2023-2024学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年重庆市南开中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈R|x2−ax−a+1<0}，若2∈A，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a>53}B. {a|a<53}C. {a|a<5}D. {a|a<3}
2.已知2x+3y=2(x>0,y>0)，则xy的最小值为( )
A. 2B. 6C. 16D. 12
3.设x∈R，则“sinx=12”是“csx= 32”的条件.( )
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
4.已知点P(cs(π+2),sin(2π−2))，则点P在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.已知函数f(x)=asin2x+cs2x的图像关于(−π8,0)对称，则a的值为( )
A. −1B. 1C. 3D. − 3
6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算 32tan10∘+2sin10∘，并从以下选项中选择该式子正确的值( )
A. 12B. 3C. 2D. 1
7.已知实数a>0，b>0，ab=2，且b+lg2a=52，则以下说法正确的是( )
A. lgb2a>1B. a2b的值为4或8C. 9lgba=3D. a+b的值为92
8.已知5−a=lna，b=lg43+lg917，7b+24b=25c，则以下关于a，b，c的大小关系正确的是( )
A. b>c>aB. a>c>bC. b>a>cD. a>b>c
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若lgab<0，则函数f(x)=ax+b与g(x)=lgb(a−x)在同一坐标系内的大致图像可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=tan(12x+π3)，下列说法正确的是( )
A. 函数的周期为2π
B. (−π3,0)是函数y=f(x)的一个对称中心
C. 2π是函数y=|f(x)|的一个周期
D. 不等式f(x)> 3的解集为(2kπ,π3+2kπ),k∈Z
11.已知定义在R上的函数f(x)的图像关于(1,0)中心对称，则下列说法一定正确的是( )
A. 若f(x)周期为2，则f(x)为奇函数B. f(tanx)为奇函数
C. 若f(x)周期为4，则f(x)为偶函数D. f[1+ln( x2+1+x)]为奇函数
12.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图，则下列说法正确的是( )
A. φ的值为2π3
B. f(x)在[−7π18,−π18]单调递增
C. f(10)D. 若方程f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在(0,4π9)内至少有3个不同的根，则实数a的取值范围是(52,+∞)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.命题p：∀x>0，2x−x+1>0的否定是______.
14.南朝乐府民歌《子夜四时歌》之夏歌曰：“叠扇放床上，企想远风来；轻袖佛华妆，窈窕登高台.”，中国传统折扇有着极其深厚的文化底蕴.如图所示，展开的折扇可看作是从一个扇形，某艺术节展示活动中，小李同学打算利用一条2米长的紫色丝带围成一个扇形展示框，则该展示框的面积最大值为______.
15.若不等式2a−sinx+acsx≥0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是______.
16.已知f(x)=lg12(2sin(ωx+π4)− 3)(ω>0)，若函数f(x)在区间x∈(π6,π3)单调递减，则实数ω的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知指数函数y=(a2−3a+3)ax(a>0,a≠1)的反函数为y=f(x).
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)已知函数g(x)=f(x2+1)，求不等式g(2x+1)18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sin(2x−π6)，g(x)=2sin2x.
(1)设x=x0是函数y=f(x)图像的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)将h(x)=f(x)−g(x)的图像上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，再将得到的图像向右平移2π3个单位，向上平移一个单位，得到函数y=F(x)的图像，求y=F(x)在[0,π]上的值域.
19.(本小题12分)
已知tanα=17，csβ=−45，其中α，β∈(0,π).
(1)求α−β的值；
(2)若sin(θ+α−β)=−14,θ∈(π4,3π4)求cs(2θ+π3)的值.
20.(本小题12分)
长时间的实践表明，冲泡绿茶用90℃开水最为合适，饮用时茶水温度在50℃至60℃之间口感最佳.已知环境温度为T0，物体温度为T1时，经过x分钟后物体温度T满足T=T0+(T1−T0)e−kx，其中k为常数.某实验小组通过数据收集，计算得常数k=18，假设近期室内温度均为10℃.
(1)以90℃开水冲泡绿茶，经过8分钟后茶水温度约为多少？
(2)早上张老师到办公室上班，先用90℃开水泡好一杯绿茶，然后去教室看早自习，再回到办公室准备喝茶，请帮张老师计算一下他泡的茶水能保持最佳口感的时长.
(注意：本题结果都保留两位小数，参考数据e≈2.72，ln2≈0.69，ln5≈1.6)
21.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)=4x−a⋅2x，a∈R.
(1)当a=1时，解关于的x不等式：f(x)≥2；
(2)若函数f(x)的图像与函数y=lg2(a−2x)+x−1的图像恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3cs2ωx−sin(ωx+32π)cs(ωx−π2)− 32(ω>0)，若f(x)的最小正周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)=f2(x)−af(x)+a4在[−π6,π4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1(i)求实数a取值范围；
(ii)若2x1+x2>−π4，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由题意可得2∈A，即22−2a−a+1<0，解得a>53，
即a的取值范围为{a|a>53}.
故选：A.
由题意可得2∈A，即22−2a−a+1<0，解得a的值．
本题考查集合与元素的关系，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题意可得x>0，y>0，
2=2x+3y≥2 2x⋅3y，
由不等式的性质可得xy≥6
当且仅当2x=3y即x=2且y=3时取等号，
故选：B.
由题意和基本不等式可得2=2x+3y≥2 2x⋅3y，由不等式的性质变形可得．
本题考查基本不等式求最值，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：sinx=12，
则csx=± 1−sin2x=± 32，
当csx= 32时，
则sinx=± 1−cs2x=±12，
故“sinx=12”是“csx= 32”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
依次判断充分性，必要性，即可求解．
本题主要考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：P(cs(π+2),sin(2π−2))，即P(−cs2,−sin2)，
−cs2>0，−sin2<0，
故点P在第四象限．
故选：D.
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，以及三角函数值的符号，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为f(x)=asin2x+cs2x的图像关于(−π8,0)对称，
所以− 22a+ 22=0，即a=1.
故选：B.
由已知结合三角函数的对称性即可求解．
本题主要考查了三角函数的对称性的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解： 32tan10∘+2sin10∘= 32sin10∘cs10∘+4sin10∘cs10∘2cs10∘= 3sin(30∘−20∘)+2sin20∘2cs10∘
= 3(12cs20∘− 32sin20∘)+2sin20∘2cs10∘= 32cs20∘+12sin20∘2cs10∘
=sin(20∘+60∘)2cs10∘=sin80∘2cs10∘=cs10∘2cs10∘=12.
故选：A.
利用三角恒等变换化简求值即可．
本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为a>0，b>0，ab=2，
所以lga2=b，
则b+lg2a=52=b+1b，
所以b=2a= 2或b=12a=4，
当a=4，b=12时，lgb2a=lg128=−3<0，A错误；
当a=4，b=12时，a2b=8，
当a= 2，b=2时，a2b=4，B正确；
当a=4，b=12时，lgba=lg124=−2，此时9lgba=181≠3，C错误；
a+b=92或2+ 2，D错误．
故选：B.
由已知结合对数的换底公式及已知等式可求出a，b，然后检验各选项即可判断．
本题主要考查了对数的运算性质及对数换底公式的应用，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：由a+lna−5=0，令f(a)=a+lna−5，则f(a)在定义域内单调性递增，
且f(3)=3+ln3−5=ln3−2<0，f(4)=4+ln4−5=ln4−1>0，
由零点存在性定理可得3b=lg43+lg917=lg32lg2+lg172lg3≥2 lg32lg2⋅lg172lg3= lg17lg2= lg217> lg216=2，
又b=lg43+lg9177b+24b=25c>72+242=625，可得c>2，
7b+24b=25c，7b25b+24b25b=25c25b，
(725)b+(2425)b<(725)2+(2425)2=1，
所以25c25b<1，25c<25b，所以c所以c故选：D.
根据零点存在性定理可求解2本题主要考查对数的运算性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：因为lgab<0，
由函数f(x)=ax+b与g(x)=lgb(a−x)的解析式，可知：
当a>1时，则0A选项中，由f(x)的图象知，b>1，此时g(x)=lgb(a−x)在定义域(−∞,a)上单调递减，所以A不正确；
C选项中，由f(x)的图象知，1>b>0，此时g(x)=lgb(a−x)在定义域(−∞,a)上单调递减增，所以C正确；
当a∈(0,1)时，则b>1，此时f(x)为y=ax向上平移b个单位，且f(x)单调递减，排除A，C；
由B选项可知，f(x)为y=ax向上平移b个单位，符合条件，g(x)=lgb(a−x)在定义域(−∞,a)上单调递减，符合条件，所以B正确；
D选项中，从图象f(x)可知b∈(0,1)的，不符合，所以D不正确．
故选：BC.
由lgab<0，分类可得a>1，01时b∈(0,1)之间，分别对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假；
当a∈(0,1)时，则b>1，分别对各个图象讨论，判断出所给的图象的真假．
本题考查分类讨论的思想及函数的平行移动的性质的应用，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=tan(12x+π3)，
∴T=π12=2π，A正确；
又12×(−π3)+π3=π6≠kπ2(k∈Z)，
∴(−π3,0)不是函数y=f(x)的一个对称中心，B错误；
令g(x)=|tan(12x+π3)|，则g(x+2π)=|tan[12(x+2π)+π3]|=|tan(12x+π3)|=g(x)，
∴2π是函数y=g(x)=|f(x)|的一个周期，C正确；
由f(x)> 3，得tan(12x+π3)> 3，
∴π3+kπ<12x+π3解得2kπ∴不等式f(x)> 3的解集为(2kπ,π3+2kπ),k∈Z.D正确．
故选：ACD.
利用正切函数的周期性、对称性、单调性等性质对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正切函数的周期性、单调性与对称性的应用，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：函数f(x)的图像关于(1,0)中心对称，即f(1+x)+f(1−x)=0，
对于选项A，若f(x)周期为2，则f(1−x)=f(1−x−2)，
而f(1+x)+f(1−x)=0，所以f(1+x)+f(−1−x)=0，
进而可得f(1+x)=−f[−(1+x)]，说明f(x)=−f(−x)，f(x)为奇函数，所以选项A正确；
对于选项B，无法确定f(tanx)的奇偶性，所以选项B不正确；
对于选项C，若f(x)周期为4，则f(x+4)=f(x)，无法说明f(x)为偶函数，选项C不正确；
对于选项D，函数f(1+ln( x2+1+x))，将x用−x替换，
得到：f(1+ln( (−x)2+1−x)=f(1−ln( x2+1+x)),
设g(x)=f(1+ln( x2+1+x))，所以g(−x)+g(x)=f(1−ln( x2+1+x))+f(1+ln( x2+1+x))，
由于f(1+x)+f(1−x)=0，所以g(−x)+g(x)=0，则g(x)=f(1+ln( x2+1+x))是奇函数，选项D正确．
故选：AD.
f(x)的图像关于(1,0)中心对称，即f(1+x)+f(1−x)=0，再根据函数的周期性，奇偶性定义逐项判断．
本题考查抽象函数的性质，属于中档题．
12.【答案】AB
【解析】解：由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像知，f(0)=2sinφ= 3，
解得sinφ= 32，所以φ=2π3，选项A正确；
又因为f(10π9)=2sin(10π9ω+2π3)=0，
所以10π9ω+2π3=4π，解得ω=3，
所以f(x)=2sin(3x+2π3)；
x∈[−7π18,−π18]时，3x+2π3∈[−π2,π2]，f(x)单调递增，选项B正确；
f(10)=2sin(30+2π3)=2sin(30+2π3−10π)>2sin0=0，f(10π9)=0，所以选项C错误；
方程f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在(0,4π9)内至少有3个不同的根，
当a=52时，f(52x)=2sin(152x+2π3)，
由f(ax)=f(x)，得2sin(152x+2π3)=2sin(2x+2π3)，
所以152x+2π3=2x+2π3+2kπ，或152x+2π3+2x+2π3=π+2kπ，k∈Z，
当152x+2π3=2x+2π3+2kπ时，得x=4kπ11，k∈Z，
取k=1时，x=4π11∈(0,4π9)，
此时方程f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在(0,4π9)内有1个实数根，
当152x+2π3+2x+2π3=π+2kπ，k∈Z时，得x=219×(−π3+2kπ)，k∈Z，
取k=1，x=10π57∈(0,4π9)，取k=2，x=22π57∈(0,4π9)，
此时方程f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在(0,4π9)内有2个实数根，
综上，当a=52时，方程f(ax)=f(x)(a>0,且a≠1)在(0,4π9)内有3个实数根，故D错误．
故选：AB.
根据图像可知f(0)=2sinφ= 3，求出φ=2π3，可判断A；根据图像可得2sin(10π9ω+2π3)=0，可确定10π9ω+2π3=4π，即可求出ω=3，从而求出函数解析式，求出函数的单调递增区间，可判断B；根据诱导公式和三角函数的符号可判断C；当a=52时，解方程2sin(152x+2π3)=2sin(2x+2π3)，确定该方程在区(0,4π9)内的解的个数，可判断D.
本题考查三角函数图象和性质，属中档题．
13.【答案】∃x>0，2x−x+1≤0
【解析】解：命题p：∀x>0，2x−x+1>0的否定是：∃x>0，2x−x+1≤0.
故答案为：∃x>0，2x−x+1≤0.
任意改存在，将结论取反，即可求解．
本题主要考查全称命题的否定，属于基础题．
14.【答案】14
【解析】解：设扇形展示框的半径为r，圆心角为α，则扇形的弧长为αr，
所以2r+αr=2，解得α=2−2rr，
所以展示框的面积为S=12αr2=12×2−2rr×r2=r−r2=−(r−12)2+14，
所以r=12时，S取得最大值为14.
故答案为：14.
设扇形展示框的半径为r，圆心角为α，根据扇形的周长求出α与r的关系，写出扇形的面积，计算最大值即可．
本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．
15.【答案】{a|a≥ 33或a≤− 33}
【解析】解：若不等式2a−sinx+acsx≥0对x∈R恒成立，则2a≥sinx−acsx= 1+a2sin(x+θ)对x∈R恒成立，θ为辅助角，
所以2a≥ 1+a2，
解得a≥ 33或a≤− 33.
故答案为：{a|a≥ 33或a≤− 33}.
由已知不等式，结合辅助角公式可得，2a≥sinx−acsx= 1+a2sin(x+θ)对x∈R恒成立，然后结合不等式恒成立与最值关系的转化可去求．
本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，体现了转化思想的应用，属于中档题．
16.【答案】[12,34]
【解析】解：∵f(x)=lg12(2sin(ωx+π4)− 3)(ω>0)，函数f(x)在区间x∈(π6,π3)单调递减，
∴t=2sin(ωx+π4)− 3在区间(π6,π3)上大于零且单调递增，
即在区间(π6,π3)上，函数t单调递增且sin(ωx+π4)> 32.
而此时，ωx+π4∈(ωπ6+π4,ωπ3+π4)，
故有ωπ6+π4≥2kπ+π3，且ωπ3+π4≤2kπ+π2，k∈Z.
求得12k+12≤ω≤6k+34，k∈Z.
令k=0，可得12≤ω≤34，
则实数ω的取值范围是[12,34].
故答案为：[12,34].
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的性质，求出实数ω的取值范围．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、正弦函数的性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)指数函数y=(a2−3a+3)ax(a>0,a≠1)中，
a2−3a+3=1，解得a=1或a=2，所以a=2，函数y=2x；
反函数为y=f(x)=lg2x，x∈(0,+∞)；
(2)函数g(x)=f(x2+1)=lg2(x2+1)，
是定义域R上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增；
所以不等式g(2x+1)即(2x+1)2<(3−x)2，即3x2+10x−8<0，
解得−4【解析】(1)根据指数函数的定义列方程求出a的值，即可写出该函数的反函数；
(2)根据函数g(x)的奇偶性与单调性，把不等式g(2x+1)本题考查了指数函数与对数函数的定义与性质应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)因为x=x0是函数y=f(x)图像的一条对称轴，
所以2x0−π6=kπ+π2，k∈Z，所以2x0=kπ+2π3，k∈Z，
所以g(x0)=2sin2x0=2sin(kπ+2π3)，k∈Z，
当k=2n，n∈Z时，g(x0)=2sin(2nπ+2π3)=2sin2π3= 3，
当k=2n+1，n∈Z时，g(x0)=2sin(2nπ+π+2π3)=2sin(π+2π3)=−2sin2π3=− 3，
所以g(x0)的值为± 3.
(2)h(x)=f(x)−g(x)=2 3sin(2x−π6)−2sin2x
=2 3( 32sin2x−12cs2x)−2sin2x
=sin2x− 3cs2x
=2sin(2x−π3)，
则F(x)=2sin[12(x−2π3)−π3]+1=2sin(12x−2π3)+1，
当x∈[0,π]时，12x−2π3∈[−2π3,−π6]，则sin(12x−2π3)∈[−1,−12]，则2sin(12x−2π3)+1∈[−1,0]，
即y=F(x)在[0,π]上的值域为[−1,0].
【解析】(1)由正弦函数的对称性可得2x0=kπ+2π3，k∈Z，由诱导公式计算即可求解g(x0)的值；
(2)利用三角恒等变换化简函数h(x)，再利用平移变换可得F(x)，结合正弦函数的图像与性质即可求解函数的值域．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图像与性质，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，考查运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)因为tanα=17，csβ=−45，其中α，β∈(0,π)，
所以0<α<π6，π2<β<π，csα=7 210，sinα= 210，sinβ=35，
所以−π<α−β<−π3，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=7 210×(−45)+35× 210=− 22，
所以α−β=−3π4；
(2)若sin(θ+α−β)=−14,θ∈(π4,3π4)，
即sin(θ−3π4)=−14，
所以sinθ+csθ= 24，
两边同时平方，得1+2sinθcsθ=1+sin2θ=18，
所以sin2θ=−78，
所以cs2θ=− 1−sin22θ=− 158，
则cs(2θ+π3)=12cs2θ+ 32sin2θ=12×(−78)+ 32×(− 158)=−7+3 516.
【解析】(1)由已知结合同角基本关系先求出cs(α−β)，进而可求α−β；
(2)由已知结合二倍角公式先求出sin2θ，csθ，然后结合两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意可得T=10+(90−10)e−x8=10+80e−x8，
则经过8分钟后茶水温度为10+80e−1≈39.41(℃)；
(2)由题意设50≤10+80e−x8≤60，
即12≤e−x8≤58，
即−ln2≤−x8≤−ln85，
即8(3ln2−ln5)≤x≤8ln2，
即3.76≤x≤5.52，
又5.52−3.76=1.76，
则泡的茶水能保持最佳口感的时长为1.76分钟．
【解析】(1)由题意可得T=10+80e−x8，然后将x=8代入运算即可；
(2)由题意设50≤10+80e−x8≤60，然后结合对数的运算求解即可．
本题考查了函数解析式的求法，重点考查了对数的运算，属中档题．
21.【答案】解：(1)由4x−2x≥2，得4x−2x−2≥0，(2x−2)(2x+1)≥0，
所以2x−2≥0，解得x≥1，
所以不等式的解集为[1,+∞).
(2)y=lg2(a−2x)+x−1=lg2(a−2x)+lglg22x−1=lg2[12(−4x+a⋅2x)]；
因为函数f(x)的图像与函数y=lg2(a−2x)+x−1的图像恰有两个不同的交点，
所以方程4x−a⋅2x=lg2[12(−4x+a⋅2x)]恰有两个不等实根，
令t=4x−a⋅2x，则t=lg2(−t2)，所以−t2=2t，得t=−1，
所以4x−a⋅2x=−1恰有两个不等实根，即a=4x+12x=2x+12x≥2，
当且仅当2x=12x=1，即x=0等号成立，
所以a>2.
所以实数a的取值范围为(0,+∞).
【解析】(1)把不等式因式分解为(2x−2)(2x+1)≥0，根据指数函数的值域和单调性求解即可；
(2)利用对数恒等式对函数y=lg2(a−2x)+x−1化简为y=lg2[12(−4x+a⋅2x)]，换元，令t=4x−a⋅2x，把方程4x−a⋅2x=lg2[12(−4x+a⋅2x)]转化为t=lg2(−t2)，解此方程求出t，转化为方程t=4x−a⋅2x有2个不等实数根，分离参数，利用基本不等式即可求出结果．
本题考查指数和对数的运算，函数的零点与方程的根，属中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)= 3⋅1+cs2ωx2−(−csωx)sinωx− 32
= 32cs2ωx+12sin2ωx
=sin(2ωx+π3)(ω>0)，
因为f(x)的最小正周期为π，
即2π2ω=π⇒ω=1.
所以f(x)=sin(2x+π3)；
(2)①由(1)知g(x)=sin2(2x+π3)−asin(2x+π3)+a4，
由−π6≤x≤π4，可得0≤2x+π3≤5π6，
令t=sin(2x+π3)，则g(t)=t2−at+a4，0≤t≤1，
∵函数g(x)=f2(x)−af(x)+a4在[−π6,π4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1∴sin2(2x+π3)−asin(2x+π3)+a4=0在区间[−π6,π4]有三个不相等的实数根，
∴关于t的方程t2−at+a4=0在区间[0,12)有一个实根，另一个实根在[12,1)上，
或一个实根为1，另一个实根在[12,1)上，
当一个根在(0,12)，另一个根在(12,1)，
∴g(0)>0g(12)<0g(1)>0，即a4>014−12a+a4<01−a+a4>0，解得1当一个根为0时，即a4=0，∴a=0，此时方程为t2=0，∴t=0，不合题意；
当一个根为12，即14−12a+a4=0，解得a=1，此时方程为t2−t+14=0，解得t=12，不合题意，
当一个根是1，另一个实根在(12,1)，
由1−a+a4=0，得a=43，此时方程为t2−43t+13=0，
解得t=−1或t=13，
这两个根都不属于(12,1)，
综上，实数a的取值范围为(1,43).
②设t1，t2为方程t2−at+a4=0的两个不相等的实数根，
∴t1+t2=at1⋅t2=a4，
由①知，t1∴2x1+π3∈(0,π6)，∴x1∈(−π6,−π12)，
t2=sin(2x2+π3)∈(12,1)，
∴2x2+π3∈(π6,π2)，∴x2∈(−π12,π12)，
∵2x1+x2>−π4，∴2x1>−π4−x2，
∴2x1+π3>−π4−x2+π3=π12−x2，
∵2x1+π3∈(0,π6),π12−x2∈(0,π6)，
∴sin(2x1+π3)>sin(π12−x2)，
∴sin2(2x1+π3)>sin2(π12−x2)=1−cs(π6−2x2)2=1−sin(2x2+π3)2，
∴2t12>1−t2，
∵t1+t2=at1⋅t2=a4，且t1∴2(a− a2−a2)2>1−a+ a2−a2，
整理得(a−1)(8a2−5a−4)>0，
∵a−1>0，∴8a2−5a−4>0，
解得a<5− 15316或a>5+ 15316，
∵1∴实数a的取值范围是(5+ 15316,43).
【解析】(1)利用三角函数恒等变换、二倍角公式求解．
(2)①由(1)知g(x)=sin2(2x+π3)−asin(2x+π3)+a4，由−π6≤x≤π4，可得0≤2x+π3≤5π6，令t=sin(2x+π3)，则g(t)=t2−at+a4，0≤t≤1，推导出关于t的方程t2−at+a4=0在区间[0,12)有一个实根，另一个实根在[12,1)上，或一个实根为1，另一个实根在[12,1)上，由此能求出实数a的取值范围．
②设t1，t2为方程t2−at+a4=0的两个不相等的实数根，利用韦达定理、三角函数性质、二次函数性质能求出实数a的取值范围．
本题考查三角函数恒等变换、二倍角公式、二次函数、复合函数、换元法、同角三角函数间的关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力，是难题．