2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点3双曲线的几何性质

这是一份2025版高考数学一轮总复习考点突破训练题第8章平面解析几何第6讲双曲线第1课时考点3双曲线的几何性质，共5页。试卷主要包含了双曲线C，故选D等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·浙江浙南名校联盟联考)双曲线C：y2－eq \f(x2,3)＝1的焦点坐标为( D )
A．(±2,0) B．(±eq \r(2)，0)
C．(0，±eq \r(2)) D．(0，±2)
[解析] 由题意可知双曲线的焦点在y轴上，c2＝1＋3＝4，故焦点为(0，±2)，故选D.
2．(2023·福建福州一中模拟)已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4)＝1，过E的右顶点A且与一条渐近线平行的直线交y轴于点B，△OAB的面积为2，则E的焦距为( D )
A.eq \r(2) B．2eq \r(2)
C．4 D．4eq \r(2)
[解析] 由题意可得，A(a,0)，且直线AB与双曲线的一条渐近线平行，所以kAB＝eq \f(2,a)，则可得直线AB的方程为y＝eq \f(2,a)(x－a)，令x＝0，可得y＝－2，即B(－2,0)，所以|OA|＝a，|OB|＝2，则S△OAB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)×a×2＝2，解得a＝2，所以c2＝a2＋b2＝4＋4＝8，即c＝2eq \r(2)，则E的焦距2c＝4eq \r(2).故选D.
【变式训练】
(2024·河南名校联考)已知双曲线C：x2－eq \f(y2,m)＝1的离心率为3，则C的虚轴长为 4eq \r(2) .
[解析] 由题意得eq \f(c,a)＝3，则c＝3，b＝eq \r(c2－a2)＝2eq \r(2)，故虚轴长2b＝4eq \r(2).
角度2 双曲线的渐近线
1.(2022·北京)已知双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),3)x，则m＝ －3 .
[解析] 对于双曲线y2＋eq \f(x2,m)＝1，所以m0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在E上，且cs∠F1AF2＝eq \f(3,5)，|AF1|＝2|AF2|，则E的渐近线方程为( C )
A．y＝±eq \f(5,8)x B．y＝±eq \f(8,5)x
C．y＝±eq \f(2\r(10),5)x D．y＝±eq \f(\r(10),4)x
[解析] 由双曲线的定义可得：|AF1|－|AF2|＝2|AF2|－|AF2|＝|AF2|＝2a，则|AF1|＝2|AF2|＝4a，在△AF1F2中由余弦定理得|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cs∠F1AF2，即4c2＝16a2＋4a2－2·4a·2a·eq \f(3,5)，即c2＝eq \f(13,5)a2⇒a2＋b2＝eq \f(13,5)a2⇒eq \f(b,a)＝eq \f(2\r(10),5)，E的渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(10),5)x，故选C.
名师点拨：求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0，即得两渐近线方程eq \f(x,a)±eq \f(y,b)＝0.或确定焦点位置并求出eq \f(b,a)或eq \f(a,b)的值，从而写出渐近线方程．
注：如图F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点，l为渐近线；FH⊥l于H，则|FH|＝b，|OH|＝a.
提醒：两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数．两条渐近线关于坐标轴对称．
【变式训练】
(2024·福建泉州质检)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,6)＝1的焦距为4eq \r(3)，则C的渐近线方程是( A )
A．y＝±x B．y＝±eq \r(3)x
C．y＝±eq \f(\r(3),3)x D．y＝±eq \f(\r(7),7)x
[解析] 由已知，可得b2＝6,2c＝4eq \r(3)，所以c＝2eq \r(3)，a2＝c2－b2＝12－6＝6，即C的方程为eq \f(x2,6)－eq \f(y2,6)＝1.所以C的渐近线方程是y＝±x.故选A.
角度3 双曲线的离心率
1.(2023·河北衡水中学模拟)若双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2eq \r(3)，则C的离心率为 eq \f(2\r(3),3) .
[解析] 不妨设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx＋ay＝0，因为圆心到渐近线的距离为d＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，故eq \f(|2b＋0|,\r(a2＋b2))＝1，整理得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,3)，所以双曲线C的离心率为e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \f(2\r(3),3).
2．(2024·湖南名校联合体联考)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，则双曲线C的离心率是 eq \f(\r(3)＋1,2) .
[解析] 因为|F1A|＝|F1F2|，所以|AF1|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义知|AF2|－|AF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋2c.如图，取M为AF2的中点，所以|F2M|＝eq \f(1,2)|AF2|＝a＋c，又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c，所以在直角ΔF1MF2中，|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2，即c2＋(a＋c)2＝(2c)2，得a2－2c2＋2ac＝0，所以1－2e2＋2e＝0，解得e＝eq \f(±\r(3)＋1,2)，因为e>0，所以双曲线C的离心率是eq \f(\r(3)＋1,2).
3．(2024·湖北部分重点中学联考)已知圆C1：x2＋y2＝b2(b>0)与双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若在双曲线C2上存在一点P，使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A、B，且∠APB＝eq \f(π,3)，则双曲线C2的离心率的取值范围是( B )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))
C．(1，eq \r(3)] D．[eq \r(3)，＋∞)
[解析] 连接OA、OB、OP，则OA⊥AP，OB⊥BP，由切线长定理可知，|PA|＝|PB|，又因为|OA|＝|OB|，|OP|＝|OP|，所以，△AOP≌△BOP，所以，∠APO＝∠BPO＝eq \f(1,2)∠APB＝eq \f(π,6)，则|OP|＝2|OA|＝2b，设点P(x，y)，则y2＝eq \f(b2x2,a2)－b2，且|x|≥a，所以|OP|＝2b＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(x2＋\f(b2x2,a2)－b2)＝eq \r(\f(c2x2,a2)－b2)≥eq \r(\f(c2,a2)·a2－b2)＝a，所以eq \f(b,a)≥eq \f(1,2)，故e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)≥eq \r(1＋\f(1,4))＝eq \f(\r(5),2)，故选B.
名师点拨：求双曲线离心率或其范围的方法
1．直接法：由题设条件求出a，c，从而得e.
2．等价转化法：由e＝eq \f(c,a)或e＝eq \r(1＋\f(b2,a2))等公式将已知条件转化为e的等式，从而得e.
3．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．解题时要特别注意几何特点，以简化运算或寻求不等关系．
【变式训练】
1．(2023·广东梅州一模)由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)下支的部分，且此双曲线两条渐近线方向向下的夹角为60°，则该双曲线的离心率为( D )
A.eq \f(\r(3),3) B．eq \r(3)
C．eq \f(\r(3),2) D．eq \f(2\r(3),3)
[解析] 由题意知一条渐近线的倾斜角为60°.∴k＝eq \f(a,b)＝tan 60°＝eq \r(3)，∴e＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)＝eq \f(2\r(3),3).故选D.
2．(2024·广西北海模拟)已知直线y＝x＋1与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A，B两点，且A在第一象限．O为坐标原点，若|OA|＝2|OB|，则双曲线C的离心率为( B )
A.eq \r(5) B．eq \r(10)
C．2 D．5
[解析] 因为|OA|＝2|OB|，所以xA＝－2xB，设B(m，m＋1)，则A(－2m，－2m＋1)，因为kOA＋kOB＝0，所以eq \f(m＋1,m)＋eq \f(－2m＋1,－2m)＝0，解得m＝－eq \f(1,4)，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，所以eq \f(b,a)＝3，则e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(10).故选B.
3．(2024·河南顶尖名校联盟期中)已知双曲线C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，A为C的上顶点，B(0,5a)．若在C的渐近线上存在一点P，使得∠APB＝90°，则C的离心率的取值范围为( D )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(2),4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5))) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(3\r(5),5)))
[解析] 设AB的中点为D，A(0，a)，B(0,5a)，则D(0,3a)，依题意，以D(0,3a)为圆心，半径为2a的圆与渐近线ax－by＝0有公共点，所以eq \f(3ab,\r(a2＋b2))＝eq \f(3ab,c)≤2a,3b≤2c,9b2≤4c2,9c2－9a2≤4c2,5c2≤9a2，eq \f(c2,a2)≤eq \f(9,5)，又e>1，所以1