湖南省邵阳市隆回县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分；
2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上；
3．请你在答题卡上作答，写在本试题卷上无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直角三角形中两锐角互余可直接求得．
【详解】解：一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是
，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟记直角三角形两锐角互余的性质是解本题的关键．
2. 搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字旁边的图案是中心对称图形的是（ ）
A. 航天神舟B. 中国行星探测
C. 中国火箭D. 中国探月
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
3. 如图，在平行四边形中，，，，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分即可得出答案．
【详解】解：∵平行四边形中，，，
∴，，
∴的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键．
4. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则长是（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，再求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
故选：B．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相平分且相等
B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可判断A，根据正方形的对角线的性质可判断B，根据菱形的判定可判断C，根据矩形的判定可判断D，从而可得答案．
【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，故A不符合题意；
正方形的对角线相等且互相垂直平分，故B符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，菱形，矩形的判定，正方形的性质，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
6. 如图，，以点为圆心，以适当长为半径作弧交于点，交于点；分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点；画射线，在射线上截取线段，则点到的距离为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】过点作于点，由角平分线的定义可得，在中，可得，即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，
由题意得，为的平分线，
，
在中，，，
，
即点到距离为5．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、含角的直角三角形，熟练掌握角平分线的定义以及作图步骤是解答本题的关键．
7. 如图，在四边形中，，为对角线的中点，连接，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，为对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
8. 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理解答即可．
【详解】解：根据勾股定理得出：AB===5，
∴EF=AB=5，
∴阴影部分面积是25，
故选：B．
【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2解答．
9. 如图，平行四边形的对角线、交于点，若，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题的关键．直接利用平行四边形的性质结合勾股定理得出的长，进而得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
，
，
，
．
故选：．
10. 如图，在菱形中，，，点是线段上一动点，点是线段上一动点，则的最小值（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先作点E关于AC的对称点点G，再连接BG，过点B作BH⊥CD于H，运用勾股定理求得BH和GH的长，最后在Rt△BHG中，运用勾股定理求得BG的长，即为PE+PF的最小值．
【详解】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，
连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
∴Rt△BHC中，BH=CH= ，
∴HG=HC-GC=3-2=1，
∴Rt△BHG中，BG= ，
∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF的最小值是．
故选：D．
【点睛】本题以最短距离问题为背景，主要考查了菱形的性质与轴对称的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，一般情况要作点关于某直线的对称点．注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11. 如图，某公园有一块三角形空地，米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，点、分别是、的中点，则栅栏的长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，米，
∴米．
故答案为：．
12. 在中，，则的面积等于___________．
【答案】30
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形，再利用面积公式求解．
【详解】解：，，，即，
为直角三角形，
直角边为，，
根据三角形的面积公式有：
故答案为：30．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，需要学生利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形的和直角三角形的面积公式结合求解．隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
13. 如图，在正五边形中，过点C作于点F，那么的度数为________．
【答案】##18度
【解析】
【分析】根据多边形的外角和及正多边形的性质求得的度数，再利用三角形的内角和即可求得答案．本题考查多边形的外角和，正多边形的性质及三角形的内角和，结合已知条件求得的度数是解题的关键．
【详解】解：五边形是正五边形，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在和中，，，若要用“斜边直角边”直接证明，则还需补充条件：________．

【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的全等判定解答即可．
【详解】解：补充，
在和中
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定定理，熟练掌握的判定方法是解题的关键．
15. 如图，在中，，的角平分线交于点，，则的周长等于________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，再由角平分线的性质得到，进一步证明，得到，再根据三角形周长公式进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
，
，
又∵是的角平分线，，
，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，得到是解决问题的关键．
16. 如图，四边形是菱形，O是两条对角线交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，若菱形的两条对角线长分别为和，求阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．
【详解】解：如图所示：
菱形的两条对角线的长分别为和，
菱形的面积，
是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
，
阴影部分的面积，
故答案为∶．
17. 如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据“”型全等易证，得到，然后利用勾股定理求即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，，且 ，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，是中考常见题型，比较简单．
18. 如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则_______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，连接，根据矩形的性质和勾股定理求出，从而求出，进而表示出，可得即可求解．
【详解】解：连接
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（每小题6分，共12分）
19. 一个多边形的内角和与外角和的和为，它是几边形？
【答案】十一边形
【解析】
【分析】设多边形的边数为，可得：，再解方程可得答案．
【详解】解：设多边形的边数为，由题意得：
解得
这个多边形是十一边形．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和定理与外角和定理的综合应用，熟记公式是解本题的关键．
20. 已知：如图，中，，是高，，．求的长．
【答案】8
【解析】
【分析】由，得到，结合，求得，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半得到，由中，，于是得到，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可得到．本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
．
四、解答题（每小题8分，共16分）
21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．
【答案】（1）见解析 （2）∠BCA=40°．
【解析】
【分析】（1）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论；
（2）利用三角形内角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF；
【小问2详解】
解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°-∠AOE=20°，
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°，
∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC=40°．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO≌△CFO．
22. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使，连接CD和EF．
（1）求证：DE=CF；
（2）求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出，，进而得出DE=FC；
（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长
【详解】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴，，
∵延长BC至点F，使，
∴，；
（2）解：∵，，
∴四边形DEFC平行四边形，
∴DC=EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，
∴．
【点睛】考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
五、解答题（每小题9分，共18分）
23. 如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
【答案】渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险.理由见解析.
【解析】
【详解】解：如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，
∵∠CAD=30°，∠CAB=60°，
∴∠BAD=60°﹣30°=30°，∠ABD=90°﹣60°=30°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴BD=AD=12海里，
∵∠CAD=30°，∠ACD=90°，
∴CD=AD=6海里，
由勾股定理得：AC=≈10.392＞8，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
24. 如图，四边形中，，，，点E为的中点，射线交的延长线于点F，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，，得出内错角相等，证明，可判断且，从而得出四边形为平行四边形，再根据菱形的判定求解即可；
（2）根据菱形的性质得到，根据勾股定理可得，根据线段的和差关系可得，再根据勾股定理可得的长．
【小问1详解】
解： ，
，，
∵点E为的中点，
，
在与中，
，
；
，
又，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
，
在中，，
，
在中，．
∵四边形是菱形，
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形、菱形的判定与性质．关键是利用梯形上下两底的平行关系及中点，证明两个三角形全等．
六、综合题（每小题10分，共20分）
25. 如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点作交于，延长、交于点．
（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）若，，的面积为求的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得到，进而得到，根据，得到，即可得到，问题得证；
（2）根据线段垂直平分线段性质得到，进而得到，即可得到，根据即可证明；
（3）先证明，过点作，垂足为，根据的面积为求出，根据平分，，，即可求出．
【小问1详解】
证明：∵所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
【小问2详解】
证明：∵所在的直线垂直平分线段，
∴，
∴，
∵是一个外角，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
过点作，垂足为，
∵的面积为，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，，，
．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线的性质等知识，熟知相关知识并根据图形特点灵活应用是解题关键．
26. 如图，点E为正方形内一点，，过点B作且使，连接交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）判断四边形的形状，并说明理由；
（3）若，请猜想线段与的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）四边形是正方形，见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意和正方形的性质可得出答案；
（2）由（1）知，得，进而可证四边形为矩形，又即可得到答案；
（3）过点作，根据垂足为，可得，根据正方形可得，进而可证，再通过（1）和（2）的结论可证出解答．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是掌握以上的基本性质．
【小问1详解】
解：
，，
，
∵四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是正方形，理由如下：
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
四边形是正方形．
【小问3详解】
解：．
理由：过点D作，垂足为H．
则，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
．
由（2）知：四边形是正方形，
，
，
由（1）知：，
，
，
．