江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，请各位考生务必将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置上.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列各式中值为的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形是以向量，为边的平行四边形.又，，则用，表示（ ）
A. B. C. D.
4. 若在中，，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
5. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6. 在菱形中，，，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比赵爽弦图，用3个全等小三角形拼成了如图所示的等边，若，则AC＝（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
8. 如图，在中，，的平分线交于点，若，且，则的长为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知复数，，下列结论正确的有（ ）
A.
B. 若，则，中至少有一个0
C.
D. 若，则
10. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A. 若且，则
B. 在中，若，则点为边上中点
C. 已知，均为非零向量，若，则
D. 在中，为的中点，若，则是在上的投影向量
11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且，则（ ）
A. 外接圆的半径为
B. 若平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________.
13. 若，则______．
14. 已知锐角内角，，的对边分别为，，若，，则边上高的取值范围为_________..
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 已知复数．
（1）若，求复数；
（2）若z是关于x的方程的一个虚根，求的值．
16. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
17. 内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）是边上一点，且，，求面积的最大值.
18. 设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.
（1）求的值；
（2）为线段上一点，若，求实数的值；
（3）在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.
19. 为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域为荔枝林和放养走地鸡，区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘周围筑起护栏.已知，，，.
（1）若时，求护栏的长度（的周长）；
（2）若鱼塘的面积是“民宿”的面积的倍，求；
（3）当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？