2023-2024学年江苏省盐城市响水中学高一下学期期中数学试题

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第I卷（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知复数为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A. B. 1C. 1或D. 或0
【答案】B
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义求解.
【详解】因为z是纯虚数，所以，解得．
故选：B．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 圆锥的轴垂直于底面B. 棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C. 球面上不同的三点可能在一条直线上D. 棱台的侧面是等腰梯形
【答案】A
【解析】
【分析】由多面体和旋转体结构特征依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，由圆锥的结构特征可知：圆锥的轴垂直于底面，A正确；
对于B，六棱柱的两个相对侧面也是互相平行的面，B错误；
对于C，球面上不同三点可构造出一个球的截面圆，可知三点不共线，C错误；
对于D，棱台的侧棱长可以不相等，则侧面不是等腰梯形，D错误.
故选：A.
3. 设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为（ ）
A. －B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量的投影向量的公式求解.
【详解】解：由题意，在上的投影向量为．
故选：B．
4. 已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先利用复数运算规则求得z的代数形式，进而求得z在复平面内对应的点所在象限.
【详解】因为，
所以z对应点的坐标为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限．
故选：C．
5. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
.
故选：D.
6. 如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（ ）

A. 三角形B. 矩形C. 菱形D. 梯形
【答案】D
【解析】
【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.
【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，
，分别是，的中点，故，且，
，故，，故四点共面，
故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．
故选：D．

7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理，结合同角的三角函数关系式、两角和的正弦公式、正弦定理进行求解即可.
【详解】因，由正弦定理可得，
则，
，，，
，为内角，
，则，，,
故选：D.
8. 若，则（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用之间的关系和题给条件即可求得分别求得的值，进而得到的值.
【详解】因为，
设（），
则，所以，，
即，所以或（舍）
所以，
．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知a，b，c是3条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 若a与b垂直，b与c垂直，则a与c垂直
C. 若，，，则a与b一定是异面直线
D. 若a，b与所成的角均为，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由基本事实4判断A；由直线与直线的位置关系判断B；由面面平行的性质判断C；由线面垂直的性质判断D．
详解】对于A，若，，则，所以A正确；
对于B，若a与b垂直，b与c垂直，则a与c可能相交、平行或异面，所以B错误；
对于C，若，，，则a与b可能异面，也可能平行，所以C错误；
对于D，若a，b与所成的角均为，则，，可得，所以D正确．
故选：BC．
10. 设z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.
【详解】设，但不同时为0，则，可得，
对于A：若，则，
故，A正确；
对于B：∵，
若，则，
解得：或（舍），B正确；
对于C：若，即，解得，
故，则，
可得，C不正确；
对于D：，则，解得，
即z为纯虚数，此时，
故，D不正确.
故选：AB.
11. 密位制是度量角的一种方法，把一个周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0—07”，478密位写成“4—78”．若，则角可取的值用密位制表示正确的是（ ）
A. 12—50B. 2—50
C. 13—50D. 32—50
【答案】ABD
【解析】
【分析】先利用题给条件求得角的值，再将各选项的密位制角转化为弧度制的角即可得到正确选项.
【详解】因为，
即，
即，所以，
所以，，或，，
解得，或，．
对于A，密位制12—50对应的角为，符合题意；
对于B，密位制2—50对应的角为，符合题意；
对于C，密位制13—50对应的角为，不符合题意；
对于D，密位制32—50对应的角为，符合题意．
故选：ABD．
12. 在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. a>cC. c>aD.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用正弦边角关系可得，结合余弦定理及锐角三角形知、判断A、B、C正误；再由正弦边角关系得，应用倍角公式得，注意，即可得范围判断D正误.
【详解】由正弦边角关系知：，则，
所以，而，则，A正确；
由上知：，即，B错误，C正确；
由知：，则，
又，故，则，即，D正确.
故选：ACD
第II卷（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为______．
【答案】1
【解析】
【分析】应用复数的除法求复数z即可.
详解】由题设，，
故z的虚部为1．
故答案为：1.
14. 如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形较长的对角线的长度为____．

【答案】
【解析】
【分析】先利用斜二测画法规则画出该直观图对应的原图，进而求得原图形中较长的对角线的长度.
【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段轴，
所以在原图形中对应的线段CB平行于x轴且长度不变，
点和在原图形中对应的点C和B的纵坐标是的2倍，
则，，所以，
，，
故原图形较长的对角线长为．

故答案为：
15. 若，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角函数的倍角公式及同角的商数关系计算即可.
【详解】因为，所以，
又因为，，
所以，即，
所以，又因为，
所以，．
故答案为：
16. 在中，G满足，过G的直线与AB，AC分别交于M，N两点.若，，则3m+n的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可知为三角形的重心，利用三点共线可得，再由均值不等式即可求最值.
【详解】取中点，连接，如图，
由可得，即，
所以三点共线且，即为的重心，
所以，
因为三点共线，
所以，
又，，
所以，当且仅当，
即时，等号成立，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量，，．
（1）若A，B，C三点共线，求实数x，y满足的关系；
（2）当时，判断是否为钝角，并说明理由．
【答案】（1）
（2）不可能是钝角，理由见解析
【解析】
【分析】（1）利用向量共线充要条件即可求得实数x，y满足的关系；
（2）利用向量夹角公式求得，进而得到不可能是钝角.
【小问1详解】
因为A，B，C三点共线，所以，
又，，
所以，即．
则实数x，y满足的关系为.
【小问2详解】
不是钝角，理由如下：
当时，，
，
则，
又，故不可能是钝角．
18. （1）已知，化简：；
（2）已知，，，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用平方关系及二倍角的正余弦公式化简作答.
（2）利用同角公式求出，利用二倍角的正切求出，再利用差角的正切求解作答.
【详解】（1）因，则，，，
所以
．
（2）因为，，即有，而，
因此，，，
于是，又，
则，
而，，即有，
所以．
19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，，求b和的值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理和题给条件求得，进而求得角B的大小；
（2）先利用余弦定理求得b的值，再利用两角差的正弦公式即可求得的值．
【小问1详解】
因为，由正弦定理得
，
即．又，所以，
所以，即，
又因为，所以．
【小问2详解】
在中，由余弦定理及，，，
得，故，
所以，又，所以，
，又，所以．
所以．
20. 如图，正三棱柱的所有棱长都等于2，E，F，G分别为，，AB的中点．

（1）求证：平面平面BEF；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面平面BEF；
（2）先依据线面角定义作出与平面所成角，进而求得其正弦值.
【小问1详解】
，F分别为，的中点，，
平面，平面，平面，
又F，G分别为，AB的中点，，
又，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，
又，EF，平面BEF，
平面平面BEF．
【小问2详解】
在平面ABC内，过点G作，垂足为H，连接．
正三棱柱，
平面ABC．又平面ABC，．
又，BC，平面，平面．
即为与平面所成的角．
正三棱柱的所有棱长为2，G为AB中点，
，，
又，，．
又，，
．
又，
，
，
故与平面所成角的正弦值为．

21. 已知向量，，．
（1）若，求实数k；
（2）设满足，且，求的坐标．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用向量垂直充要条件列出关于实数k的方程，解之即可求得实数k的值；
（2）先设，再利用题给条件关于实数的方程组，解之即可求得实数的值，进而得到的坐标.
【小问1详解】
因为向量，，，
则，．
因为，
所以，解得．
【小问2详解】
设，由题意，，，
由于，且，则，
解得或．因此或．
22. 如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.
（1）若，求EF的值；
（2）为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换可求，即可得结果；
（2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到，最后根据三角函数的性质求最值即可.
【小问1详解】
由题意可得，
设，则，
在中，由余弦定理，
则，即，
由正弦定理，可得，
即，可得，
在中，，
，
由正弦定理，可得，
故.
故EF的值.
【小问2详解】
设，则，
由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
故的面积
，
∵，∴，∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最小值.