安徽省安庆市桐城市第二中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如果一个数的平方为，则这个数的立方根是（ ）
A. 2B. -2C. 4D. ±2
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用平方根的定义求出这个数，然后根据立方根的定义即可求解．
【详解】由一个数的平方为，知这个数为±8，
所以±8的立方根为±2，
故选D．
【点睛】此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是同底数幂的除法，同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，掌握幂的运算法则是解本题的关键．
根据同底数幂的除法运算可判断A，根据幂的乘方运算可判断B，根据积的乘方运算可判断C，根据同底数幂的乘法运算可判断D，从而可得答案．
【详解】A． ，计算错误，故此选项不符合题意题意；
B． ，计算正确，故选项符合题意；
C．，计算错误，故此选项不符合题意题意；
D． 计算错误，故此选项不符合题意题意；
故选：B．
3. 下面几个数：，，3.14159，，0，，，，2.121122111222…，其中，无理数的个数有（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解： 是分母，属于有理数；
是无理数；
3.14159是有限小数，是有理数；
是无理数；
0是整数，是有理数；
是分数，是有理数；
是整数，是有理数；
是整数，是有理数；
2.121122111222…无限不循环小数，是无理数，、
∴无理数一共有3个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握有理数和无理数的定义．
4. 已知，下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、不等式两边都加1，可得，故本选项不符合题意；
B、不等式两边都乘以3，可得，故本选项不符合题意；
C、不等式两边都乘以，可得,故本选项不符合题意；
D、，当或时，不能得到，所以，不等式不一定成立，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子)，不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数不等号的方向改变．
5. 若，则括号内应填的代数式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接用多项式除以单项式即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式，正确计算是解题的关键．
6. 纳米时一种极小的长度单位，，已知一种病毒的直径约为，则用科学记数法表示该病毒的直径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定
【详解】解：，
，
故选C．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7. 小明从学校图书馆借到一本有108页的图书，计划在10天之内读完．如果开始2天每天只读8页，那么他以后几天里平均每天至少要读多少页？设以后几天里平均每天要读页，根据题意可列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据前2天读的页数和后面8天读的页数的和要大于等于书的总页数进行求解即可．
【详解】解：设以后几天里平均每天要读页，
由题意得，，
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
8. 关于x的不等式组的解集中仅有和0两个整数解，且，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据不等式组的解集中仅有和0两个整数解，得出的取值范围，再根据，得m的取值范围即可．
【详解】解：解不等式组得，
∵不等式组解集中仅有和0两个整数解，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴m范围是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求出参数的取值范围是解题的关键．
9. 已知，则代数式的值是（ ）
A. 2B. 1C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．
10. 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假设不计超市其他费用，如果超市要想至少获得20%的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高【 】
A. 40%B. 33.4%C. 33.3%D. 30%
【答案】B
【解析】
【详解】设购进这种水果a千克，进价为b元/千克，这种水果的售价在进价的基础上应提高x，则售价为（1+x）b元/千克，根据题意得：购进这批水果用去ab元，但在售出时，大樱桃只剩下（1﹣10%）a千克，售货款为（1﹣10%）a（1+x）b=0.9a（1+x）b元，根据公式：利润率=（售货款－进货款）÷进货款×100%可列出不等式：
，解得x≥．
∵超市要想至少获得20%的利润，∴这种水果的售价在进价的基础上应至少提高33.4%．
故选B．
二、填空题：本题共4小题，共20分．
11. 已知：，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的算术平方根的性质即可解决．
【详解】解：．
故答案：．
【点睛】本题主要考查了积的算术平方根的性质，灵活运用此性质是本题的关键．
12. 若和的积与是同类项，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据同底数幂乘法进行计算，再根据同类项的定义，得出关于、的等式，求解即可得到答案．
【详解】解：，且与是同类项，
，解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同类项的定义，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
13. 已知，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性，可得，再代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：1.
【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值的非负性，求一个数的立方根，熟练掌握算术平方根和绝对值的非负性是解题的关键．
14. 按照如图所示的程序进行运算时，发现输入的恰好经过次运算输出，则输入的的范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，得出不等式．
表示出第一次、第二次、第三次的输出结果，再由第三次输出结果可得出不等式，解出即可．
【详解】解：第一次的结果为：，没有输出，则，
解得：；
第二次的结果为：，没有输出，则，
解得：；
第三次的结果为：，输出，则，
解得：，
综上可得：输入的的范围是：，
故答案为：．
三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算立方根，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减计算即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，包含立方根，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
16. 解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．

【答案】，数轴见解析．
【解析】
【分析】分别求出每个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分，然后在数轴上表示出来即可．
【详解】解不等式①，得：，解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式解集在数轴上表示出来，正确求解不等式的解集是解题的关键．
17. 先化简，再求值：其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘以单项式计算括号内的，然后根据多项式除以单项式进行计算，最后将字母的值代入即可求解．
【详解】解：原式


，
当，时，原式．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握乘法公式与多项式除以单项式是解题的关键．
18. 为了提高同学们互助学习的能力，数学老师准备把班里的同学分成几个学习小组．已知班级学生数为奇数，如果每个小组分5人，那么余4人；如果每个小组分6人，那么最后一个小组有人但分到的人数不足3人，求班里共有多少名学生．
【答案】49名
【解析】
【分析】设准备分成个小组，则班里共有个学生，根据题意列不等式组，求解得到，再根据为正整数和班级学生数为奇数进行讨论，即可得到答案．
【详解】解：设准备分成个小组，则班里共有个学生，
根据题意，得，
解得：，
为正整数，
或,
当时，（名），
当时，名），
班级学生数为奇数，
班里共在49名学生．
【点睛】本题主要考查了不等式组的实际应用，理解题意，正确列不等式组是解题关键．
19. 已知关于，的方程组：
（1）把方程②两边同乘以3，得______③，再把方程①与方程③相加，得______，即______；
（2）若方程组的解满足，试确定满足条件的的正整数值．
【答案】（1），，
（2）1或2
【解析】
【分析】（1）按照解二元一次方程组的步骤求解即可；
（2）先求出方程组的解为，根据得到，解不等式组即可得到答案．
【小问1详解】
解：把方程②两边同乘以3，得③，
∴得，即，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：把代入②得，解得，
∴方程组的解为，
∵，
∴，
解得．
∵为正整数，
∴的正整数值为1或2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出方程组的解是解题的关键．
20. 若关于的多项式与的积为，其中，，，，，是常数，显然也是一个多项式．
（1）中，最高次项为______，常数项为______；
（2）中的三次项由，的和构成，二次项时由，，的和构成．若关于的多项式与的积中，三次项为，二次项为，试确定，的值．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则以及多项式的定义进行计算，即可得到答案；
（2）根据多项式乘以多项式的法则以及多项式的定义进行计算，即可得到答案．
【小问1详解】
解：是项式与的积，
中，最高次项为，常数项为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：多项式与的积中，三次项为，二次项为，
由题意得：，
解得：，
故．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题关键．
21. 某水产市场，需要把海鲜产品运送全国各地，若用5辆甲车和3辆乙车一次性可运送370吨，若用4䢂甲车和7辆乙车一次性可运送480吨．
（1）求每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输多少吨海鲜产品；
（2）为了保证海鲜的鲜活度，及时把产品运送到销售地，该市场负责人计划用20辆甲乙两种车同时运送，若运送的海鲜产品不少于955吨．
①至少需要用几辆甲车？
②已知每辆甲车运送一次费用为3000元，每辆乙车运送一次费用为2000元，且总费用不多于58800元，求哪种方案所需费用最少，最少费用是多少?
【答案】（1）每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输50吨海鲜产品、40吨海鲜产品
（2）甲车16辆时所需费用最少，此时的费用为56000元
【解析】
【分析】（1）设每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输吨、吨，根据题意列二元一次方程组即可求解；
（2）设甲车辆，则乙车辆，根据题意列一元一次不等式，求出a的值，即可求解．
【小问1详解】
解：设每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输吨、吨，
由题意可得，
解得．
答：每辆甲车和每辆乙车一次可以分别运输50吨海鲜产品、40吨海鲜产品；
【小问2详解】
解：①设甲车辆，则乙车辆，
由题意得，
解得，
∴至少需要16辆甲车；
②由题意得，
解得，
又∵，为正整数，
∴，
∵甲车一次费用为3000元，乙车一次费用为2000元，
∴甲车辆数越少，费用越低，
∴甲车16辆时所需费用最少，
∴此时的费用为（元）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程和不等式．
22. 学习了无理数后，老师教了同学们一种估算无理数的近似值的新方法．
例如：估算的近似值．
，
设，显然，
，
，
，
，
，
，
．
故的值在与之间．
问题：
（1）请你依照上面的方法，估算的近似值在______与______之间；
（2）对于任意一个大于1的无理数，若的整数部分为，小数部分为，请用含，的代数式表示的大致范围．
【答案】（1），；
（2）
【解析】
【分析】（1）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案；
（2）仿照题干的方法解决问题，即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
设，显然，
，
，
，
，
，
．
．
的值在与之间，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：根据题意可知，，显然，
，
，
．
，
，
．
【点睛】本题考查了无理数的大小估算，涉及完全平方公式等知识，理解题目中的解题方法是解题关键．
23. 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：________．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，，求的值．
（3）小明同学用图中张A类正方形卡片，张B类正方形卡片，张C类长方形卡片拼出一个面积为的长方形，求的值________
（4）小明同学用图中正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（），如果要选用上述类卡片共张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙），且卡片全部用上，则不同的选取方案有________种．
【答案】（1）
（2）30 （3）12
（4）8
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则，解决本题的关键在于数形结合列出代数式或等式．
（1）根据正方形面积，正方形面积，可得等式；
（2）根据，进行计算即可；
（3）所拼图形的面积为，，先计算，从而可得x，y，z的值，从而可得答案．
（4）设有个A类卡片，个B类卡片，则有个类卡片，则这些正方形和长方形的面积和为：，所拼成的大长方形的面积长宽，即两个括号乘积的形式，且，，都为整数，分类讨论即可．
【小问1详解】
解：由图形可得，正方形面积，正方形面积，
，
故答案为：．
小问2详解】
，
，
，
，
故答案为：．
【小问3详解】
解：由题意得：所拼图形的面积为，
，
，
，，，
，
故答案为：．
【小问4详解】
解：设有个A类卡片，个B类卡片，则有个类卡片，
则这些正方形和长方形的面积和为：，
所拼成的大长方形的面积长宽，即两个括号乘积的形式，且，，都为整数，
当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意，
当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意，
当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意，
当，时，，得不能整理成两个括号乘积的形式，不符合题意，
以此类推，
当，时，，得，符合题意，
再考虑时的情况，
当，时，，得，符合题意，
当，时，，得，符合题意，
再考虑时的情况，
当时，时，，得，符合题意，
再考虑时的情况，
当时，时，，得，符合题意，
当时，时，，得，符合题意，
当时，不符合题意，
当，时，，得，符合题意，
当时，不符合题意，
当，时，，得，符合题意，
当时，都不符合题意，
综上所述，共有种方案，
故答案为：．