高中6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合训练题

这是一份高中6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理综合训练题，共34页。
涂色（染色）问题【培优版】
与涂色（染色）问题有关的试题新颖有趣，是近几年高考考查的热点、高频考点，其中包含着丰富的数学思想，解题方法技巧性强且灵活多变．
本专题总结涂色（染色）计数问题的常见类型及求解方法，侧重于分类加法计数原理、分步乘法计数原理在涂色（染色）问题中的应用．
一、涂色问题与染色问题
涂色问题和染色问题都是数学中的组合数学问题，它们有一些相似之处，但严格来说涂色问题与染色问题是有区别的，举例如下：
（1）涂色问题的例子：
在一个方格纸上，按照一定的规律，如螺旋式或交替式，给每个方格涂色．
给一个几何图形，如三角形、正方形等，用不同颜色进行涂色，使得满足某种对称或美观要求．
（2）染色问题的例子：
给定一个地图，能否用有限种颜色给各个国家或地区染色，使得相邻国家或地区颜色不同．
在一个网络中，确定能否用有限种颜色给节点染色，使得相邻节点颜色不同．
可以看出，涂色问题更注重颜色的排列和组合方式，以及如何达到特定的视觉效果；而染色问题更关注如何满足特定的限制条件，如相邻区域或节点的颜色不同．
本文在中学范围内，探讨涂色问题与染色问题的解法，因此对它们不加以区别，认为它们是相同类型的问题．
二、涂色（染色）问题主要类型
在中学范围内，涂色（染色）问题主要有以下几种类型：
（1）点线面染色问题：涉及对点、线、面的染色；
（2）区域染色问题：将一个平面区域按照一定的规则进行染色；
（3）图形染色问题：对各种几何图形进行染色，如三角形、正方形等；
（4）染色方案问题：确定满足一定条件的染色方案的数量；
（5）染色规律问题：寻找染色过程中的规律；
（6）限定条件染色问题：在特定限制条件下进行染色，等等．
三、涂色（染色）问题的常用解题策略
选好分类标准，优化分类顺序的策略．
分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题所给对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，将整体问题划分为局部问题，把复杂问题转化为单一问题，然后分而治之、各个击破，最后综合各类的结果得到整个问题的解答．因此，采用分类策略解答染色问题时，我们可以从三个方面入手考虑，
（1）从确定染色顺序入手根据染色问题的要求，先确定好区域的染色顺序，对各个区域分步染色，再由乘法原理计算出染色的种数，是处理这类问题最基本的方法．
（2）从使用颜色的种类入手
按照染色问题中的题设要求，从使用了多少种颜色分类讨论入手，分别计算出各种情形的种类，再用分类计数原理求出不同的染色方法的种数．
（3）从相对区域是否同色入手
从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求中不同的染色方法的种类．
四、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题的一般步骤
（1）明确问题：
仔细理解涂色染色问题的具体要求和限制条件；
（2）分解步骤：
将整个涂色染色过程分解为若干个相互独立的步骤；
（3）分类或分步：
①分类：根据不同的情况或条件进行分类，每类相互独立；
②分步：按照一定的顺序进行分步操作．
（4）确定方法数：
在分类的情况下，分别计算每类的方法数；
在分步的情况下，相乘得到总的方法数．
（5）计算总数：
如果既有分类又有分步，需要明确先分类再分步计算，还是先分步再分类计算；
（6）检查结果：
检查计算结果是否满足问题的限制条件．
五、应用两个计数原理解决涂色（染色）问题注意事项
应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决涂色（染色）问题时，需要注意以下几点：
（1）确保分类或分步的合理性和完整性，避免遗漏情况．
（2）注意题目中的限制条件，不符合要求的方案应排除．
（3）对于复杂的问题，可以通过列举部分情况来辅助理解和分析．
当然，对于复杂的问题，可能需要建立模型，比如递推数列来解决问题．
类型一 点染色问题
点染色问题，要注意对各点依次染色，主要方法有：
（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论．
【典例1】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
图1
【解析】设想染色按的顺序进行，对染色，有种染色方法．由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D与A，C，S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D有2种颜色可供选择，从而对C，D染色有种染色方法．
由乘法原理，总的染色方法数是种．
【总结与反思】
图1中的连接状况是本质条件，而是否空间图形则无关紧要．下面的两个问题，尽管与例题表述方式不同，但具有相同的数学模型，所以都可以转化为本例来解决．
（1）如图2，用五种颜色给图中的5个车站的候车牌A、B、C、D、E染色，要求相邻两个车站间的候车牌的颜色不同，有多少种不同的染色方法．
图2
（2）如图3所示为一张有5个行政区划的地图，今要用5种颜色给地图着色，要求相邻的区域不同色，共有多少种方案？
图3
【举一反三】
（2023下广东河源高二期中考试）
1．将一个三棱台的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 ．
【答案】1920
【分析】利用分步计数原理进行计算即可.
【详解】设在三棱台中，
首先对着色，有种；
然后：点可以用或点的色，也可以用剩下的两种色．现分类：
（1）用或点的色，由对称性，不妨设用点的色，则点有4种色可以选择，
又分为两类：①与同色，则有3种色可选择；②与不同色，则有2种色可选择，共有，
（2）用剩下的两种色，则点有3种色可选择，又分为两类：
①与同色，则有3种色可选择；②与不同色，则有2种色可选择，共有：．
所以不同的染色方法的总数是．
故答案为：1920．
类型二 线段染色问题
【典例2】如图5，用红、黄、蓝、白、四种颜色染矩形ABCD的四条边，每条边只染一种颜色，且使相邻两边染不同的颜色，如果颜色可能反复使用，共有多少种不同的染色方法．
图5
解法一：（1）使用四种颜色，每条边一种，应用分步乘法计数原理，有种；
（2）使用三种颜色染色，则必须将一组对边染成同色，故有种；
（3）使用两种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种．
因此，所求的染色方法数为种．
解法二： 染色按的顺序进行，对染色有种染色方法．
由于的颜色可能与同色或不同色，这影响到颜色的选取方法数，故分类讨论：
当与同色时，这时对颜色的选取方法唯一，则有3种颜色可供选择；当与不同色时，有2种可供选择的颜色，有2种可供选择的颜色，从而对，染色有种染色方法．
由乘法原理，总的染色方法数为种．
【总结与反思】
要注意对各条线段依次讨论，主要方法有：
（1）根据共用了多少种颜色分类讨论；
（2）根据相对的线段是否同色分类讨论．
【举一反三】
（2023辽宁大连一中月考）
2．正五边形中，若把顶点，，，，染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有 种．
【答案】
【解析】根据题意，不妨先染顶点，再染，，讨论、同色，、不同色两种情况，结合分步乘法与分类加法计数原理，逐步计算，即可得出结果.
【详解】由题意，不妨先染顶点，则有种染法；再染，，
当，同色时，，共有种染法，则，共有种染法；
当，不同色时，，共有种染法，则，的染色情况可以分以下三类：
①若与颜色相同，则有种不同染色方法；
②若与颜色相同，则有种不同染色方法；
③若、与颜色都不相同，则、有种不同染色方法；
综上，不同的染色方法有种.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：
解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
类型三 面染色问题
【典例3】如图6，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
图6
A.36 B.48 C.72 D.108
【答案】C
【分析】对面与面同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案．
【解析】当面与面同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有2种方法，即种，
当面与面不同色时，面有4种方法，面有3种方法，面有2种方法，面有1种方法，面有1种方法，即种，
即不同的染色方法总数为种，故选C．
【总结与反思】
应用两个计数原理解决面染色问题需要注意以下几点：
（1）确定面的数量和颜色种类；
（2）分析面之间的关联，找出相互独立的染色步骤；
（3）对不同情况分类讨论，计算每一类的染色方法数．特别要注意：按相对的面是否同色，分情况讨论；
（4）按照分步计数原理，将每一步的方法数相乘，得到总的染色方法数．
【举一反三】
3．如图所示的几何体由三棱锥与三棱柱组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
【答案】C
【解析】三棱锥三个侧面的颜色各不相同，先进行染色，然后再给三棱柱的侧面染色，保证组合体中相邻的侧面颜色不同即可.
【详解】先涂三棱锥的三个侧面，有种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有种情况，共有种不同的涂法．
故选：C．
类型四 区域染色问题
【典例4】要用四种颜色给四川、青藏、西藏、云南四省（区）的地图染色（图8）每一省（区）一种颜色，只要求相邻的省（区）不同色，则不同染色的方法有多少种？
图8
【解析】先给四川染色有4种方法，再给青海染色有3种方法，接着给西藏染色有2种方法，
最后给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48种．
【总结与反思】
本例是分步乘法计数原理在染色中的应用．根据乘法原理，对各个区域分步染色，这是处理这类问题的基本的方法．
【举一反三】
（2024下山东滨州高二月考）
4．如图，用4种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法有（ ）
A．48B．56C．72D．256
【答案】A
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为，如下图所示：
第一步涂种涂法，第二步涂种涂法，第三步涂种涂法，第四步涂种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有种着色方法.
故选：A.
【典例5】如图11，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同不同，且两端格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
图11
【答案】
【解析】不妨将图中的4个格子从左到右依次缩号为①②③④．
第一类情况：①③同色．
第一步，涂①有6种方法；第二步，涂②有5种方法；第三步，涂③只有1种方法；第四步，涂④也有5种方法．依分步乘法计数原理，有种方法．
第一类情况：①③不同色．
涂②有6种方法；涂②有5种方法；涂③有4种方法；涂④时应与①③不同色，也有4种方法，依分步乘法计数原理，有种方法．
最后由分类加法计数原理，共有种方法．
【举一反三】
（2023下山东济南高二期中考试）
5．某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（ ）
A．24B．36C．48D．96
【答案】C
【分析】由分步乘法计数原理求解即可.
【详解】先种区域1有种选择，区域2有种选择，区域3有种选择，区域4有种选择，区域5有2种选择，区域6有1种选择，
则共有：种.
故选：C.
【典例6】如图13，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种．（以数字作答）
图13
【典型错解】按的顺序分五步着色：
（1）有4种染法；
（2）与不同色，有3种染法；
（3）与不同色有2种染法；
（4）与不同色有2种染法；
（5）与不同色，有1种染法，
因此不同的着色方法共有种．
【错解剖析】上述解法犯了一个处理染色问题最常见的错误．事实上，在第五步，若不同色，则有1种染法；若同色，则有2种染法．可见的染色不同，的染色方法数不同．
【启示】按某种顺序着色分步计算时，要注意考虑前一步的染法对后继染色的影响，谨防出错．
请看下面几种正确解法．
解法一：从相邻最多的区域开始分步计算
受错解启发最后者一步可以将两个区域合在一起，按的顺序分四步着色：
（1）（2）（3）染法同上；
（4）着色分两种情况：
若与同色，则有1种染法，有2种染法；若与不同色，则有1种染法，
根据分步乘法计数原理，不同的着色方法共有：
种．
【总结与反思】
为了使前一步的每一种染法对后继染色的影响小一些，尽量降低出错机会，习惯上，第一步染色常常从相邻最多的区域开始，即最大相邻原则．
解法二：从不相邻的区域入手分类计算
以是否同色为标准分类：
（1）若同色，按的顺序着色，则有种方法；
（2）若不同色，按的顺序着色，则有种方法，
所以不同的着色方法共有种．
【总结与反思】
在解法一，按某种顺序染色，前后染色关系繁杂难以理顺时，解法二往往是一种行之有效的方法．
【分析】依题意至少要选用3种颜色，先分类，在每类中再利用分步乘法原理计数．
解法三：从被选用颜色的种数入手分类计算
【解析】依题意至少要选用3种颜色，因此分如下三类：
（1）第一类：当选用三种颜色时，区域必须同色，区域必须同色，由分步乘法原理可得，有种；
（2）当用四种颜色时，若区域同色，则区域不同色，有种；若区域同色，则区域不同色，有种，故用四种颜色时，共有种，
由加法原理可知满足题意的着色方法共有：．
解法四：去杂法
（1）按的顺序着色，先不考虑与不同色的限制，
有种着色方法，
但在这个计算中，包括与同色的情况，不符合条件，此时可把合并为一个区域．
（2）按的顺序着色，得出不符合条件的着色方法有种，
因此符合条件的不同着色方法共有种．
【总结与反思】
解法三根据共用了多少种颜色分类讨论，分别计算出各种情形的种数，再用加法原理求出不同染色的方法总数．
按颜色分类与按区域分步（区域也可以分类），对应着组合计数的加法原理与乘法原理，它们都是“通法”，都有独立存在的价值，并且相互之间有内在联系，还常常要交叉综合使用，没有必要厚此薄彼，也没有证据表明两种算法的一致性是“巧合”．
【举一反三】
（2023江苏盐城滨海三校高二下期中联考）
6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540B．360C．300D．420
【答案】D
【分析】分②和④涂同种颜色和不同种颜色是讨论即可.
【详解】分两种情况讨论即可：
(i)②和④涂同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；
(ii)②和④涂不同种颜色时，
从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；
∴总共有180＋240＝420种涂色方法．
故选：D﹒
【典例7】（2024辽宁名校联盟联考）为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图15所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（ ）
图15
A.48种 B.36种 C.24种 D.12种．
【答案】A
【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可
【解析】满足条件的摆放方案可分为两类，
第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案，
满足条件的方案可分四步完成，
第一步，先摆区域有种方法，
第二步，摆放区域有3种方法，
第三步，摆放区域有2种方法，
第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法，
由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案，
根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种，
故选A．
【总结与反思】
本例根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论．从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同染色方法数．
综合上面几例，我们可以总结出一类区域染色问题的解题程序，分三步叙述于下：
第一步，进行几何结构的分析．
主要是弄清一共有几块区域，区域与区域之间哪此存在相邻关系（异色），哪此不存在相邻关系（可同色，也可异色）．为了简化图形并凸显关系，可将区域模型图对应为模式结构图．（从表层结构到深层结构）
第二步，根据图形的深层结构各个击破，或分步计数或分类计数，或以区域为主计数或以颜色为主计数．
在以区域为主分步计数时，要执行“最大相邻原则”，每次都从相邻最多的区域开始染色．
第3步，反思回顾，“防假、防漏、防重”．
为了防止在第二步计算中出现：渗杂了不合条件的染法，遗漏了符合条件的染法，或重复了符合条件的染法，反思回顾是一个必要步骤．根据解题的时间和环境，可采取画树树状图、多解对照、推进到一般等措施．同时，要注意积累成功的经验与失败的教训．
【举一反三】
（2023下江苏常州高二期中考试）
7．如图所示的一圆形花圃，拟在A，B，C，D区域种植花苗，现有3种不同颜色的花苗，每个区域种植1种颜色的花苗，且相邻的2块区域种植颜色不同的花苗，则不同的种植方法总数为（ ）
A．12B．18C．24D．30
【答案】B
【分析】先对A区域种植，再对B区域种植，最后分两类：D块与块相同、D块与块不相同，对C 、D区域种植，根据计数原理即可求解.
【详解】根据题意，分3步进行分析：
(1)对于块，可以在3种不同的花中任选1种，有种情况；
(2)对于块，可以在剩下的2种不同的花中任选1种，有种情况；
(3)对于C 、D块，分2种情况：
若D块与块相同，则C块可以在其余的2种不同的花中任选1种，有种情况，
若D块与块不相同，则块有1种情况，块有1种情况，此时C 、D有1种情况，
则C 、D共有种情况；
综合可得：一共有种不同的种法.
故选：B
类型五 区域种植问题
近几年在各级各类考试中经常出现这类试题：在给定的几个区域中栽种植物，要求在相邻的区域中栽种不同的植物，求共有多少不同的栽种方法．这类问题实际上是一类染色问题（或地图着色问题）．
【典例8】在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如图17，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有四种不同的植物可供选择，则有 种栽种方案．
图17
【解析】以A，C，E（相间）栽种植物情况作为分类标准：
①考虑A，C，E栽种同一种植物，有4种栽法；B，D，F各有3种栽法，
∴ 共有 种栽法．
②考虑A，C，E栽种同两种植物，此时种A，C，E有种，种B，D，F有种栽法（若A，C栽种同一种植物，则B有3 种栽法，D，F各有2种栽法），
因此，共有种方法．
③考虑A，C，E种3种植物，有种栽法；B，D，F各有2种栽法，∴ 共有 种栽法．
综合①、②、③三类，共有 种栽法．
【总结与反思】
进一步的，问题可以推广到一般的情形：
用种不同的颜色，给图18中个彼此相连的区域染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：．
注意：上述问题中的种颜色是可供选择的，而不是全部都要用上的．
图18
【举一反三】
8．如图，用种不同颜色给图中标有、、、各部分涂色，每部分只涂一种颜色，且相邻两部分涂不同颜色，则不同的涂色方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】按：的顺序进行涂色，结合分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】先给第部分涂色，有种涂色方法；再给第部分涂色，有种涂色方法；
再给第部分涂色：
若第部分颜色与第部分相同，则第部分只有种涂色方法，再给第部分涂色，有种涂色方法；
若第部分颜色与第部分不相同，则第部分有种涂色方法，再给第部分涂色，有种涂色方法．
所以不同的涂色方法一共有种．
故选：C
【典例9】（2023四川绵阳南山中学高二月考）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分，如图20所示．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有（ ）
图20
A.80种 B.120种 C.160种 D.240种
【答案】B
【分析】由题意，按照一定顺序，由1，2，3，5的顺序，在5号区域的选择上进行分情况，根据分类加法原理和分步乘法原理，可得答案．
【解析】第一步，对1号区域，栽种有4种选择；第二步，对2号区域，栽种有3种选择；
第三步，对3号区域，栽种有2种选择；第四步，对5号区域，栽种分为三种情况，
①5号与2号栽种相同，则4号栽种仅有1种选择，6号栽种有2种选择，
②5号与3号栽种相同，则6号栽种仅有1种选择，4号栽种有2种选择，③5号与2、3号栽种都不同，则4、6号只有1种；
综上所述，种．故选：B．
【总结与反思】
用种不同的颜色，给图21中个彼此相连的车轮型区域染色，且任何相邻的2个区域染不同的颜色，则不同的涂色方案种数为：．
图21
【举一反三】
9．某广场中心建造一个花圃，花圃分成5个部分（如图），现有4种不同颜色的花可以栽种，若要求每部分必须栽种一种颜色的花且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种．（用数字作答）
【答案】72
【分析】根据题意，分析可得本题是分类计数问题，分2种情况讨论，当选3种颜色时，就是②④同色，③⑤同色，从4中颜色中选3中，在三个元素上排列；当4种颜色全用，只能②④或③⑤用一种颜色，先选出同色的一对，再用四种颜色全排列，由分类计数原理计算可得答案．
【详解】由题意，分2种情况讨论：
第一：当选用3种颜色时②④同色，③⑤同色，共有涂色方法种，
第二：4色全用时涂色方法，即②④或③⑤用一种颜色，共有种，
根据分类加法原理知不同的着色方法共有24+48=72种．
故答案为：72．
类型六 其它可以化归为涂色的问题
【典例10】如图24，四棱锥的一条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同个仓库是危险的，没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①②③④的4个仓库存存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法数有多少种？
图24
【答案】48
【分析】此题与上述区域涂色问题类型看似不同，以空间图形为考察背景，有一定的思维难度，但仔细探究，实际完全可以化归为一类问题．以“△，棱”为研究对象（视为不相邻区域，△与棱，△与棱，……均可）．易知，代表的化工产品显然不能进同仓库，所以先考虑△的三边和棱，后再考虑其它边．
【解析】第一类，与△的三边进不同仓库，有种放法，
由于一旦放好，只能有一种放法，如图26所示，，而无论进哪个仓库都不合，故这种情况不可能．
第二类：与△的三边之进同一仓库，
①先考虑△的三共有种放法；
②再考虑，与或相同两种情形（与相同易知不合）；
③同理和△的三边确定，其余各边放法一确定，
∴安全存放的方法种数共有种放法．
【总结与反思】
由本例可知，对于一般的染色问题（或可化归染色问题），只要找准一组互不相邻的区域，问题即可迎刃而解．
【举一反三】
（2023辽宁葫芦岛兴城高中高二期末考试）
10．重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108B．36C．9D．6
【答案】C
【分析】利用分步计数原理及分类计数原理即得.
【详解】由题可知中间格只有一种放法；
十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；
四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；
所以不同放法共有种.
故选：C.
一、单选题：
11．现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是
A．120B．140C．240D．260
【答案】D
【详解】试题分析：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故选D.
考点：计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题．
（2023下山东高二月考）
12．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（ ）
A．48种B．72种C．64种D．256种
【答案】A
【分析】利用分步乘法原理求解即可
【详解】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，
C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法；
由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，
则D有2种颜色花卉摆放方法.
故共有种绿化方案.
故选：A
（2024高二上山东德州月考）
13．中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，，，，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域如区域与区域所涂颜色相同．若有种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．种B．种
C．种D．种
【答案】B
【分析】确定区域，，，的颜色，分区域与区域涂的颜色是否相同两种情况讨论，进而可得出答案.
【详解】由题意可得，只需确定区域，，，的颜色，即可确定整个伞面的涂色．
先涂区域，有种选择，再涂区域，有种选择，
当区域与区域涂的颜色不同时，区域有种选择，剩下的区域有种选择；
当区域与区域涂的颜色相同时，剩下的区域有种选择，
故不同的涂色方案有种．
故选：B．
（2023下河南许昌高二期末考试）
14．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形内部为“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成），给、、、这个三角形和“赵爽弦图”涂色，且相邻区域（即图中有公共点的区域）不同色，已知有种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次对区域正方形、、、、涂色，讨论区域与区域同色或异色讨论，确定每个区域所涂颜色的种数，结合分类加法和分步乘法计数原理可得结果.
【详解】先对正方形涂色，共有种颜色可供选择，
然后涂区域，有种颜色可供选择，
接下来涂区域，有种颜色可供选择，
若区域与区域同色，则区域有种颜色可供选择；
若区域与区域不同色，则区域有种颜色可供选择，区域有种颜色可供选择.
由计数原理可知，不同的涂色方法种数为.
故选：C.
（2024下福建福州高二月考）
15．如图，用4种不同的颜色对图中 5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）

A．24B．96C．48D．108
【答案】B
【分析】按照分步、分类计数原理计算可得.
【详解】第一步：涂区域，有种方法；
第二步：涂区域，有种方法；
第三步：涂区域，有种方法；
第四步（此前三步已经用去三种颜色）：涂区域，分两类：
第一类，区域与同色，则区域涂第四种颜色；
第二类，区域与不同色，则区域涂第四种颜色，
此时区域就可以涂区域或区域或区域中的任意一种颜色，有种方法．
所以，不同的涂色种数有.
故选：B
（2023下广东佛山高二月考）
16．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（ ）
A．720种B．1440种C．1560种D．2520种
【答案】C
【分析】先对图中不同的区域命名，分与布置相同的花卉、与布置不同的花卉两种情况，再运用分步计数和分类计数的方法从开始计数即可.
【详解】
如图，不同的布置方案分两类：
当与布置相同的花卉时，
先安排，有6种不同的选择；再安排与，有5种不同的选择；再安排，有4种不同的选择；最后安排，有4种不同的选择，共有种.
当与布置不同的花卉时，
先安排，有6种不同的选择；再安排与，有种不同的选择；再安排,有3种不同的选择；最后安排，有3种不同的选择，共有种.
所以不同的布置方案有种.
故选：C
17．在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440B．720C．1920D．960
【答案】C
【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.
【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；
第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；
第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；
第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；
若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；
则区域E可选择的花卉有种，
故不同的种植方法种数是.
故选：C
18．直线和将圆分成4部分，用5种不同颜色给四部分染色，每部分染一种颜色，相邻部分不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）
A．120种B．240种C．260种D．280种
【答案】C
【分析】根据题意，先分析于1号区域，有5种颜色可选，即有5种涂法方案，再分①若2、4号区域涂不同的颜色，②若2、4号区域涂相同的颜色，两种情况讨论其他3个区域的涂色方案，由分类计数原理可得其他个区域的涂色方案的数目；再由分步计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，直线x=0和y=-x将圆分成4部分，如图所示，设这4部分别为1、2、3、4号区域；
对于1号区域，有5种颜色可选，即有5种涂法，
分类讨论其他3个区域：①若2、4号区域涂不同的颜色，则有种涂法，3号区域有3种涂法，此时其他3个区域有12×3=36种涂法；
②若2、4号区域涂相同的颜色，则有4种涂法，3号区域有4种涂法，此时其他3个区域有有4×4=16种涂法；
则共有5×（36+16）=5×52=260种；

故选： C
二、多选题：
（2024下江苏苏州高二月考）
19．用n种不同的颜色给如图所示的四块区域A，B，C，D涂色，要求相邻域涂不同颜色，不同的涂色方法的总数记作，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】计算出后逐项计算即可得.
【详解】使用种不同颜色时，对区域涂色可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
由、、相邻，故对区域可用种，
由、相邻，故对区域可用种，
故不同的涂色方法的总数种，
种，种，
种，种，
故A、B错误，C、D正确.
故选：CD.
三、填空题：
（2023安徽模拟预测）
20．数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1），一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择变成绿色，则与之相邻的，，，四个点也要变成绿色，那么最少需要 步，才能使得位于直线上的四个点变成绿色，而其他点都是红色.
【答案】4
【分析】先确定点的颜色，再根据题意分步求解即得结果.
【详解】由题意可知，需要使，，，变成绿色，其他点都是红色，
第一步：变成绿色，则，也变成绿色；
第二步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；
第三步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；
第四步：变成绿色，则，变成红色.
故答案为：4.
21．对正方体的6个面进行涂色，有5种不同的颜色可供选择.要求每个面只涂一种颜色，且有公共棱的两个面不同色，则总的涂色方法个数为 （填写数字）
【答案】780
【分析】按上，前，右，后，下，左6个面的顺序涂色，先分前后同色和前后不同色两种情况，再分上下同色和上下不同色两种情况，分别计算即可.
【详解】按上，前，右，后，下，左6个面的顺序涂色，
（1）前后同色时，
①上下同色有种涂色方法，
②上下不同色有种涂色方法；
（2）前后不同色时，
①上下同色有种涂色方法，
②上下不同色有种涂色方法.
总的涂色方法个数为
故答案为；780 .
四、双空题：
22．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图①，圆环分成的等份分别为，，，有种不同的种植方法.

（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 ，，，，有 种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的等份分别为，，，， 有 种不同的种植方法.
【答案】 18 且
【分析】（1）分类讨论不同色与同色两种情况，由分步计数原理得到结果；
（2）由题意知圆环分为等份，对有3种不同的种法，对、、都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证与、3、不同颜色，但不能保证与不同颜色．在这种情况下要分类，一类是与不同色的种法，另一类是与同色的种法，根据分类计数原理得到结果．
【详解】（1）如图②，当不同色时，有(种)种植方法，
当同色时，有(种)种植方法，
由分类加法计数原理得，共有(种)种植方法；
（2）如图3，圆环分为等份，对有3种不同的种法，对都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证与、3、不同颜色，但不能保证与不同颜色．
于是一类是与不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种．
另一类是与同色的种法，这时可以把与看成一部分，
这样的种法相当于对部分符合要求的种法，记为，共有种种法，
这样就有，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列．
则．
由题意知：，则
，.
故答案为：18，（且．
五、解答题：
23．用6种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？
【答案】600
【分析】根据分步计数原理将问题分成四步，分别求得每一步的选法进行相乘可得结果.
【详解】完成这件事可分四步：
第一步，“英语角”用的粉笔颜色有6种不同的选法；
第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有5种不同的选法；
第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有4种不同的选法；
第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有5种不同的选法.
由分步计数原理知，该板报共有6×5×4×5＝600（种）不同的书写方案.
24．如图所示，用5种不同的颜料给4块图形(A，B，C，D)涂色，要求共边两块颜色互异，求有多少种不同的涂色方案．

【答案】260
【分析】因A，B，C，D 4块图形中，块与块不共边，B块与D块不共边，故可就块与块将其分成A，C同色与不同色两类情况考虑，在每一类中，考虑根据分步乘法计数原理按顺序涂色,最后利用分类加法计数原理即得.
【详解】本题的解法可按照顺序涂色，因块与块不共边，故可分成A，C同色与不同色两类情况.
第一类，A，C颜色相同，则A有5种涂色方法，B有4种涂色方法，D有4种涂色方法，
由分步乘法计数原理知，共有种涂法；
第二类，A，C颜色不同，则A有5种涂色方法，C有4种涂色方法，B有3种涂色方法，D也有3种涂色方法（因B块与D块不共边），
由分步乘法计数原理知，共有种涂法．
根据分类加法计数原理，共有种不同的涂色方案．
25．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.
（1）若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值.
【答案】（1）480；（2）5.
【分析】（1）利用分步乘法计数原理即可求解.
（2）利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成着色这件事，共分为四个步骤，
可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，
再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数.
于是有：（1）为①区域着色时有6种方法，
为②区域着色时有5种方法，
为③区域着色时有4种方法，
为④区域着色时有4种方法，
依据分步乘法计数原理，不同的着色方法为6×5×4×4＝480(种).
（2）由题意知，为①区域着色时有n种方法，
为②区域着色时有(n－1)种方法.
为③区域着色时有(n－2)种方法，
为④区域着色时有(n－3)种方法，
由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3).
∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.
∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去).
∴n＝5.
26．用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，则共有多少种不同的涂色方法？
【答案】260
【分析】利用分类加法计数原理把问题分成1号区域与4号区域同色，1号区域与4号区域不同色两种情况分析，每种情况用分步乘法计数原理求解，即可得出结果.
【详解】解：第一类，1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，
第一步，涂1号区域和4号区域，有5种涂法；
第二步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种涂法；
第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法.
由分步乘法计数原理知，有5×4×4=80种涂法.
第二类，1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，
第一步，涂1号区域，有5种涂法；
第二步，涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；
第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法；
第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法.
由分步乘法计数原理知，有5×4×3×3=180种涂法.
依据分类加法计数原理知，不同涂色的方法种数为80+180=260.1
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