2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第2课时考点3直线与双曲线的综合问题

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[解析] (1)由题意，得eq \f(c,a)＝eq \r(2)，eq \f(4,a2)＝1，c2＝a2＋b2，
解得a＝b＝2.
所以，双曲线C的方程为y2－x2＝4.
(2)设直线PQ的方程为x－2＝my(m≠0)与双曲线C方程联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝my，,y2－x2＝4，))消元得(1－m2)y2－4my－8＝0，
设P、Q两点的纵坐标为y1，y2，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m2≠0，,Δ＝16m2＋321－m2>0，,y1＋y2＝\f(4m,1－m2)0，))解得10.
所以由kAP＋kBP＝0可得，eq \f(y2－1,x2－2)＋eq \f(y1－1,x1－2)＝0，
即(x1－2)(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0，
即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4(m－1)＝0，
所以2k×eq \f(2m2＋2,2k2－1)＋(m－1－2k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4mk,2k2－1)))－4(m－1)＝0，
化简得8k2＋4k－4＋4m(k＋1)＝0，
即(k＋1)(2k－1＋m)＝0，
所以k＝－1或m＝1－2k，
当m＝1－2k时，直线l：y＝kx＋m＝k(x－2)＋1过点A(2,1)，与题意不符，舍去，故k＝－1.