2023-2024学年重庆市北碚区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年重庆市北碚区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)= 2x−1+ 1−x的定义域为( )
A. {x|x≥12}B. {x|12≤x≤1}C. {x|x≥1}D. {x|122.已知sin(π2−α)=35，那么csα=( )
A. −45B. 45C. −35D. 35
3.命题“∀x∈R，x2+2x+2≥0”的否定是( )
A. ∃x∈R，x2+2x+2>0B. ∃x∈R，x2+2x+2≤0
C. ∃x∈R，x2+2x+2<0D. ∃x∈R，x2+2x+2≥0
4.古希腊数学家泰特托斯(Theaetetus，公元前417−公元前369年)详细地讨论了无理数的理论，他通过图来构造无理数 2, 3, 5，….如图，则cs∠BAD=( )
A. 2 6−3 36
B. 2 3− 66
C. 2 3+ 66
D. 2 6+3 36
5.设a=0.20.4，b=lg30.4，c=lg56，则( )
A. a6.函数y=3|lg3x|−|x−1|的图像大致是( )
A. B. C. D.
7.设函数f(x)=x2+2x,x≥0−x2+2x,x<0，若f(f(a))≥3，则实数a的取值范围是( )
A. [ 2−1,+∞)B. (−∞,− 2−1]C. [−3,1]D. [1,+∞)
8.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x−1)关于(1,0)中心对称，f(x+2)是偶函数，且f(x)在[0,2]上是增函数，则( )
A. f(2)C. f(13)9.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一直角坐标系中的图象不可能为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.下列说法正确的是( )
A. 集合{0,2,1}和{1,0,2}是同一个集合
B. 函数f(x)=1x在定义域内为减函数
C. y= (x−2)2与y=|x−2|是同一个函数
D. 锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角
11.下列化简正确的是( )
A. sin45∘cs45∘=1B. cs2π12−sin2π12= 32
C. 12sin40∘+ 32cs40∘=sin80∘D. tan22.5∘1−tan222.5∘=12
12.下列说法正确的是( )
A. 函数y=tanx+4tanx(−π2B. 关于x的不等式ax2+bx−2<0的解集是(−1,2)，则a+b=0
C. 若正实数a，b满足a+b=2，则1a+1+1b的最小值为43
D. 若函数f(x)=lga(x2+4mx+3)(a>1)在区间(−∞,1)单调递减，则实数m的取值范围是(−∞,−12]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设集合A={x|x≤4}，B={x|y=lg(x−2)}，则A∩B=______.
14.用二分法求图象是连续不断的函数f(x)在x∈(3,5)内零点近似值的过程中得到f(3)<0，f(4)<0，f(5)>0，则函数的零点落在区间______.
15.已知正实数a，b满足2a+b=4，则4a2+b24a2+4ab+b2的最小值是______.
16.若定义在(−1,1)上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，且当x>0时，f(x)<0，则f(0)=______，若α∈(−π4,π4)，则满足不等式f(sin2α)>2f(sinα)的α的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知角θ的终边为射线y=−34x(x≥0).
(1)求sinθ，csθ，tanθ的值；
(2)求sin(2θ+π3)的值.
18.(本小题12分)
化简求值：
(1)(1500)−12−10( 5−2)−1+20×( 6− 3)0+(−32)45；
(2)13(lg32+lg416+6lg12)+13lg15.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2xx2+2.
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)用单调性定义证明f(x)在(−1,1)上单调递减；
(3)若f(x)的定义域为(−1,1)，解不等式f(x2)+f(16−56x)>0.
20.(本小题12分)
某学校在校园美化、改造活动中需要在半径为50m，圆心角为2π3的扇形空地OPQ的内部修建一个矩形观赛场地ABCD.如图所示，M为弧PQ的中点，OM与AB和DC分别交于点E、F，记∠DOM=θ.
(1)求矩形ABCD面积S与θ之间的函数关系S=f(θ)；
(2)当θ取何值时，矩形ABCD的面积最大，并求出这个最大面积.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1，(ω>0,|φ|<π2)，函数f(x)的图象上两相邻对称轴之间的距离为π2，____.请从以下三个条件中任选一个补充至横线上.
①函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π6
②函数f(x)的图象的一个对称中心为点(−π12,1)
③函数f(x)的图象经过点(−π6,0)
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位得到y=g(x)的图象，若对任意的x∈[π6,5π6]，不等式g2(x)−mg(x)+1≤0恒成立，求m的取值范围.
22.(本小题12分)
函数f(x)=|ex−2|(e为自然对数的底数).
(1)若f(x0)=2，求x0；
(2)若关于x的方程f(x)+2f(x)+1+k=0(k∈R)，有三个不相等的实数解x1，x2，x3，(x1答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：f(x)= 2x−1+ 1−x，
则2x−1≥01−x≤0，解得{x|12≤x≤1}.
故选：B.
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
2.【答案】D
【解析】解：sin(π2−α)=35，
则csα=35.
故选：D.
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的诱导公式，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】
解：命题为全称量词命题，则命题的否定为∃x∈R，x2+2x+2<0，
故选：C.
4.【答案】B
【解析】解：记∠BAC=α，∠CAD=β，
由图知：sinα=csα= 22，sinβ= 33，csβ= 63，
所以cs∠BAD=cs(∠BAC+∠CAD)=cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ
= 22× 63− 22× 33=2 3− 66.
故选：B.
利用直角三角形中边角关系和两角和的余弦公式即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，任意角的三角函数的定义，两角和的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：0b=lg30.4c=lg56，
综上所述，c>a>b.
故选：C.
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：函数的定义域为(0,+∞)，
当02 1x⋅x−1=1，
当x≥1时，y=3lg3x−(x−1)=x−x+1=1，
综上，只有选项D符合题意．
故选：D.
先写出函数的定义域，再分0本题考查分段函数的图象与性质，熟练掌握对数的运算法则，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为f(x)=x2+2x,x≥0−x2+2x,x<0，
令f(a)=t，则f(f(a))≥3可化为f(t)≥3，
当t≥0时，t2+2t≥3，解得t≥1(负值舍去)，即f(a)≥1；
当t<0时，−t2+2t≥3，即t2−2t+3≤0，
而t2−2t+3=(t−1)2+2>0，故上述不等式无解，
综上，f(a)≥1.
若a≥0，则a2+2a≥1，解得a≥ 2−1(负值舍去)；
若a<0，则−a2+2a≥1，解得a=1(舍去)，
综上，实数a的取值范围是[ 2−1,+∞).
故选：A.
令f(a)=t，先分段讨论t求得f(a)≥1，再分段讨论a，进一步求出a的范围即可．
本题考查了分段函数的应用，一元二次不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：因为f(x−1)关于(1,0)中心对称，所以f(x)对称中心是(0,0)，故f(−x)=−f(x)，即f(x)是奇函数，
因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(−x+2)，则f(x+4)=f(−x)=−f(x)，
所以f(x+8)=−f(x+4)=f(x)，因此f(x)的周期为8，
所以f(27)=f(3)=f(1)，f(13)=f(5)=f(−1)，
因为f(x)在[0,2]上是增函数且f(x)是奇函数，所以f(x)在[−2,2]上是增函数，
所以f(−1)所以f(13)故选：C.
利用函数平移得到f(x)是奇函数，再利用对称性和奇偶性得到f(x)的周期为8，且在[−2,2]上是增函数，从而利用f(x)的性质即可得解
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性及周期性在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】B
【解析】解：对于A，二次函数开口向下，所以a<0，此时g(x)=xa与图中符合；
对于B，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)=xa在(0,+∞)为增函数，不符合；
对于C，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)=xa在(0,+∞)为增函数，符合；
对于D，二次函数开口向上，所以a>0，此时g(x)=xa在(0,+∞)为增函数，符合．
故选：B.
利用二次函数的图象得出a的正负，结合幂函数特点可得答案．
本题主要考查了函数图象的判断，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：对于A，由集合的无序性可知，集合{0,2,1}和{1,0,2}是同一个集合，故A正确；
对于B，f(x)=1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在定义域内不为减函数，故B错误；
对于C，y= (x−2)2=|x−2|，函数解析式相同，定义域、值域、映射关系也相同，故C正确；
对于D，390∘为第一象限角，但不为锐角，故D错误．
故选：AC.
结合函数的性质，集合的定义，同一函数和象限角的定义，即可求解．
本题主要考查函数的性质，集合的定义，同一函数和象限角的定义，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：对于A，sin45∘cs45∘= 22× 22=12，故A错误；
对于B，cs2π12−sin2π12=csπ6= 32，故B正确；
对于C，12sin40∘+ 32cs40∘=cs60∘sin40∘+sin60∘cs40∘=sin(60∘+40∘)=sin100∘=sin80∘，故C正确；
对于D，tan22.5∘1−tan222.5∘=12×2tan22.5∘1−tan222.5∘=12×tan45∘12，故D正确．
故选：BCD.
根据已知条件，结合三角函数的恒等变换公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的恒等变换公式，属于基础题．
12.【答案】BC
【解析】解：A中，因为x∈(−π2,0)，所以tanx<0，所以−tanx>0，所以−tanx+(−4tanx)≥2 (−tanx)⋅(−4tanx)=4，
当且仅当−tanx=−4tanx，即tanx=−2时取等号，所以y=tanx+4tanx≤−4，即函数y的最大值为−4，所以A不正确；
B中，关于x的不等式ax2+bx−2<0的解集是(−1,2)，可得−1，2为关于x的方程ax2+bx−2=0的解，所以−1+2=−ba，即a+b=0，所以B正确；
C中，因为正实数a，b满足a+b=2，即a+1+b=3，则1a+1+1b=(1a+1+1b)⋅13⋅(a+1+b)=13[1+1+ba+1+a+1b]≥13(2+2 ba+1⋅a+1b)=43，
当且仅当ba+1=a+1b，即b=a+1，即a=12，b=32时取等号，即1a+1+1b的最小值为43，所以C正确；
D中，若函数f(x)=lga(x2+4mx+3)(a>1)在区间(−∞,1)单调递减，
−2m≥112+4m⋅1+3>0，解得−34故选：BC.
A中，由基本不等式的性质，可得函数y的最大值，判断出A的真假；B中，由不等式的解集，可得方程的根，再由韦达定理可得a+b=0，判断出B的真假；C值，由“1”的活用及基本不等式的性质，可得代数式的最小值，判断出C的真假；D中，由对数函数的性质可得m的范围，判断出D的真假．
本题考查基本不等式的性质的应用及代数式的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】(2,4]
【解析】解：A={x|x≤4}，B={x|y=lg(x−2)}={x|x>2}，
则A∩B=(2,4].
故答案为：(2,4].
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
14.【答案】(4,5)
【解析】解：由题意可知，函数f(x)的图象是连续不断，且在x∈(3,5)内存在零点，
因为f(4)<0，f(5)>0，
所以f(4)⋅f(5)<0，
所以函数的零点落在区间(4,5).
故答案为：(4,5).
根据函数的零点存在定理判断即可．
本题主要考查了二分法的应用，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：正实数a，b满足2a+b=4，
则(2a+b)2=4a2+4ab+b2=16，
4a2+b2=(2a+b)2−4ab=16−4ab=16−2⋅2a⋅b≥16−2⋅(2a+b)24=8，当且仅当2a=b=2时，等号成立，
故4a2+b24a2+4ab+b2≥816=12，
所以所求最小值为12.
故答案为：12.
根据已知条件，结合基本不等式，即可求解．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
16.【答案】0(−π4,0)
【解析】解：因为定义在(−1,1)上的函数f(x)满足f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)，
所以f(0)+f(0)=f(0)，即f(0)=0，
令y=−x，则f(x)+f(−x)=f(0)=0，即f(−x)=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，
因为当x>0时，f(x)<0，
任取−10，x2−x1>0，x2−x11−x1x2>0，
由f(x)+f(y)=f(x+y1+xy)可得，f(x2)+f(−x1)=f(x2−x11−x1x2)<0，
所以f(x2)+f(−x1)<0，即f(x2)所以f(x)在(−1,1)上单调递减的奇函数，
若α∈(−π4,π4)，则不等式f(sin2α)>2f(sinα)可转化为f(2sinαcsαsin2α+cs2α)>2f(sinα)，
所以f(2tanα1+tan2α)>2f(sinα)，
即2f(tanα)>2f(sinα)，
所以f(tanα)>2(sinα)，
因为α∈(−π4,π4)，
所以−1因为f(x)在(−1,1)上单调递减，
所以tanα即sinαcsα所以sinα即sinα(1−csα)<0，
即sinα<01−csα>0或sinα>01−csα<0，
解得−π4<α<0，
故α的范围为(−π4,0).
故答案为：0；(−π4,0).
由已知利用赋值法，根据函数的单调性及奇偶性，正弦函数的性质，结合同角三角函数关系即可分别求解．
本题主要考查了赋值法的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)角θ的终边为射线y=−34x(x≥0)，在该射线上取一点(4,−3)，
则sinθ=−3 42+(−3)2=−35，同理可得，csθ=45，tanθ=−34；
(2)sin2θ=2sinθcsθ=−2425，cs2θ=2cs2θ−1=725，
故sin(2θ+π3)=sin2θcsπ3+cs2θsinπ3=(−2425)×12+725× 32=7 3−2450.
【解析】(1)结合三角函数的定义，即可求解；
(2)结合余弦的两角和公式，即可求解．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
18.【答案】解：(1)原式=50012−10 5−2+20×1+[(−25)15]4
=10 5−10( 5+2)( 5−2)( 5+2)+20+(−2)4
=10 5−(10 5+20)+20+16
=16；
(2)原式=13(5lg2+2−6lg2)−13lg5
=23−13lg2−13lg5
=23−13(lg2+lg5)
=23−13lg10
=23−13
=13.
【解析】(1)根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解；
(2)根据已知条件，结合对数的运算法则，即可求解．
本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
19.【答案】(1)解：函数定义域为R，
因为f(−x)=2x2+(−x)2=2x2+x2=f(x)，
所以f(x)为偶函数；
(2)证明：任取−1则x2−x1>0，2−x1x2>0，2+x12>02+x22>0，
所以2(x2−x1)(2−x1x2)(2+x22)(2+x12)>0
则f(x1)−f(x2)=2x22+x22−2x12+x12=2x2(2+x12)−2x1(2+x22)(2+x12)(2+x22)=2(x2−x1)(2−x1x2)(2+x22)(2+x12)>0，
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在(−1,1)上单调递减；
(3)解：因为f(x)的定义域为(−1,1)，
由不等式f(x2)+f(16−56x)>0可得f(x2)>−f(16−56x)=f(56x−16)，
所以x2<56x−16且−1解得13故不等式f(x2)+f(16−56x)>0的解集为{x|13【解析】(1)先求出函数的定义域，然后检验f(−x)与f(x)的关系即可判断；
(2)任取−1(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，还考查了函数单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题知，θ∈(0,π3)，
在Rt△ODF中，OF=50csθ，DF=50sinθ，
所以AE=DF=50sinθ，
在Rt△OAE中，OE=AEtan∠AOE=50sinθtanπ3=50sinθ 3，
所以EF=OF−OE=50csθ−50sinθ 3，
所以矩形ABCD面积为：
S=f(θ)=2DF⋅EF=100sinθ(50csθ−50sinθ 3)=5000(sinθcsθ−sin2θ 3)
=5000(12sin2θ−1−cs2θ2 3)=5000 3( 32sin2θ+12cs2θ−12)
=5000 3[sin(2θ+π6)−12]，θ∈(0,π3).
(2)因为θ∈(0,π3)，
所以2θ+π6∈(π6,5π6)，
当2θ+π6=π2，即θ=π6时，
S取得最大值为Smax=f(π6)=5000 3×(1−12)=2500 33(m2).
【解析】本题考查了三角函数的实际应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
(1)由题意得θ的取值范围，用θ的三角函数分别表示出DF和EF，计算矩形ABCD的面积，根据二倍角公式，降幂公式和辅助角公式化简即可；
(2)由θ的取值范围，根据正弦函数的图象与性质，求解即可．
21.【答案】解：(1)由题意得，T=2×π2=π，
所以ω=2，f(x)=2sin(2x+φ)+1，
若选①：函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=π6，
则π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，
所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)+1；
若选②：函数f(x)的图象的一个对称中心为点(−π12,1)，
则−π6+φ=kπ，k∈Z，
因为|φ|<π2，
所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)+1；
若选③：函数f(x)的图象经过点(−π6,0)，则f(−π6)=2sin(φ−π3)+1=0，
因为|φ|<π2，
所以φ=π6，f(x)=2sin(2x+π6)+1；
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位得到y=g(x)=2sin(x−π6)+1，
若x∈[π6,5π6]，则0≤x−π6≤2π3，
所以0≤sin(x−π6)≤1，1≤g(x)≤3，
由不等式g2(x)−mg(x)+1≤0恒成立可得m≥g(x)+1g(x)，
令t=g(x)，y=t+1t在[1,3]上单调递增，
所以ymax=103，m≥103，
故m的取值范围为[103,+∞).
【解析】(1)结合正弦函数的周期先求出ω，然后结合正弦函数的性质即可求解函数解析式；
(2)结合函数图象的平移先求出g(x)的解析式，然后结合正弦函数的性质求出g(x)的范围，再由不等式恒成立与最值关系的转化即可求解m的范围．
本题主要考查了由函数y=Asin(ωx+φ)的性质求解函数解析式，还考查了三角函数图象的变换，不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=|ex−2|，f(x0)=2，
所以当ex−2≥0，即x≥ln2时，f(x)=ex−2，
则ex0−2=2，解得x0=ln4；
当ex−2<0，即x则2−ex0=2，即ex0=0，显然无解；
综上，x0=ln4.
(2)由(1)得，f(x)=ex−2,x结合y=ex的单调性可作出f(x)的大致图象，如下，
令t=f(x)，则由f(x)+2f(x)+1+k=0(k∈R)，
得t+2t+1+k=0，整理得t2+(k+1)t+k+2=0，
因为f(x)+2f(x)+1+k=0有三个不相等的实数解x1，x2，x3，(x1所以结合图象可知，t2+(k+1)t+k+2=0必有两个不相等的实数解t1，t2，
且0所以[f(x1)+1]⋅[f(x2)+1]⋅[f(x3)+1]2=(t1+1)2(t2+1)2
=(t1t2+t1+t2+1)2=[k+2−(k+1)+1]2=4.
【解析】(1)分类讨论x≥ln2与x(2)结合指数函数的单调性作出f(x)的大致图象，利用换元法将问题转化为t2+(k+1)t+k+2=0有两个不同的实数解，数形结合得到t1=f(x1)=f(x2)，t2=f(x3)，再利用韦达定理即可得解．
本题考查了函数的零点与方程根的关系，函数与方程的综合，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属中档题．