第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第44讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程（讲）思维导图知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. (2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(3)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.  (2)坐标式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率 k＝.　3．直线方程的五种形式　 名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用 题型归纳题型1    直线的倾斜角与斜率【例1-1】（2019秋•庐江县期末）直线xcosα﹣y﹣4＝0的倾斜角的取值范围是（　　）A．[0，π） B． C． D．【分析】先求出斜率的范围，再根据倾斜角和斜率的关系，求出倾斜角的取值范围．【解答】解：由于直线xcosα﹣y﹣4＝0的斜率为 cosα∈[﹣1，1]，设倾斜角为θ，θ∈[0，π），则tanθ∈[﹣1，1]，∴θ∈[0，]∪[，π），故选：D．【例1-2】（2020春•黄冈期末）已知点A（﹣2，﹣3）和点B（﹣1，0）是平面直角坐标系中的定点，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则实数k的取值范围是（　　）A．[1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，﹣1] D．[，1]【分析】根据题意，分析可得点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，由一元二次不等式的几何意义可得（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得k的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，直线y＝kx+1与线段AB始终相交，则点A、B分别在直线y＝kx+1的两侧或直线上，则有（﹣2k+3+1）（﹣k+1）≤0，解可得：1≤k≤2，即k的取值范围为[1，2]；故选：A．【跟踪训练1-1】（2020春•沙坪坝区校级期末）过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（　　）A．0＜m≤2 B．0＜m＜4 C．2≤m＜4 D．0＜m＜2或2＜m＜4【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB所在直线的斜率，得到关于m的不等式，求解m的范围，再由m＝2时直线的倾斜角为，符合题意，则答案可求．【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是，得直线的斜率存在时，有k＜﹣1或k＞1．又kAB＝，∴或，解得0＜m＜2或2＜m＜4．当直线的斜率不存在时，m＝2．综上，实数m的取值范围是（0，4）．故选：B．【跟踪训练1-2】（2020春•保山期末）已知直线l过点P（1，0）且与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（　　）A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B．[﹣，2] C．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） D．（﹣，2）【分析】先求出PA、PB的斜率，再根据题意求出k的范围．【解答】解：如图，，，由于直线l与线段y＝2（﹣2≤x≤2）有交点，故k≥2，或 k≤﹣，故选：A．【名师指导】数形结合法作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定函数图象法根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可题型2    直线的方程【例2-1】（2019秋•佛山期末）已知直线l经过点P（﹣1，2），且倾斜角为135°，则直线l的方程为（　　）A．x+y﹣3＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y+3＝0【分析】由直线l的倾斜角为135°，所以可求出直线l的斜率，进而根据直线的点斜式方程写出即可．【解答】解：∵直线l的倾斜角为135°，∴斜率＝tan135°＝﹣1，又直线l过点（﹣1，2），∴直线的点斜式为y﹣2＝﹣1（x+1），即x+y﹣1＝0．故选：B．【例2-2】（多选）（2020春•金湖县校级期中）已知直线l过点P（2，4），在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为（　　）A．x﹣y+2＝0 B．x+y﹣6＝0 C．x＝2 D．2x﹣y＝0【分析】分直线l的斜率存在与不存在分类求解得答案．【解答】解：当直线l过原点时，直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+y＝m，则m＝2+4＝6，∴直线方程为x+y﹣6＝0．∴直线l的方程可能为2x﹣y＝0或x+y﹣6＝0．故选：BD．【例2-3】（2020春•镇江期末）已知A（3，2），B（﹣2，3），C（4，5），则△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为（　　）A．x+y+1＝0 B．x+y﹣1＝0 C．x+y﹣5＝0 D．x﹣y﹣5＝0【分析】根据题意，设BC的中点为D，求出D的坐标，进而求出直线AD的斜率，结合直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设BC的中点为D，又由B（﹣2，3），C（4，5），则D的坐标为（1，4），又由A（3，2），则kAD＝1，故△ABC的BC边上的中线所在的直线方程为y﹣2＝﹣（x﹣3），即x+y﹣5＝0；故选：C．【例2-4】（2019秋•上饶期末）过点A（1，2）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（　　）A．x﹣y+1＝0 B．x+y﹣3＝0 C．2x﹣y＝0或x+y﹣3＝0 D．2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0【分析】讨论直线过原点和不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【解答】解：当直线过原点时，可得斜率为k＝＝2，所以直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设方程为+＝1，代入点（1，2）可得﹣＝1，解得a＝﹣1，所以直线方程为x﹣y+1＝0；综上知，所求直线方程为：2x﹣y＝0或x﹣y+1＝0．故选：D．【跟踪训练2-1】（2019秋•拉萨期末）如果直线x﹣4y+b＝0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则b＝　 　．【分析】由题意知，可用斜截式求出直线x﹣4y+b＝0的方程，得到它与两坐标轴的交点坐标，代入三角形的面积公式进行运算．【解答】解：由题意知，直线的方程为 y＝x+（b＞0），它与两坐标轴的焦点为（0，）和（﹣b，0），∴它与两坐标轴围成的三角形的面积为 ••b＝8，解得b＝8．故答案是：8．【跟踪训练2-2】（2019秋•兴庆区校级期末）在y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程是　          　．【分析】与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，由此能求出y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程．【解答】解：与y轴相交成30°角的直线方程的斜率为：k＝tan60°＝，或k＝tan120°＝﹣，∴y轴上的截距为﹣6，且与y轴相交成30°角的直线方程是：y＝x﹣6或y＝﹣﹣6．故答案为：y＝x﹣6或y＝﹣x﹣6．【跟踪训练2-3】（2019春•惠州期末）一条直线经过点，并且它的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则这条直线的方程是（　　）A． B． C． D．【分析】根据题意，分析直线线的斜率，即可得其倾斜角，进而可得所求直线的倾斜角与斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，已知直线的斜率k＝，则其倾斜角为30°，故所求直线的倾斜角为60°，得出其斜率为，由直线的点斜式得y﹣（﹣）＝（x﹣2），即．故选：B．【名师指导】1．求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定系数法①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2．谨防3种失误(1)应用“点斜式”和“斜截式”方程时，要注意讨论斜率是否存在．(2)应用“截距式”方程时要注意讨论直线是否过原点，截距是否为0.(3)应用一般式Ax＋By＋C＝0确定直线的斜率时注意讨论B是否为0. 题型3    直线方程的综合问题【例3-1】（2019秋•城关区校级期末）△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3＝0．（1）求直线AB的方程；（2）求直线BC的方程；（3）求△BDE的面积．【分析】（1）由CD所在直线的方程求出直线AB的斜率，再由点斜式写出AB的直线方程；（2）先求出点B，点C的坐标，再写出BC的直线方程；（3）由点到直线的距离求出E到AB的距离d，以及B到CD的距离BD，计算S△BDE即可．或求出BE，D到BE的距离d，计算S△BDE．【解答】解：（1）∵CD所在直线的方程为x+2y﹣4＝0，∴直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1＝2（x﹣0），即2x﹣y+1＝0；（2）由，得，即直线AB与AC边中线BE的交点为B（，2）；设C（m，n），则由已知条件得，解得，∴C（2，1）；∴所以BC边所在的直线方程为＝，即2x+3y﹣7＝0；（3）∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴E到AB的距离为：d＝；又点B到CD的距离为：BD＝，∴S△BDE＝•d•BD＝．另解：∵E是AC的中点，∴E（1，1），∴BE＝，由，得，∴D（，），∴D到BE的距离为：d＝，∴S△BDE＝•d•BE＝．【跟踪训练3-1】（2020春•新都区期末）已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，1），B（3，﹣3），C（1，7）．（1）求BC边的中线所在直线方程的一般式方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）利用中点坐标公式、两点式即可得出．（2）三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）设BC的中点M的坐标为（x，y），所以x＝＝2，y＝＝2，即点M的坐标为（2，2）．由两点式得：x﹣5y+8＝0．所以BC边的中线所在直线方程的一般式方程为：x﹣5y+8＝0；（2）∵直线BC的方程为：5x+y﹣12＝0．dA﹣BC＝＝，|BC|＝＝2，S△ABC＝|BC|dA﹣BC＝×2×＝26．【名师指导】与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．