函数，设周期为，则， 不一定成立，故②错误.故选：B. 三、解答题17．已知A，B，C三点的坐标分别为，，，是否存在实数m，使得A，B，C三点能构成直角三角形？若存在，求m的取值集合；若不存在，请说明理由．【答案】存在；m的取值集合为．【分析】假设存在，再通过分类讨论以及利用平面向量处理垂直问题进行求解.【详解】存在实数m，理由如下：由题意，得，，．若A为直角，则，得．若B为直角，则，得．若C为直角，则，，所以方程无解．故m的取值集合为．18．已知向量，，．(1)若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；(2)若，且，求向量与的夹角大小．【答案】(1)且(2) 【分析】（1）若向量，能构成一组基底，则向量，不共线，则，从而可得答案；（2）由，可得，从而可求的得，再根据向量夹角的坐标公式求解即可.【详解】（1）若向量，能构成一组基底，则向量，不共线，则，解得且；（2）因为，所以，即，解得，所以，，则，又因为，所以，即向量与的夹角为.19．为解决社区老年人“一餐热饭”的问题，某社区与物业、第三方餐饮企业联合打造了社区食堂，每天为居民提供品种丰富的饭菜，还可以提供送餐上门服务，既解决了老年人的用餐问题，又能减轻年轻人的压力，受到群众的一致好评.如图，送餐人员小夏从处出发，前往，，三个地点送餐.已知，，，且，.(1)求的长度.(2)假设，，，均为平坦的直线型马路，小夏骑着电动车在马路上以的速度匀速行驶，每到一个地点，需要2分钟的送餐时间，到第三个地点送完餐，小夏完成送餐任务.若忽略电动车在马路上损耗的其他时间（例如：等红绿灯，电动车的启动和停止…），求小夏完成送餐任务的最短时间.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理求解，进而得，由两角和与差的余弦公式可得，进而由余弦定理求解，根据三种不同的送餐路线，计算路程的大小，即可比较求解.【详解】（1）因为，，所以，在中，由余弦定理，得.（2）在中，由余弦定理，得，所以，所以.在中，由余弦定理，得，解得.假设小夏先去地，走路线，路长，假设小夏先去地，因为，所以走路线，路长，假设小夏先去地，走路线，路长，由于，所以小夏走路线，且完成送餐任务的最短时间为.20．如图，梯形，，，，为中点，．(1)当时，用向量表示的向量；(2)若为大于零的常数），求的最小值，并指出相应的实数的值．【答案】(1)(2)； 【分析】（1）结合图形，先证得四边形是平行四边形，从而利用向量的线性运算即可得解.（2）结合（1）中的结论，得到关于的表达式，进而利用向量的数量积运算求模得到关于的二次表达式，从而可求得的最小值及相应的值.【详解】（1）过作交于，如图，因为，所以，，则四边形是平行四边形，故，即是的中点，所以，当时，，所以．.（2）因为，所以，所以，因为，，，所以，所以当，即时，取得最小值．所以的最小值为，此时．21．已知函数是定在上的函数，且满足关系．(1)若，若，求的值域；(2)若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；(3)若，要使得在内恰有2022个零点，请求出所有满足条件的与．【答案】(1)(2)(3)当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域；（2）化简函数，通过对应图像即可得出恒成立，求的最小值；（3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图像与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有2022个零点，所有满足条件的与．【详解】（1）由题意，在中，，在中，，当时，，∴的值域为：.（2）由题意及（1）得，在中，①当即，，函数在定义域上单调递减，， ②当即时，，函数在单调递增，在单调递减，，，③当即时，，函数在上单调递增，，，④当即时，，函数在单调递增，在单调递减，，，∴函数是周期为的周期函数，图像如下：在中，存在，对任意，有恒成立，∴∴当最小时，由图像可知，，（3）由题意，，在中，，在中，，在中，，∵，设，， ∴函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有1~2个交点，∵在周期内，与有1~2个交点，∴在上有1~4个交点，∴若在内恰有2022个零点，则，在中，当即或，此时有1个交点，①当函数有两个零点时，若均不为-1和1，此时与有2个交点，则在有4个交点，，解得：，∴当有2022个交点时，，若有一个为-1或1，此时与有2个交点，则在有3个交点，，解得：，或，解得：，∴当有2022个交点时，，，②当函数有一个零点时，此时与有1个交点，则在有2个交点，，解得：，或，解得：，∴当有2022个交点时，，，综上：当时，；当时，；当时，.【点睛】关键点点睛：三角函数，三角函数的图像，二次函数，零点问题等，考查学生的作图能力，三角函数的恒等变换能力，分段函数的应用及去绝对值的能力，具有极强的综合性.