2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时考点1直线与双曲线的位置关系

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时考点1直线与双曲线的位置关系，共2页。
[解析] 通解：由题意可得直线的斜率一定存在，
设为k，则直线方程为y＝kx＋1，
代入双曲线方程整理得
(9－k2)x2－2kx－10＝0①
当k＝±3时，方程①有一解，直线与双曲线只有一个公共点；
当k≠±3时，由Δ＝0解得k＝±eq \r(10)，
此时直线与双曲线相切，只有一个公共点，故符合条件的直线有4条，选项C正确．
优解：由图形可知，过点A(0,1)作与双曲线渐近线平行的直线有2条，作与双曲线相切的直线也有两条，则与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条，选项C正确．
[引申1]本例中，若过点A的直线与双曲线有两个交点，则直线斜率的取值范围为 (－eq \r(10)，－3)∪(－3,3)∪(3，eq \r(10)) .
[引申2]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(1,0)”，则符合条件的直线有 3 条．
[引申3]本例中，若将“A(0,1)”改为“A(2,0)”，则符合条件的直线有 2 条．
[引申4]本例中，过点A与双曲线的左支有两个交点的直线斜率的取值范围为 (3，eq \r(10)) .
[解析] 设直线方程为y＝kx＋1，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2－\f(y2,9)＝1))得(9－k2)x2－2kx－10＝0.
由Δ＝4k2＋40(9－k2)＝0，得k＝±eq \r(10)，
即k切＝±eq \r(10).
结合图形可知30，直线与双曲线相交，有两个公共点；
(2)若a≠0且Δ＝0，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
(3)若a≠0且Δ