2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中高三（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆乌鲁木齐101中高三（下）月考数学试卷（4月份）（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|x≤a}，B={x|x2−5x<0}，若A∩B=B，则a的取值范围是( )
A. a≥5B. a≥4C. a<5D. a<4
2.若复数z满足方程z=(z+1)i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数z对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1：3：6，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，则n=( )
A. 30B. 40C. 60D. 80
4.已知对任意实数x，有f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，且x<0时，导函数分别满足f′(x)>0，g′(x)<0，则x>0时，成立的是( )
A. f′(x)>0，g′(x)<0B. f′(x)>0，g′(x)>0
C. f′(x)<0，g′(x)<0D. f′(x)<0，g′(x)>0
5.若直线y=kx+1与椭圆x25+y2m=1总有公共点，则m的取值范围是( )
A. m>1B. m≥1或0C. 06.若函数f(x)=x3+x2+ax−1在(−∞,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围( )
A. a≥13B. a≤13C. a>13D. a<13
7.已知cs2α=35，α∈(π2,π)，则sinα=(α是2α的半角)( )
A. 55B. − 55C. 45D. 2 55
8.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若−S2，2S5，S7成等差数列，且a2a5=3a4，则a1=( )
A. 34B. 332C. ±316D. 316
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.经过抛物线y2=8x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则下列结论中正确的是( )
A. OA⋅OB=−10
B. △AOB面积的最小值为8
C. 以焦半径AF为直径的圆与直线x=0相切
D. 1|AF|+1|BF|=14
10.下面命题正确的是( )
A. 不等式x2−(2m−1)x+(m2−m)<0的解集为(m−1,m)
B. 不等式x−mx−(m−1)≤0的解集为[m−1,m]
C. 不等式mx2−mx−1<0在1≤x≤3是恒成立，则实数m的取值范围为(−∞,16)
D. 函数f(x)=x2−mx+4在区间(1,5)内有一个零点，则实数m的范围为(5,295)
11.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.2，则下列结论正确的是( )
A. P(A−)=0.8,P(B−)=0.4
B. 如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.6
C. 如果A与B互斥，那么P(A⋃B)=0.8
D. 如果A与B相互独立，那么P(A−⋅B−)=0.32
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b满足|a|=6,|b|=4，且a与b的夹角为60°，则|a+b|= ______．
13.若一个正n棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为{2,3}，则n的最小值为______．
14.已知函数f(x)=12x2+tanθx+3，(θ≠π2)在区间[− 33,1]上的单调函数，其中θ是直线l的倾斜角，则θ的所有可能取值区间为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC中的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若4b= 5a,A=2B．
(1)求csA；
(2)若b=5，点D为边AB上一点，且AD=7，求△BCD的面积．
16.(本小题15分)
已知正项数列{an}(n∈N+)中，a3=5，前n项和为Sn，且_____.请从下面两个条件中任选一个条件填在题目横线上，再作答．
条件：①an+12−2an+1=an2+2an；②n(an+1)=2Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn=1(an+1)2，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<12．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AC=2，点E在PD上，且PE=2ED．
(1)在棱PC上是否存在一点F，使得BF/​/平面AEC？若存在，求点F的位置，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角D−AC−E的平面角的大小．
18.(本小题17分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，且该抛物线经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(Ⅰ)求过点F且与直线OA垂直的直线的方程；
(Ⅱ)设过点M(m,0)(m>0)的直线交抛物线C于D，E两点，|ME|=2|DM|，求|DE|2+1|OM|的最小值．
19.(本小题17分)
设函数f(x)=x(x2−3x+a)，a∈R．
(1)当a=−9时，求函数f(x)的单调增区间；
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上为减函数，求a的取值范围；
(3)若函数在区间(0,2)内存在两个极值点x1，x2，且|f(x1)−f(x2)|>|f(x1)+f(x2)|，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由x2−5x<0，解得0∴B=(0,5)，
∵A∩B=B，∴a≥5．
则a的取值范围是a≥5．
故选：A．
由x2−5x<0，可得B=(0,5)，再利用集合的运算性质即可得出．
本题考查了集合的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2.【答案】C
【解析】解：z=(z+1)i(i为虚数单位)，∴z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，
∴复数z的共轭复数z=−12−12i对应的点(−12,−12)在第三象限．
故选：C．
z=(z+1)i(i为虚数单位)，可得z=i1−i，利用复数的运算法则化简可得z，z，利用几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义、几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：经调查，某市骑行共享单车的老年人、中年人、青年人的比例为1：3：6，
用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中中年人数为12人，
则123k=nk+3k+6k，
解得n=40．
故选：B．
利用分层抽样的性质直接求解．
本题考查样本容量的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：由题意得：函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
而x<0时，导函数分别满足f′(x)>0，g′(x)<0，
故x<0时，f(x)递增，g(x)递减，
故x>0时，f(x)递增，g(x)递增，
即x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，
故选：B．
根据函数的奇偶性判断函数的单调性即可．
本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，是一道基础题．
5.【答案】D
【解析】解：首先m>0且m≠5，因为直线y=kx+1恒过定点(0,1)，
所以要满足题意，只需(0,1)在椭圆内，
即1m≤1，解得m≥1，
所以m≥1且m≠5即为所求．
故选：D．
根据直线恒过定点(0,1)，要使直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或椭圆内即可，据此列出不等式求解．
本题考查直线的性质以及点与椭圆位置关系的判断，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】f′(x)=3x2+2x+a，因为函数f(x)在R上恒增，故其导函数在R上恒大于等于0，
故Δ=4−12a≤0，解得a≥13，
故选：A．
对函数求导后，令导函数恒大于等于0，解出a的范围即可．
本题主要考查利用导函数研究函数单调性，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：∵α∈(π2,π)，∴sinα>0，
又cs2α=35，
∴sinα= 1−cs2α2= 15= 55．
故选：A．
直接利用半角公式求解即可．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：∵−S2，2S5，S7成等差数列，
∴4S5=S7−S2，
当q=1时，则20a1=7a1−2a1=5a1，解得a1=0，不符合题意；
当q≠1时，4a1(1−q5)1−q=a1(1−q7)1−q−a1(1−q2)1−q，
化简得q7−4q5−q2+4=0，
即(q2−4)(q5−1)=0，
∴q2−4=0，解得q=±2，
又a2a5=3a4，∴a12q5=3a1q3，
解得a1=3q2=34．
故选：A．
根据等比数列的通项公式、求和公式及等差中项计算，分q=1，q≠1两类讨论即可求出．
本题主要考查了等比数列的通项公式，求和公式，等差中项，分类讨论的思想，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：由题意可知：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线为x=−2，
显然直线AB的斜率不为0，且可以不存在，此时直线AB与抛物线必相交，
设直线AB为x=my+2，
联立方程y2=8xx=my+2，消去x得y2−8my−16=0，
则y1+y2=8m，y1y2=−16．
对于选项A：OA⋅OB=x1x2+y1y2=(y1y28)2+y1y2=−12，故A错误；
对于选项B：|AB|=x1+x2+p=my1+2+my2+2+4=m(y1+y2)+8=8(m2+1)，
原点O(0,0)到直线x−my−2=0的距离d=2 m2+1，
所以△AOB面积S△AOB=12d|AB|=12×2 m2+1×8(m2+1)=8 m2+1≥8，
当且仅当m=0时，等号成立，
所以△AOB面积的最小值为8，故B正确；
对于选项C：由题意可知：线段AF的中点M(x1+22,y12)，
则M到y轴的距离为x1+22=12|AF|，
所以以焦半径AF为直径的圆与直线x=0相切，故C正确；
对于选项D：因为1|AF|+1|BF|=1x1+2+1x2+2=1my1+4+1my2+4
=m(y1+y2)+8m2y1y2+4m(y1+y2)+16=8m2+8−16m2+32m2+16=12，
即1|AF|+1|BF|=12，故D错误．
故选：BC．
求抛物线的焦点和准线，设直线AB为x=my+2，联立方程结合韦达定理可得y1+y2=8m，y1y2=−16，进而结合抛物线方程和定义逐项分析判断．
本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断以及不等式的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
解不等式x2−(2m−1)x+(m2−m)<0即可判断选项A；由分式的意义即可判断选项B；分m=0及m≠0讨论，综合即可得到m的范围，进而判断选项C；举反例当m=5时，符合题意，即可判断选项D．
【解答】
解：对于A，不等式x2−(2m−1)x+(m2−m)<0即为(x−m)[x−(m−1)]<0，解得m−1对于B，显然，当x=m−1时，不等式无意义，选项B错误；
对于C，当m=0时，−1<0恒成立；
当m≠0时，当x=1时，不等式为−1<0，显然成立，则只需9m−3m−1<0即可，解得m<16；
综上，实数m的取值范围为(−∞,16)，选项C正确；
对于D，当m=5时，f(x)=x2−5x+4=(x−1)(x−4)满足在区间(1,5)内有一个零点，则选项D错误．
故选：AC．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A，P(A−)=1−P(A)=0.4,P(B−)=1−P(B)=0.8，故A错误；
对于选项B，如果 B⊆A，那么P(A⋃B)=P(A)=0.6，故B正确；
对于选项C，如果A与B互斥，那么 P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，故C正确；
对于选项D，如果A与B相互独立，那么
P(A−⋅B−)=P(A−)P(B−)=(1−P(A))(1−P(B))=0.4×0.8=0.32，故D正确．
故选：BCD．
根据互斥事件和独立事件的概率公式逐个分析判断即可．
本题考查互斥事件和独立事件的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】2 19
【解析】解：因为|a|=6,|b|=4，a与b的夹角为60°，
所以a⋅b=6×4×12=12，
所以(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=|a|2+2a⋅b+|b|2=36+24+16=76，
所以|a+b|= 76=2 19．
故答案为：2 19．
根据数量积的定义、结合向量模的运算求解即可．
本题考查了数量积的定义，重点考查了向量模的运算，属基础题．
13.【答案】6
【解析】解：因为正n棱台的侧棱有n条，底面有2n条棱，
所以正n棱台共有3n条棱，
由3n>15，得n>5，
所以n的最小值为6．
故答案为：6．
根据正棱台的结构，利用棱数列不等式求解即可．
本题考查棱台的结构特征，涉及合情推理的应用，属于基础题．
14.【答案】[3π4,π)∪[π6，π2)
【解析】解：求导，f′(x)=x+tanθ，
f(x)在区间[− 33,1]上是单调函数，
则有f′(x)在[− 33,1]恒大于等于0或恒小于等于0，
若f(x)在区间[− 33,1]上单调减，则f′(x)≤0，
f′(1)=1+tanθ≤0故tanθ≤−1即θ∈[3π4,π)
若f(x)在区间[− 33,1]上单调增，则f′(x)≥0，
f′(− 33)=− 33+tanθ≥0，
所以tanθ≥ 33即θ∈[π6,π2)
综上所述，θ∈[3π4,π)∪[π6，π2)，
故答案为：[3π4,π)∪[π6，π2).
求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x的不等式，结合x的范围，求出θ的范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．
15.【答案】解：(1)∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcsB，
∴由正弦定理得，a=2bcsB，
又∵4b= 5a，
∴csB=a2b=2 55，
∴csA=cs2B=2cs2B−1=35．
(2)∵b=5，a=4 5，
∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA，可得80=25+c2−2⋅5⋅c⋅35，整理可得c2−6c−55=0，解得c=11或c=−5(舍)，
∵AD=7，可得BD=4，
∵csB=2 55，可得sinB= 55，
∴S△BDC=12⋅BD⋅BC⋅sinB=12×4×4 5× 55=8．
【解析】(1)由题意利用二倍角的正弦公式，正弦定理可得a=2bcsB，结合4b= 5a可求csB的值，利用二倍角的余弦公式即可求解csA的值．
(2)由已知利用余弦定理可得c2−6c−55=0，解方程可得c的值，由题意可求AD=7，BD=4，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了二倍角的正弦、余弦公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.【答案】解：(1)选①an+12−2an+1=an2+2an，即有an+12−an2=(an+1−an)(an+1+an)=2(an+1+an)，
由an>0，可得an+1−an=2，可得数列{an}是公差为2的等差数列，由a3=5，可得a1+4=5，即a1=1，
则an=1+2(n−1)=2n−1；
选②n(an+1)=2Sn，可得n=1时，a1+1=2S1=2a1，解得a1=1；
由a3=5，可得3×(5+1)=2(1+a2+5)，解得a2=3，
当n≥2时，由n(an+1)=2Sn，可得(n−1)(an−1+1)=2Sn−1，
上面两式相减可得n(an+1)−(n−1)(an−1+1)=2an，
即有(n−2)an−(n−1)an−1=−1，即ann−1−an−1n−2=1n−1−1n−2，n≥3，
则a32−a21=12−1，a43−a32=13−12，，ann−1−an−1n−2=1n−1−1n−2，
相加可得ann−1−a2=1n−1−1，则an=2n−1，对n=1，2，3都成立，
所以an=2n−1；
(2)证明：bn=1(an+1)2=14n2<14n2−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，
数列{bn}的前n项和为Tn=b1+b2+...+bn=14+14×4+14×9+...+14n2<12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)<12．
【解析】(1)选①，由因式分解和等差数列的定义和通项公式，可得所求；选②，由数列的通项与求和的关系，结合累加法可得所求；
(2)由数列的裂项相消求和和不等式的性质，可得证明．
本题考查等差数列的定义、通项公式和数列的递推式、数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)当F是棱PC的中点时，BF/​/平面AEC，
证明如下：
取PE的中点M，连接FM，BM，BD，记AC与BD交于点O，连接EO，
易得FM//CE，
∵FM⊄平面AEC，CE⊂平面AEC，
∴FM/​/平面AEC，
由PE=2ED，M是PE的中点，知E是MD的中点，
由四边形ABCD是正方形，知O为BD的中点，
所以BM/​/OE，
∵BM⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，
∴BM//平面AEC，
又∵FM∩BM=M，FM，BM⊂平面BFM，
∴平面BFM/​/平面ACE，
∵BF⊂平面BFM，
∴BF/​/平面ACE．

(2)作EG/​/PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，
∴EG⊥AC，
∵EG∩GH=G，EG，GH⊂平面EGH，
∴AC⊥平面EGH，
又EH⊂平面EGH，
∴AC⊥EH，
∴∠EHG是二面角D−AC−E的平面角．
由题意得EG=13PA=23,AD= 2,AG=23AD=2 23,GH= 22AG=23，
在Rt△EGH中，EG=GH，
∴∠EHG=π4，
∴二面角D−AC−E的平面角的大小为π4．
【解析】(1)分别取PC中点F，PE中点M，连接FM，BM，先证明面面平行即平面BFM/​/平面ACE，从而得线面平行BF/​/平面ACE．
(2)作EG/​/PA交AD于G，作GH⊥AC于H，连接EH，然后由线面垂直证明线线垂直即AC⊥EH，从而得∠EHG即为所求二面角，再结合几何知识从而可求解．
本题考查空间线面位置关系以及二面角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知抛物线开心向右，
设抛物线方程为y2=2px(p>0)，把A(2,2)代入抛物线方程可得：4=4p，
即p=1，于是F(12,0)．
又直线OA的斜率为1，故而所求直线斜率为−1，
∴所求直线方程为x+y−12=0．
(Ⅱ)设点D和E的坐标为(x1,y1)和(x2,y2)，直线DE的方程是y=k(x−m)，k≠0．
将x=yk+m代入y2=2x，有ky2−2y−2km=0，解得y1=1− 1+2mk2k，y2=1+ 1+2mk2k．
由|ME|=2|DM|得：1+ 1+2mk2=2( 1+2mk2−1)，化简得k2=4m．
∴|DE|2=(1+1k2)[(y1+y2)2−4y1y2]=(1+1k2)4(1+2mk2)k2=94(m2+4m)．
∴|DE|2+1|OM|=|DE|2+1m=94m+1m+9≥2 94m⋅1m+9=12，当且仅当m=23时取等号，
∴|DE|2+1|OM|的最小值为12．
【解析】(I)判断抛物线开口得出焦点坐标，再求出直线方程；
(II)设直线DE的斜率为k，联立方程组得出k与m的关系，根据弦长公式和基本不等式可得结论．
本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=−9时，f(x)=x(x2−3x−9)，则f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，
由f′(x)>0得x<−1或x>3，
∴函数f(x)的单调增区间是(−∞,−1)，(3,+∞)；
(2)函数f(x)=x(x2−3x+a)，则f′(x)=3x2−6x+a，
∵函数f(x)在区间(1,2)上为减函数，
∴∀x∈(1,2)，f′(x)≤0成立，即∀x∈(1,2)，3x2−6x+a≤0⇔a≤−3x2+6x，
又−3x2+6x在(1,2)上单调递减，即∀x∈(1,2)，−3x2+6x>0，
∴a≤0，
∴a的取值范围是(−∞,0]；
(3)由(2)得f′(x)=3x2−6x+a，
函数f(x)在区间(0,2)内存在两个极值点x1，x2，则f′(x)=0在区间(0,2)内有两个不等根x1，x2，
即f′(0)=f′(2)=a>0f′(1)=−3+a<0，解得0不妨令0当00，当x1则f(x)在x1处取得极大值f(x1)，在x2取得极小值f(x2)，显然，f(x1)>f(x2)，
由|f(x1)−f(x2)|>|f(x1)+f(x2)|两边平方得f(x1)⋅f(x2)<0，
则f(x1)⋅f(x2)=x1(x12−3x1+a)⋅x2(x22−3x2+a)<0，即(x12−3x1+a)(x22−3x2+a)<0，
整理得(x1x2)2−3x1x2(x1+x2)+a[(x1+x2)2−2x1x2]+9x1x2−3a(x1+x2)+a2<0②，
联立①②得49a2−a<0，解得0综上所述，0∴实数a的取值范围是(0,94).
【解析】(1)由题意得f(x)=x(x2−3x−9)，则f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)，再求出导函数大于0的不等式解集，即可得出答案；
(2)题意转化为∀x∈(1,2)，f′(x)≤0成立，利用分离变量法可得a≤−3x2+6x在(1,2)上恒成立，
由函数f(x)的导函数在(1,2)上恒小于等于0即可出a的范围；
(3)根据给定条件可得函数f(x)在区间(0,2)内的两个极值一正一负，再列出不等式求解，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．