安徽省安庆市外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题 (共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 在下列数0、、、、（每两个1之间依次增加一个0）、、，无理数的个数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：0，是整数，不是无理数；
，，，是小数或分数，不是无理数；
，（每两个1之间依次增加一个0），是无理数，
故无理数一共有3个，
故选：C．
2. 生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000021毫米，数据0.0000021用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
【详解】解：，
故选：A．
3. 若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去同一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以同一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【详解】解：A、由，可得，原式不一定成立，不符合题意；
B、由，可得，进而可得，原式一定不成立，不符合题意；
C、由，可得，原式不一定成立，不符合题意；
D、由，可得，原式一定成立，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
5. 关于x的方程解为正数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解方程得，由解为正数知，解之即可得出答案．
【详解】解：解方程得：，
由题意知，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次方程以及根据方程的解的情况求参数，根据题意表示出，然后根据解为正数得出一元一次不等式是解本题的关键．
6. 若a，b，c为实数， 且 ，则 （ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，先根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0求出a、b、c的值，再代值计算即可．
【详解】解；∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
7. 最接近的正整数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算出的取值范围是解题关键．直接得出，进而得出最接近的整数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴与无理数最接近的整数是5，
∴与无理数最接近的整数是4．
故选：B．
8. 若与的乘积中不含x的一次项， 则m的值为（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可．
【详解】解：
，
∵与的乘积中不含x的一次项，
∴，
∴，
故选：D．
9. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为当时，的值为

A. 2aB. 2bC. D.
【答案】B
【解析】
【详解】【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】，
，
，
，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，整式的混合运算，“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.
10. 按图中程序计算，规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
根据运行程序，第一次运算结果小于14，第二次运算结果大于等于14列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
，
故选：A．
二、填空题 (共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 计算： __________________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据负指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查负指数幂的运算法则，掌握负指数幂运算法则是解题的关键．
12. 如果一个数的平方根是和，则这个数为________．
【答案】49
【解析】
【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数，先求出a的值，再求出这个数的平方．
【详解】解：因为一个非负数的平方根互为相反数，
所以a+3+2a-15=0
解得a=4
所以a+3=7
72=49．
即这个数是49．
故答案为49．
【点睛】本题考查了平方根的意义，根据正数的平方根互为相反数列出方程，是解决本题的关键．
13. _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查积的乘方逆运算，利用积的乘方和同底数幂的乘方运算法则计算即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
14. 若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
所有整数解的和为，
①整数解为：、、、，
，
解得：，
为整数，
．
②整数解为：，，，、、、，
，
解得：，
为整数，
．
综上，整数值为或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键．
三、解答题(第15-18， 每题8分， 第19-20题， 每题10分， 第21-22题， 每题12分， 第23题， 14分，共9题， 满分90分)
15. 计算．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，解题的关键是先化简再去计算．根据零指数幂、平方根、立方根进行化简以后再计算即可．
【详解】解：
．
16. 解不等式组 ， 并把它的解集在数轴表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
数轴表示如下所示：
17. 先化简， 再求值∶，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】此题主要考查整式的运算，解题的关键是熟知整式的运算法则，根据整式的运算法则进行化简，再进行求值即可．
【详解】解：
．
当时，
原式．
18. 已知的算术平方根是2，的立方根是 3， 求 的平方根．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握平方根，立方根和算术平方根定义是解题关键．根据算术平方根的平方等于被开方数，立方根的立方等于被开方数即可求出x，y，就可求出答案．
【详解】解：∵的算数平方根是2，
∴，
∴，
∵的立方根是3，
∴，
把x的值代入解得：，
∴，
∴的平方根为．
19. 已知关于的方程组的解满足，则的取值范围.
【答案】a>−1
【解析】
【详解】试题分析：方程组两方程相加，变形后表示出x+y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．
试题解析：，
①+②得：4(x+y)=2+2a，即x+y=，
代入x+y>0得：>0，
解得：a>−1.
20. (1)已知m＋4n-3=0，求2m16n的值．
(2)已知n为正整数，且x2n＝4，求(x3n)2－2(x2)2n的值．
【答案】（1）8；（2）32
【解析】
【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；
（2）原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）∵m＋4n-3=0，
∴m＋4n=3，
2m16n====8；
（2）原式== =64﹣2×16=64﹣32=32．
【点睛】本题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
21. 设．
（1） ；
（2），
求 ；
（3）求的值．(用含n的代数式表示，其中n为正整数)
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了数字算式的变化规律．关键是观察几个结果的结果，由特殊到一般，得出规律．
（1）观察题中的几个计算结果，得出一般规律．
（2）观察第一步的几个计算结果，得出一般规律．
（3）根据（2）中的规律解答即可；
【小问1详解】
解：∵，
∴．
【小问2详解】
∵
∴．
【小问3详解】
结合（2）可得：
．
22. 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“慧泉数”．将一个“慧泉数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与的商记为．
例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数，新两位数与原两位数和为，和与的商为，所以．
根据以上定义，回答下列问题：
（1）填空：下列两位数：，，中，“慧泉数”为________；
（2）计算：
①；②；
（3）如果一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，另一个“慧泉数”的十位数字是，个位数字是，且满足，求．
【答案】（1）51 （2）①；②
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据“慧泉数”定义分析即可；
（2）根据的定义求解即可；
（3）根据（2）中②的结论可写出与的表达式，代入解不等式，结合“慧泉数”个位数字与十位数字的特点可得的值．
【小问1详解】
解：的个位数字与十位数字不同，且都不为，为“慧泉数”．
【小问2详解】
解：，．
【小问3详解】
解：，均为慧泉数，
，解得或或．
由，得的值等于的个位数字与十位数字之和，
，，
，
，解得．
或．
【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式，充分理解新定义的概念是解题的关键．
23. 为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成．开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的．
（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？
（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成．施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？
【答案】（1）长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；（2）千米．
【解析】
【分析】（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，从而可得某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，再根据“路程速度时间”、“开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得；
（2）先求出甲、乙两个工程队每天对其施工的长度，再设甲工程队后期每天施工千米，根据“整个工程提早3天以上（含3天）完成”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】解：（1）设开通后的长益高铁的平均速度为千米/分钟，则某次长益城际列车的平均速度为千米/分钟，
由题意得：，
解得，
则（千米），（千米），
答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米；
（2）由题意得：甲工程队每天对其施工的长度为（千米），
乙工程队每天对其施工的长度（千米），
设甲工程队后期每天施工千米，
则，
解得，
即，
答：甲工程队后期每天至少施工千米．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程和不等式是解题关键．