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    新疆乌鲁木齐市2023_2024学年高三数学上学期1月月考题含解析
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    新疆乌鲁木齐市2023_2024学年高三数学上学期1月月考题含解析

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    这是一份新疆乌鲁木齐市2023_2024学年高三数学上学期1月月考题含解析,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 已知集合
    A. B. C. D.
    2. 若虚数单位,复数满足,则( )
    A. B. C. D.
    3. 已知向量,,,则()
    A. B. C. D.
    4. 下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是( )
    A. B. C. D.
    5. 已知c是椭圆)的半焦距,则取最大值时椭圆的离心率是()
    A. B. C. D.
    6. 已知,若,则()
    A. 或B. C. D.
    7. 角A是内角,则“”是“,且”的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    8. 在中,已知,则()
    A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
    二、选择题:本题共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得五分,部分选对的得两分,有选错的得零分.
    9. 下列命题中正确的是()
    A. 已知一组数据7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的中位数为8
    B. 若随机变量服从正态分布,,则
    C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线方程为,若样本中心点为,则
    D. 若随机变量,且,则
    10. (多选题)已知,则a,b满足下列关系的是( )
    A. B. C. D.
    11. 已知函数,则()
    A. 函数有两个极值点
    B. 函数有三个零点
    C. 若,则是偶函数
    D. 点是函数的对称中心
    12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为,底边长为2的等腰三角形,则该四棱锥的高为()
    A. B. C. D.
    三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
    13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复3个数字组成一个三位数,则组成的三位数是奇数的概率是________.(用分数表示)
    14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是,那么这个正三棱台的体积等于___________.
    15. 已知关于方程在区间上有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为___________.
    16. 已知双曲线左、右焦点分别为,,过的直线与C的右支交于A,B两点,若,,则C的离心率为______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效.
    17. 它们的终边分别与单位圆相交于
    (1)求;
    (2)求的值.
    18. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DFPD.
    (1)求证:PB∥平面AEF;
    (2)若,求三棱锥E﹣PAD的体积.
    19. 已知函数.
    (1)当时,求函数的单调增区间;
    (2)若不等式对于任意成立,求正实数的取值范围.
    20. 已知公差的等差数列,是的前项和,,是和的等比中项.
    (1)求的通项公式;
    (2)设数列满足,且的前项和为,求证.
    21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季),每亩的种植成本为5000元,由于受天气和市场供求关系的影响,此水果的亩产量和销售价格均具有随机性,且互不影响.根据近几年的数据得知,每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6,市场销售价格(单位:元/kg)与其概率的关系满足.
    (1)设表示此果农某季所获得的利润,求的分布列和数学期望;
    (2)求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
    22. 已知函数.
    (1)若,求函数的单调减区间;
    (2)若,正实数,满足,证明:.乌鲁木齐市第六十八中学高三1月月考
    数学试题
    总分150分考试时间120分钟
    一、选择题:本题共8小题,每题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1. 已知集合
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】联立中的方程组成方程组,求出解即可确定出两集合的交集
    【详解】联立集合可得:,解得或

    故选
    【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.
    2. 若是虚数单位,复数满足,则( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】先化简复数,再代入,由复数的模长公式即可求出答案.
    【详解】由已知,,
    .
    故选:B.
    3. 已知向量,,,则()
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.
    【详解】对于A,,不平行,A错误;
    对于B,,,,B正确;
    对于C,,C错误;
    对于D,,D错误.
    故选:B.
    4. 下列函数中,既是奇函数,又是增函数的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性与单调性,即可得答案.
    【详解】解:根据题意,依次分析选项:
    对于A,,为幂函数,既是奇函数,又是增函数,符合题意;
    对于B,,为一次函数,不是奇函数,不符合题意;
    对于C,,为偶函数,不符合题意;
    对于D,,为对数函数,不是奇函数,不符合题意;
    故选A.
    【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断,关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性,属于基础题.
    5. 已知c是椭圆)的半焦距,则取最大值时椭圆的离心率是()
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理,得到,看成以为变量的函数的最值问题,可利用换元法求解.
    【详解】,
    因为∴.
    设,则
    ∴当,即时,取最大值,此时离心率.
    故选:C
    6. 已知,若,则()
    A. 或B. C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】由正弦的二倍角公式得,再根据同角三角函数的关系可得,令,建立方程解之可得选项.
    【详解】由,可得,
    所以,
    令,所以,
    即,解得或又,所以,所以,
    当时,,符合题意;
    当时,,不符合题意,所以,
    故选:B.
    【点睛】易错点睛:本题考查三角函数给值求值问题,注意根据需角的范围取值.
    7. 角A是的内角,则“”是“,且”的()
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】C
    【解析】
    【分析】利用三角函数的性质分析即可.
    【详解】因为角是的内角,所以,
    当,根据三角函数的性质可得,,,
    所以由“”能推出“,且”,
    当,,可得,此时也成立,
    所以由“,且”能推出“”.
    故选:C.
    8. 在中,已知,则()
    A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
    【答案】D
    【解析】
    【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦,再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到,再利用正弦定理将角化边,结合余弦定理计算可得;
    【详解】解:由得
    所以,
    故,
    即,即,
    故.
    故选:D.
    二、选择题:本题共4小题,每题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得五分,部分选对的得两分,有选错的得零分.
    9. 下列命题中正确的是()
    A. 已知一组数据7,7,8,9,5,6,8,8,则这组数据的中位数为8
    B. 若随机变量服从正态分布,,则
    C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关,由最小二乘法求得其回归直线方程为,若样本中心点为,则
    D. 若随机变量,且,则
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】将A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数,从而可判断A的正误,利用正态分布的对称性可判断B的正误,根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误,根据公式可求二项分布的期望和方差,从而可判断D的正误.
    【详解】对于选项A,5,6,7,7,8,8,8,9中位数为7.5,所以A不正确;
    对于选项B,因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于对称,
    所以,所以B正确;
    对于选项C,因为回归直线一定经过样本中心点,所以,
    即,所以C正确;
    对于选项D,因为,且,所以,即,
    所以,所以D不正确.
    故选:BC.
    10. (多选题)已知,则a,b满足下列关系的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】
    由已知可得,,有,依据基本不等式即可知,进而可知、、的范围.
    【详解】由题意知:,,
    ∴,即,
    ∵,
    ∴,


    故选:ABD
    【点睛】本题考查了对数的运算,结合基本不等式求代数的范围,属于中档题.
    11. 已知函数,则()
    A. 函数有两个极值点
    B. 函数有三个零点
    C. 若,则是偶函数
    D. 点是函数的对称中心
    【答案】ABC
    【解析】
    【分析】A选项:求导,分析单调性,即可得到极值点的情况;
    B选项:根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况;
    C选项:根据奇偶性的定义判断即可;
    D选项:根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.
    【详解】A选项:,当或时,,当时,,所以在,上单调递增,上单调递减,所以有两个极值点,故A正确;
    B选项:结合A中函数单调性,又,,所以上存在一个零点,,所以上存在一个零点,,所以上存在一个零点,所以函数有三个零点,故B正确;
    C选项:,定义域为R,关于原点对称,且,所以为偶函数,故C正确;
    D选项:,所以关于对称,根据的单调性可知,只有一个对称中心,的图象向左平移一个单位得到的图象,所以的对称中心是,故D错.
    故选:ABC.
    12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为,底边长为2的等腰三角形,则该四棱锥的高为()
    A. B. C. D.
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】满足要求的四棱锥有三种情形,对三种情况进行讨论求出结果.
    【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.
    (1)
    如图,四条侧棱长均为,则四棱锥为正四棱锥,连接交于点,连接,
    则平面,是四棱锥的高,
    则,,
    所以,
    四棱锥的高为;
    (2)
    如图,有两条侧棱长为,
    作平面,记,,是四棱锥的高,
    于是,,
    且.
    解得,.
    四棱锥的高为;
    (3)
    如图,三条侧棱(、、)长为,一条侧棱,
    ,,
    设与交于点.记.
    由等腰三角形三线合一可得:,
    平面,平面,,
    则平面,
    因为平面,所以平面平面,
    过O作,因为平面平面,
    所以平面,是四棱锥的高,
    则有,,.
    因为,
    于是,.
    将前面的结果代入上式,
    解得或.
    显然,故.

    在中,
    由余弦定理得,


    四棱锥的高为.
    故选:ACD.
    三、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
    13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数,则组成的三位数是奇数的概率是________.(用分数表示)
    【答案】##
    【解析】
    【分析】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数,这是排列问题,三位数是奇数,只要个位上的数字是1或3即可,这样可以求出有多少个三位数,最后根据古典概型的概率计算公式求解即可.
    【详解】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数,
    共可组成个三位数,组在三位数是奇数的共有,因此组成的三位数是奇数的概率是.
    故答案为:
    14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是,那么这个正三棱台的体积等于___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】先由面得到,再分别在与求得与,顺便求得两者面积,从而在中可求得,即三棱台的高,由此利用三棱台的体积公式即可求得结果.
    【详解】记分别是的中心,过作,如图,
    则由正三棱台的结构特征可知面,所以面,
    所以为侧棱与底面所成角的平面角,故,
    在中,由正弦定理得,即,,
    在中,,即,,
    所以在中,,即该三棱台的高为,
    所以该三棱台的体积为.
    故答案为:.
    .
    15. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根,则实数的取值范围为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】观察方程结构特征,将它进行变形为,然后构造函数,确定函数的单调性,从而将问题转化为当时,有两个不相等的实数根,利用根的分布列出不等式组,求解即可得到答案.
    【详解】解:因方程,
    所以变形为,
    令,
    则有,
    因为在上单调递增,
    所以即为,
    故当时,有两个不相等的实数根,
    在中,则有,即,
    解得,
    所以实数的取值范围为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系,涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题,解题的关键是将已知的方程变形为,进而构造函数分析,对于学生的思维能力有较高的要求.
    16. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,过的直线与C的右支交于A,B两点,若,,则C的离心率为______.
    【答案】##
    【解析】
    【分析】设的中点为,连接,,由题意可得,,由双曲线的定义可得,,,,,,在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值,即可求出的关系,从而可得双曲线C的离心率.
    【详解】解:如图:设的中点为,连接,,
    因为,所以,
    因为为的中点,所以,
    由,得,
    所以,
    在中,,
    因为,所以,
    在中,,
    因为,
    所以,即,
    整理可得,即,
    所以,
    所以或(舍),
    所以离心率,
    故答案为:.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效.
    17. 它们的终边分别与单位圆相交于
    (1)求;
    (2)求的值.
    【答案】(1);(2).
    【解析】
    【分析】(1)根据三角函数的定义,求,,再利用两角和的正切公式求,结合的范围求,(2)根据同角关系求,,再根据二倍角公式求,,结合(1)由两角和的正弦公式求.
    【详解】由可得:
    (1)
    由得
    (2)由(1)得


    18. 如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,E为CD的中点连接AE交BD于G,点F在侧棱PD上,且DFPD.
    (1)求证:PB∥平面AEF;
    (2)若,求三棱锥E﹣PAD的体积.
    【答案】(1)证明见解析(2)
    【解析】
    【分析】(1)以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法证明平面;
    (2)求出,,由,求出,三棱锥的体积,由此能求出结果.
    【详解】(1)证明:四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,与交于点,平面,
    为的中点连接交于,点在侧棱上,且,
    以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
    设,则,,,,,,,
    ,,,
    设平面的法向量,
    则,取,得,
    ,平面,
    平面;
    (2)解:,,
    ,,
    由,解得,,
    三棱锥的体积:

    【点睛】本题主要考查线面平行的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
    19. 已知函数.
    (1)当时,求函数的单调增区间;
    (2)若不等式对于任意成立,求正实数的取值范围.
    【答案】(1)见解析;(2).
    【解析】
    【分析】(1),对a分类讨论以确定函数的单调增区间;(2)不等式对任意成立等价于对任意,有成立.设,,则只要即可.
    【详解】(1)由题意得,函数的定义域为.
    .
    若,则当或时,,此时单调递增,当时,,此时单调递减.若,则当时,,此时单调递减;当时,即,此时单调递增.
    综上所述,当时,函数在上单调递增,在上单调递减;当时,函数在上单调递减,在和上单调递增.
    (2)不等式对任意成立等价于对任意,有成立.
    设,,则只要即可.
    .
    令,得;令,得.
    所以函数在是哪个单调递减,在上单调递增.
    所以的最大值为与中的较大者.
    设,
    则,
    所以上单调递增,所以,所以.
    从而.所以,即.
    设,则,
    所以在上单调递增.
    又,所以的解为.
    因为,所以正实数的取值范围为.
    【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
    20. 已知公差的等差数列,是的前项和,,是和的等比中项.
    (1)求的通项公式;
    (2)设数列满足,且的前项和为,求证.
    【答案】(1);(2)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)根据题意列出关于和的方程组,解出和即可求得通项公式;
    (2)化简可得,由裂项相消法可求出,进而求证.
    【详解】(1)是和的等比中项,
    ,即,
    ,,
    则可解得,,
    ∴;
    (2),

    ,.
    【点睛】方法点睛:数列求和的常用方法:
    (1)对于等差等比数列,利用公式法可直接求解;
    (2)对于结构,其中是等差数列,是等比数列,用错位相减法求和;
    (3)对于结构,利用分组求和法;
    (4)对于结构,其中是等差数列,公差为,则,利用裂项相消法求和.
    21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季),每亩的种植成本为5000元,由于受天气和市场供求关系的影响,此水果的亩产量和销售价格均具有随机性,且互不影响.根据近几年的数据得知,每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6,市场销售价格(单位:元/kg)与其概率的关系满足.
    (1)设表示此果农某季所获得的利润,求的分布列和数学期望;
    (2)求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
    【答案】(1)答案见解析;(2)0.2592.
    【解析】
    【分析】(1)根据题意先求出利润的所有可能取值,再求出对应的概率,列出分布列,得出期望.
    (2)由(1)得出第年利润高于100万元的概率,从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
    【详解】解:(1)设事件“此水果的亩产量为”,事件“此水果的市场销售价格为”.
    由题知,,
    因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以的所有可能取值为
    .
    .
    .
    .
    ∴,


    .
    所以的分布列为
    ∴.
    (2)设事件“第年利润高于100万元”()
    由题知,,,,,,相互独立,由(1)知,
    5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为
    所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592.
    22. 已知函数.
    (1)若,求函数的单调减区间;
    (2)若,正实数,满足,证明:.
    【答案】(1)单调递减区间为;
    (2)证明见解析.
    【解析】
    【分析】(1)由,求出的值,从而得出的解析式,得出定义域并进行求导,利用导数研究函数的单调性,即可得出的单调减区间;
    (2)当时,,则,令,利用导数研究函数的单调性和最值,从而得出,进而可得,解不等式即可得出证明.
    【小问1详解】
    解:因为,所以,解得:,
    所以,的定义域为,

    令,得,
    所以的单调递减区间为.
    【小问2详解】
    证明:当时,,
    所以

    令,则,
    所以时,,单调递增,
    时,,单调递减,
    所以,
    所以,
    即,
    因为,是正实数,所以.
    【点睛】思路点睛:解决单调区间问题及不等式问题注意两个转化:
    (1)利用导数解决此类单调区间问题,应该首先确定函数的定义域,否则,写出的单调区间易出错;
    (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理,一般需要通过构造新函数解决导数问题.
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