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2023-2024学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年吉林省吉林市高一（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x∈N|x<3}，B={x|−2A. {x|−22.下列函数中，不是幂函数的是( )
A. y=exB. y=x3C. y= xD. y=1x
3.已知sinθcsθ<0，那么角θ是( )
A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第二或第四象限角D. 第一或第四象限角
4.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A. 1
B. 12sin2
C. 2−12sin2
D. 1−12sin2
5.已知命题p：∃x∈R，2kx2+kx−1≥0.若命题p为假命题，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,−8]∪[0,+∞)B. (−∞,−8)∪[0，+∞)
C. (−8,0)D. (−8,0]
6.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是( )
A. y=2−2x,x∈(0,+∞)
B. y=12−(12)x,x∈(0,+∞)
C. y=lnx
D. y=−x2+8x−7，x∈(0,+∞)
7.已知a=32，b=lg23，c=lg34，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
8.已知实数x1，x2 是函数f(x)=|ln(x+1)|−(12)x的零点，则( )
A. (x1+1)(x2+1)<0B. 0<(x1+1)(x2+1)<1
C. 1<(x1+1)(x2+1)e
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1b
B. 若a>b，c>d，则a−3d>b−3c
C. 若a>|b|，则a2>b2
D. 若a>b，c>d，则ac>bd
10.已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的反函数为g(x)，则( )
A. g(x)=lgax(a>0，且a≠1)且定义域是(0,+∞)
B. 函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C. 若f(2)=14，则g( 22)=−12
D. 当a>1时，函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0，1，2
11.意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cshx=ex+e−x2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=ex−e−x2.设函数f(x)=sinhxcshx，则( )
A. f(1)=e2+1e2−1
B. 函数f(x)在其定义域上是增函数
C. 若实数x满足不等式f(|2x−1|)+f(−3)≤0，则x的取值范围是[−1,2]
D. 函数f(x)的值域为(−∞,1)
12.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)来表示，函数f(t)的图象如图所示，则( )
A. f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)
B. 函数f(t)的图象关于点(12,0)对称
C. 当t=5时，水深度达到6.5m
D. 已知函数g(t)的定义域为[0,6]，g(2t)=f(2t)−n 有2个零点t1，t2，则tanπt1+t2= 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.8−13+lg14−lg25= ______ ．
14.函数f(x)=lg13(x2−5x+6)的单调递增区间为 ______ ．
15.已知sin(π3+α)=13，则cs(π6−α)= ______ ；sin(5π6−2α)= ______ ．
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥1时，f(x)=x+4x−3，当0四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|14≤2x≤16},B={x|2m−1≤x≤m+1}．
(1)当m=−1时，求∁RB，A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知a>0，b>0，a+2b=ab．
(Ⅰ)求ab的最小值；
(Ⅱ)求2a+b的最小值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆的交点为P(x0,2 55)．
(1)求tanα，cs2α；
(2)在①tanβ=34，②sin2β=85sinβ，③csβ2=3 1010这三个条件中任选一个条件补充在下面(把序号填在答题卡对应位置的横线上)并解答问题．
问题：已知β∈(0,π2)，_____，求2α−β．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)
20.(本小题12分)
茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为21世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T0℃，空气温度是Te℃，那么tmin后物体的温度T(t)(单位：℃)可由公式T(t)=(T0−Te)e−kt+Te求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是90℃，放在室温20℃的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是55℃．
(1)求k的值；
(2)经验表明，当室温为25℃摄氏度时，该种普洱茶用85℃的水泡制，自然冷却至65℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为25℃时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1)
(附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(csx2+sinx2)(csx2−sinx2)+sinx．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象上所有点向上平移1个单位得到曲线C1，再将C1上的各点纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象.若∃x∈[0,π2]，∀m∈[−1,0]，不等式mt2−2mt+7≥g(x)成立，求实数t的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx．
(1)若函数g(x)=f(x),x>1−x2+kx−2,x≤1，且g(x)是增函数，求实数k的取值范围；
(2)若对任意的正数x，不等式f[(2−a)ex−1]≤f(a)+2x恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x∈N|x<3}={0,1,2}，因为B={x|−2故选：C．
列举集合A中的元素，得A∩B．
本题主要考查交集及其定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：幂函数的通式为y=xα(α为常数)，
则BCD选项y=x3,y= x,y=1x均符合幂函数的定义，
而A选项y=ex为指数函数，不符合幂函数的定义，
故选：A．
根据幂函数的定义判断即可．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，sinθcsθ<0，
则sinθ>0csθ<0或sinθ<0csθ>0，所以角θ在第二或第四象限，
故选：C．
根据题意列出不等式组，由三角函数值的符号判断出θ所在的象限．
本题考查角函数值的符号的应用，需要掌握口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得劣弧AB的长为2，半径r=1，
设∠AOB=α，则αr=2，即α=2，
则扇形AOB的面积为12αr2=1，
过点O作OH⊥AB，则∠AOH=∠BOH=1，则sin1=AHAO=AH，cs1=OHAO=OH，AB=2AH=2sin1，
则S△AOB=12×2sin1cs1=12sin2，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于S扇形−S△AOB=1−12sin2．
故选：D．
利用扇形面积公式和三角形面积公式即可．
本题主要考查了扇形的面积公式和三角形面积公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得命题p的否定为真命题，
即∀x∈R，2kx2+kx−1<0，
当k=0时，−1<0恒成立，
当k≠0时，则有k<0k2+8k<0，解得−8综上，k的取值范围为(−8,0]．
故选：D．
分析得∀x∈R，2kx2+kx−1<0，分k=0和k≠0讨论即可．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，当x∈(0,+∞)时，y=2−2x<2，A错误；
对于B，当x∈(0,+∞)时，y=12−(12)x<12，B错误；
对于C，y=lnx的图象经过(1,0)，在(0,+∞)上单调递增，适合题意，C正确；
对于D，y=−x2+8x−7的开口向下，显然不符合题意，D错误．
故选：C．
结合图象，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数的图象与图象的变换，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为42<(3 3)2，
所以4<3 3，lg34即a>c，
又因为32>(2 2)2，
所以3>2 2，lg23>lg22 2=32，即b>a，
所以b>a>c．
故选：B．
根据对数函数的性质比较大小．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵实数x1，x2是函数f(x)=|ln(x+1)|−(12)x的零点，
∴实数x1，x2是方程|ln(x+1)|−(12)x=0的根，
∴实数x1，x2是函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的交点A，B的横坐标，
画出函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的图象，如图所示：
过点A作直线y=a，在第一象限与y=|ln(x+1)|的图象交于点C，点C的横坐标设为x3，
∴|ln(x1+1)|=|ln(x3+1)|，
∴−ln(x1+1)=ln(x3+1)，
∴ln(x3+1)+ln(x1+1)=0，
即ln[(x3+1)(x1+1)]=0，
∴(x3+1)(x1+1)=1，
由图象可知，−1∴0∴0<(x1+1)(x2+1)<(x1+1)(x3+1)=1，
即0<(x1+1)(x2+1)<1．
故选：B．
由题意可知实数x1，x2是函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的交点A，B的横坐标，画出函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，取a=1，b=−1，满足a>b，而1a=1>−1=1b，A错误；
对于B，由c>d，得−3d>−3c，而a>b，因此a−3d>b−3c，B正确；
对于C，由a>|b|，得a>|b|≥0，因此a2>b2，C正确；
对于D，取a=2，b=0，c=−1，d=−2，满足a>b，c>d，而ac=−2<0=bd，D错误．
故选：BC．
举例说明判断AD；利用不等式性质推理判断BC．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对A，根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数，则g(x)=lgax(a>0，且a≠1)且定义域是(0,+∞)，故A正确；
对B，根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故B正确；
对C，若f(2)=14，则a2=14，
解得a=12或−12(舍去)，
则g(x)=lg12x，则g( 22)=lg12 22=12，故C错误；
对于D：如图所示，
当a>e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象无公共点 (如图1)；
当a=e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象有一个公共点(如图2)；
当1所以当a>1时，f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0，1，2，故D正确，
故选：ABD．
根据指数函数与对数函数的关系一一分析即可．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：依题意，f(x)=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，
对于A，f(1)=e2−1e2+1，A错误；
对于B，函数f(x)的定义域为R，显然函数y=e2x+1在R上单调递增，
函数y=2e2x+1在R上单调递减，因此函数f(x)在R上单调递增，B正确；
对于C，显然f(−x)=e−x−exe−x+ex=−f(x)，则不等式f(|2x−1|)+f(−3)≤0⇔f(|2x−1|)≤f(3)，
由选项B知，|2x−1|≤3，解得−1≤x≤2，因此x的取值范围是[−1,2]，C正确；
对于D，e2x+1>1，则0<2e2x+1<2，即有−1<1−2e2x+1<1，因此函数f(x)的值域为(−1,1)，D错误．
故选：BC．
求出函数f(x)的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性和值域，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由图知，T=2πω=15−3=12，
∴ω=π6，
又A+b=8−A+b=2，故A=3，B=5，
由”五点作图法“知，π6×3+φ=π2，解得φ=0．
故f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，A正确；
又f(12)=5≠0，函数f(t)的图象不关于点(12,0)对称，B错误；
f(5)=3sin5π6+5=32+5=6.5，即当t=5时，水深度达到6.5m，C正确；
∵g(t)的定义域为[0,6]，
∴0≤2t≤6，解得0≤t≤3．
令g(2t)=f(2t)−n=0，得n=f(2t)=3sinπ3t+5．
∴n−53=sinπ3t(0≤t≤3)，
∵π3t∈[0,π]，t1，t2为g(2t)=f(2t)−n的2个零点，
∴π3t1+π3t2=π2×2=π，
∴t1+t2=3，
∴tanπt1+t2=tanπ3= 3，D正确．
故选：ACD．
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定其解析式为f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，再对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
13.【答案】−32
【解析】解：原式=12+lg1100=12−2=−32．
故答案为：−32．
根据指数、对数的运算律计算．
本题考查了指数、对数的运算，是基础题．
14.【答案】(−∞,2)
【解析】解：令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域为{x|x<2或x>3}，且f(x)=lg13t，
故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域{x|x<2或x>3}内的减区间为(−∞,2)，
故答案为：(−∞,2)．
令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域，根据f(x)=lg13t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15.【答案】13 −79
【解析】解：cs(π6−α)=cs[π2−(π3+α)]=sin(π3+α)=13，
sin(5π6−2α)=sin(π2+π3−2α)=cs(π3−2α)=cs[2(π6−α)]
=2cs2(π6−α)−1=2×(13)2−1=−79．
故答案为：13；−79．
根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
16.【答案】[−32,32]
【解析】解：当x≥1时，f(x)=x+4x−3≥2 x⋅4x−3=1，当且仅当x=2时等号成立，
当0根据对勾函数和指数函数的性质以及函数为奇函数作出整个函数图象，如下图所示：
令f(x)=t，则h(t)=t2−mt−1，
显然由图知直线y=t与f(x)图象最多3个交点，
若要满足题意，则t2−mt−1=0有两个不等实数解t1，t2，则Δ=m2+4>0，
且根据韦达定理得t1t2<0，显然当t=0不适合方程，且h(0)=−1<0，不妨设t2则由图知：(i)当直线y=t1与f(x)有3个交点，直线y=t2与f(x)有1个交点，
①t1∈(1,2]，t2∈(−∞,−3]，则h(1)<0h(2)≥0h(−3)≤0，即1−m−1<04−2m−1≥09+3m−1≤0，无解；
②t1∈(1,2]，t2∈(−1,0)，则h(1)<0h(2)≥0h(−1)>0，即1−m−1<04−2m−1≥01+m−1>0，解得0(ii)当直线y=t2与f(x)有3个交点，直线y=t1与f(x)有1个交点，
①t2∈[−2,−1)，t1∈[3,+∞)，则h(−1)<0h(−2)≥0h(3)≤0，即1+m−1<04+2m−1≥09−3m−1≤0，无解；
②t2∈[−2,−1)，t2∈(0,1)，则h(−1)<0h(−2)≥0h(1)>0，即1+m−1<04+2m−1≥01−m−1>0，解得−32≤m<0；
(iii)当直线y=t1与f(x)有2个交点，直线y=t2与f(x)有2个交点，
①t1∈(2,3)，t2∈(−3,−2)，则h(2)<0h(3)>0h(−3)>0h(−2)<0，即4−2m−1<09−3m−1>09+3m−1>04+2m−1<0，无解；
②当t1=1时，则t2=−1，由图知此时符合题意，此t1+t2=m=0，
综上所述m的取值范围为[−32,32]．
故答案为：[−32,32]．
首先作出f(x)的图象，再利用换元法设f(x)=t，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出不等式组，解出即可．
本题考查了函数零点、方程的根及函数图像交点的关系，考查了数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得A={x|−2≤x≤4}，
当m=−1时，集合B={x|−3≤x≤0}，∁RB={x|x>0或x<−3}，A∪B={x|−3≤x≤4}；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⊆A，
满足2m−1≤m+12m−1>−2m+1≤4或2m−1≤m+12m−1≥−2m+1<4，解得−12≤m≤2，
综上所述：m的取值范围为[−12,2]．
【解析】(1)解出指数不等式，再利用补集和交集含义即可；
(2)由题意得到B⊆A，再列出不等式组解得即可．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)a>0，b>0，a+2b=ab≥2 2ab，当且仅当a=2b，即b=2，a=4时取等号，
所以ab≥8
即ab的最小值为8；
(Ⅱ)因为a+2b=ab，
所以1b+2a=1，
所以2a+b=(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab≥5+2 2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=3时取等号，
所以2a+b的最小值为9．
【解析】(Ⅰ)由已知结合基本不等式即可求解；
(Ⅱ)利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵sinα=2 55,α为锐角，
∴csα= 1−sin2α= 1−45= 55，
∴tanα=sinαcsα=2 55 55=2，
cs2α=1−2sin2α=1−2×45=−35．
(2)选①：∵α∈(0,π2)∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，
∴sin2α= 1−cs22α=45．
∵tanβ=34，
∴sinβcsβ=34sin2β+cs2β=1，
∵β∈(0,π2)，
∴sinβ=35csβ=45；
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=(−35)×45+45×35=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，
∴π2<2α<π，
∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0，
∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2，
选②：∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，∴sin2α=45，
∵sin2β=2sinβcsβ=85sinβ，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴csβ=45，
∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
0<2α<π，cs2α<0，
∵0<2α<π,cs2α<0∴π2<2α<π，∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2.∴π2<2α<π；
选③：∵α∈(0,π2)，
∴2α∈(0,π)，cs2α=−35；
∴sin2α= 1−cs22α=45
∵csβ2=3 1010，∴csβ=2cs2β2−1=45，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，∴π2<2α<π，∵0<β<π2，∴−π2<−β<0
∴0<2α−β<π；
∴2α−β=π2．
【解析】(1)根据三角函数定义结合同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案；
(2)根据同角三角函数关系、二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，倍角公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，当T0=90，Te=20，t=10，T(t)=55，
代入公式T(t)=(T0−Te)e−kt+Te，整理得：55=(90−20)e−10k+20，
解得：e−10k=12,k=ln210．
(2)假设自然冷却大约tmin时间能达到最佳饮用口感，
则有：65=(85−25)e−kt+25，代入k=ln210，
得：t=10×ln32ln2=10×(ln3−ln2)ln2=10×(1.1−0.7)0.7=407≈5.7，
所以刚泡好的茶水在室温为25℃时自然冷却大约需要放置5.7min后才能达到最佳饮用口感．
【解析】(1)根据题意列出等量关系式，求解k即可；
(2)代入得40=60e−kt 然后结合k，求解时间t．
本题考查了函数在解决实际问题的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，f(x)=cs2x2−sin2x2+sinx=csx+sinx= 2sin(x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π；
令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z)．
(2)曲线C1所对函数解析式为y= 2sin(x+π4)+1，因此g(x)=2 2sin(x+π4)+2，
当0≤x≤π2时，π4≤x+π4≤3π4，
则当x+π4=π4或x+π4=3π4，即当x=0或x=π2时，g(x)min=4，
∃x∈[0,π2]，不等式mt2−2mt+7≥g(x)成立，
只需mt2−2mt+7≥g(x)min，即mt2−2mt+7≥4，
依题意，∀m∈[−1,0]，mt2−2mt+3≥0成立，
令h(m)=(t2−2t)m+3，于是h(−1)≥0h(0)≥0，即−t2+2t+3≥03≥0，解得−1≤t≤3，
所以t的取值范围为[−1,3]．
【解析】(1)利用二倍角及辅助角公式化简函数f(x)，再利用正弦函数性质求解即得．
(2)利用给定变换求出g(x)及在[0,π2]上的最小值，再利用关于m的一次函数列出不等式组求解即得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数g(x)是R上的增函数，
所以k2≥1k−3≤0，所以2≤k≤3．
故k的取值范围为[2,3]．
(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞)，
所以a>0(2−a)ex−1>0，
由(2−a)ex−1>0得a<2−1ex在x∈(0,+∞)上恒成立，
因为x>0，所以ex>1，所以0<1ex<1，所以2−1ex>1，所以0因为对任意的正数x，不等式f[(2−a)ex−1]≤f(a)+2x恒成立，
所以f[(2−a)ex−1]≤f(ae2x)，
因为f(x)在(0,+∞)上为增函数，
所以(2−a)ex−1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立，
所以a≥2ex−1e2x+ex在(0,+∞)上恒成立，令t=2ex−1(t∈(1,+∞))，
则ex=t+12，∴a≥4tt2+4t+3在t∈(1,+∞)上恒成立，
因为4tt2+4t+3=4t+3t+4≤42 3+4=4−2 3，当且仅当t= 3时，等号成立，
所以a≥4−2 3，
综上，a的取值范围为[4−2 3,1]．
【解析】(1)根据二次函数单调性和边界值的大小关系得到不等式组，解出即可；
(2)首先分离参数求出0本题考查函数的基本性质和不等式恒成立问题，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
1.已知集合A={x∈N|x<3}，B={x|−2
A. y=exB. y=x3C. y= xD. y=1x
3.已知sinθcsθ<0，那么角θ是( )
A. 第一或第二象限角B. 第二或第三象限角C. 第二或第四象限角D. 第一或第四象限角
4.“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示.若圆柱材料的截面圆的半径长为1，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧AB的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的截面面积是( )
A. 1
B. 12sin2
C. 2−12sin2
D. 1−12sin2
5.已知命题p：∃x∈R，2kx2+kx−1≥0.若命题p为假命题，则实数k的取值范围是( )
A. (−∞,−8]∪[0,+∞)B. (−∞,−8)∪[0，+∞)
C. (−8,0)D. (−8,0]
6.函数y=f(x)的图象如图所示，则y=f(x)可能是( )
A. y=2−2x,x∈(0,+∞)
B. y=12−(12)x,x∈(0,+∞)
C. y=lnx
D. y=−x2+8x−7，x∈(0,+∞)
7.已知a=32，b=lg23，c=lg34，则( )
A. a>b>cB. b>a>cC. b>c>aD. c>a>b
8.已知实数x1，x2 是函数f(x)=|ln(x+1)|−(12)x的零点，则( )
A. (x1+1)(x2+1)<0B. 0<(x1+1)(x2+1)<1
C. 1<(x1+1)(x2+1)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，则1a<1b
B. 若a>b，c>d，则a−3d>b−3c
C. 若a>|b|，则a2>b2
D. 若a>b，c>d，则ac>bd
10.已知函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)的反函数为g(x)，则( )
A. g(x)=lgax(a>0，且a≠1)且定义域是(0,+∞)
B. 函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C. 若f(2)=14，则g( 22)=−12
D. 当a>1时，函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0，1，2
11.意大利画家达⋅芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为cshx=ex+e−x2，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=ex−e−x2.设函数f(x)=sinhxcshx，则( )
A. f(1)=e2+1e2−1
B. 函数f(x)在其定义域上是增函数
C. 若实数x满足不等式f(|2x−1|)+f(−3)≤0，则x的取值范围是[−1,2]
D. 函数f(x)的值域为(−∞,1)
12.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π2)来表示，函数f(t)的图象如图所示，则( )
A. f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)
B. 函数f(t)的图象关于点(12,0)对称
C. 当t=5时，水深度达到6.5m
D. 已知函数g(t)的定义域为[0,6]，g(2t)=f(2t)−n 有2个零点t1，t2，则tanπt1+t2= 3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.8−13+lg14−lg25= ______ ．
14.函数f(x)=lg13(x2−5x+6)的单调递增区间为 ______ ．
15.已知sin(π3+α)=13，则cs(π6−α)= ______ ；sin(5π6−2α)= ______ ．
16.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥1时，f(x)=x+4x−3，当0
17.(本小题10分)
已知集合A={x|14≤2x≤16},B={x|2m−1≤x≤m+1}．
(1)当m=−1时，求∁RB，A∪B；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知a>0，b>0，a+2b=ab．
(Ⅰ)求ab的最小值；
(Ⅱ)求2a+b的最小值．
19.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知锐角α的终边与单位圆的交点为P(x0,2 55)．
(1)求tanα，cs2α；
(2)在①tanβ=34，②sin2β=85sinβ，③csβ2=3 1010这三个条件中任选一个条件补充在下面(把序号填在答题卡对应位置的横线上)并解答问题．
问题：已知β∈(0,π2)，_____，求2α−β．
(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.)
20.(本小题12分)
茶，是中华民族的举国之饮，它发乎神农，闻于鲁周公，兴于唐朝，盛在宋代，如今已成了风靡世界的三大无酒精饮料(茶叶、咖啡和可可)之一，并将成为21世纪的饮料大王.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T0℃，空气温度是Te℃，那么tmin后物体的温度T(t)(单位：℃)可由公式T(t)=(T0−Te)e−kt+Te求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数.现有某种刚泡好的普洱茶，茶水温度是90℃，放在室温20℃的环境中自然冷却，10分钟后茶水的温度是55℃．
(1)求k的值；
(2)经验表明，当室温为25℃摄氏度时，该种普洱茶用85℃的水泡制，自然冷却至65℃时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水在室温为25℃时自然冷却大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果精确到0.1)
(附：参考值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=(csx2+sinx2)(csx2−sinx2)+sinx．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象上所有点向上平移1个单位得到曲线C1，再将C1上的各点纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，得到函数g(x)的图象.若∃x∈[0,π2]，∀m∈[−1,0]，不等式mt2−2mt+7≥g(x)成立，求实数t的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnx．
(1)若函数g(x)=f(x),x>1−x2+kx−2,x≤1，且g(x)是增函数，求实数k的取值范围；
(2)若对任意的正数x，不等式f[(2−a)ex−1]≤f(a)+2x恒成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A={x∈N|x<3}={0,1,2}，因为B={x|−2
列举集合A中的元素，得A∩B．
本题主要考查交集及其定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：幂函数的通式为y=xα(α为常数)，
则BCD选项y=x3,y= x,y=1x均符合幂函数的定义，
而A选项y=ex为指数函数，不符合幂函数的定义，
故选：A．
根据幂函数的定义判断即可．
本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意知，sinθcsθ<0，
则sinθ>0csθ<0或sinθ<0csθ>0，所以角θ在第二或第四象限，
故选：C．
根据题意列出不等式组，由三角函数值的符号判断出θ所在的象限．
本题考查角函数值的符号的应用，需要掌握口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题意得劣弧AB的长为2，半径r=1，
设∠AOB=α，则αr=2，即α=2，
则扇形AOB的面积为12αr2=1，
过点O作OH⊥AB，则∠AOH=∠BOH=1，则sin1=AHAO=AH，cs1=OHAO=OH，AB=2AH=2sin1，
则S△AOB=12×2sin1cs1=12sin2，
所以圆材埋在墙壁内部的截面面积等于S扇形−S△AOB=1−12sin2．
故选：D．
利用扇形面积公式和三角形面积公式即可．
本题主要考查了扇形的面积公式和三角形面积公式，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得命题p的否定为真命题，
即∀x∈R，2kx2+kx−1<0，
当k=0时，−1<0恒成立，
当k≠0时，则有k<0k2+8k<0，解得−8
故选：D．
分析得∀x∈R，2kx2+kx−1<0，分k=0和k≠0讨论即可．
本题主要考查存在量词和特称命题，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，当x∈(0,+∞)时，y=2−2x<2，A错误；
对于B，当x∈(0,+∞)时，y=12−(12)x<12，B错误；
对于C，y=lnx的图象经过(1,0)，在(0,+∞)上单调递增，适合题意，C正确；
对于D，y=−x2+8x−7的开口向下，显然不符合题意，D错误．
故选：C．
结合图象，对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数的图象与图象的变换，考查识图能力与运算能力，属于中档题．
7.【答案】B
【解析】解：因为42<(3 3)2，
所以4<3 3，lg34
又因为32>(2 2)2，
所以3>2 2，lg23>lg22 2=32，即b>a，
所以b>a>c．
故选：B．
根据对数函数的性质比较大小．
本题主要考查了对数函数的性质，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：∵实数x1，x2是函数f(x)=|ln(x+1)|−(12)x的零点，
∴实数x1，x2是方程|ln(x+1)|−(12)x=0的根，
∴实数x1，x2是函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的交点A，B的横坐标，
画出函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的图象，如图所示：
过点A作直线y=a，在第一象限与y=|ln(x+1)|的图象交于点C，点C的横坐标设为x3，
∴|ln(x1+1)|=|ln(x3+1)|，
∴−ln(x1+1)=ln(x3+1)，
∴ln(x3+1)+ln(x1+1)=0，
即ln[(x3+1)(x1+1)]=0，
∴(x3+1)(x1+1)=1，
由图象可知，−1
即0<(x1+1)(x2+1)<1．
故选：B．
由题意可知实数x1，x2是函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的交点A，B的横坐标，画出函数y=|ln(x+1)|与y=(12)x的图象，数形结合求解即可．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了对数函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A，取a=1，b=−1，满足a>b，而1a=1>−1=1b，A错误；
对于B，由c>d，得−3d>−3c，而a>b，因此a−3d>b−3c，B正确；
对于C，由a>|b|，得a>|b|≥0，因此a2>b2，C正确；
对于D，取a=2，b=0，c=−1，d=−2，满足a>b，c>d，而ac=−2<0=bd，D错误．
故选：BC．
举例说明判断AD；利用不等式性质推理判断BC．
本题主要考查了不等式性质在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对A，根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数，则g(x)=lgax(a>0，且a≠1)且定义域是(0,+∞)，故A正确；
对B，根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，故B正确；
对C，若f(2)=14，则a2=14，
解得a=12或−12(舍去)，
则g(x)=lg12x，则g( 22)=lg12 22=12，故C错误；
对于D：如图所示，
当a>e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象无公共点 (如图1)；
当a=e1e时，函数y=ax与y=lgax的图象有一个公共点(如图2)；
当1
故选：ABD．
根据指数函数与对数函数的关系一一分析即可．
本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：依题意，f(x)=ex−e−xex+e−x=e2x−1e2x+1=1−2e2x+1，
对于A，f(1)=e2−1e2+1，A错误；
对于B，函数f(x)的定义域为R，显然函数y=e2x+1在R上单调递增，
函数y=2e2x+1在R上单调递减，因此函数f(x)在R上单调递增，B正确；
对于C，显然f(−x)=e−x−exe−x+ex=−f(x)，则不等式f(|2x−1|)+f(−3)≤0⇔f(|2x−1|)≤f(3)，
由选项B知，|2x−1|≤3，解得−1≤x≤2，因此x的取值范围是[−1,2]，C正确；
对于D，e2x+1>1，则0<2e2x+1<2，即有−1<1−2e2x+1<1，因此函数f(x)的值域为(−1,1)，D错误．
故选：BC．
求出函数f(x)的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可．
本题考查函数的单调性、奇偶性和值域，以及不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】ACD
【解析】解：由图知，T=2πω=15−3=12，
∴ω=π6，
又A+b=8−A+b=2，故A=3，B=5，
由”五点作图法“知，π6×3+φ=π2，解得φ=0．
故f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，A正确；
又f(12)=5≠0，函数f(t)的图象不关于点(12,0)对称，B错误；
f(5)=3sin5π6+5=32+5=6.5，即当t=5时，水深度达到6.5m，C正确；
∵g(t)的定义域为[0,6]，
∴0≤2t≤6，解得0≤t≤3．
令g(2t)=f(2t)−n=0，得n=f(2t)=3sinπ3t+5．
∴n−53=sinπ3t(0≤t≤3)，
∵π3t∈[0,π]，t1，t2为g(2t)=f(2t)−n的2个零点，
∴π3t1+π3t2=π2×2=π，
∴t1+t2=3，
∴tanπt1+t2=tanπ3= 3，D正确．
故选：ACD．
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象可确定其解析式为f(t)=3sinπ6t+5(0≤t≤24)，再对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，考查转化与化归思想及综合运算能力，属于中档题．
13.【答案】−32
【解析】解：原式=12+lg1100=12−2=−32．
故答案为：−32．
根据指数、对数的运算律计算．
本题考查了指数、对数的运算，是基础题．
14.【答案】(−∞,2)
【解析】解：令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域为{x|x<2或x>3}，且f(x)=lg13t，
故本题即求函数t在定义域内的减区间．
再利用二次函数的性质可得函数t在定义域{x|x<2或x>3}内的减区间为(−∞,2)，
故答案为：(−∞,2)．
令t=x2−5x+6>0，求得函数的定义域，根据f(x)=lg13t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．
15.【答案】13 −79
【解析】解：cs(π6−α)=cs[π2−(π3+α)]=sin(π3+α)=13，
sin(5π6−2α)=sin(π2+π3−2α)=cs(π3−2α)=cs[2(π6−α)]
=2cs2(π6−α)−1=2×(13)2−1=−79．
故答案为：13；−79．
根据诱导公式和二倍角的余弦公式即可得到答案．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
16.【答案】[−32,32]
【解析】解：当x≥1时，f(x)=x+4x−3≥2 x⋅4x−3=1，当且仅当x=2时等号成立，
当0
令f(x)=t，则h(t)=t2−mt−1，
显然由图知直线y=t与f(x)图象最多3个交点，
若要满足题意，则t2−mt−1=0有两个不等实数解t1，t2，则Δ=m2+4>0，
且根据韦达定理得t1t2<0，显然当t=0不适合方程，且h(0)=−1<0，不妨设t2
①t1∈(1,2]，t2∈(−∞,−3]，则h(1)<0h(2)≥0h(−3)≤0，即1−m−1<04−2m−1≥09+3m−1≤0，无解；
②t1∈(1,2]，t2∈(−1,0)，则h(1)<0h(2)≥0h(−1)>0，即1−m−1<04−2m−1≥01+m−1>0，解得0
①t2∈[−2,−1)，t1∈[3,+∞)，则h(−1)<0h(−2)≥0h(3)≤0，即1+m−1<04+2m−1≥09−3m−1≤0，无解；
②t2∈[−2,−1)，t2∈(0,1)，则h(−1)<0h(−2)≥0h(1)>0，即1+m−1<04+2m−1≥01−m−1>0，解得−32≤m<0；
(iii)当直线y=t1与f(x)有2个交点，直线y=t2与f(x)有2个交点，
①t1∈(2,3)，t2∈(−3,−2)，则h(2)<0h(3)>0h(−3)>0h(−2)<0，即4−2m−1<09−3m−1>09+3m−1>04+2m−1<0，无解；
②当t1=1时，则t2=−1，由图知此时符合题意，此t1+t2=m=0，
综上所述m的取值范围为[−32,32]．
故答案为：[−32,32]．
首先作出f(x)的图象，再利用换元法设f(x)=t，合理分类讨论，再利用二次函数的零点分布列出不等式组，解出即可．
本题考查了函数零点、方程的根及函数图像交点的关系，考查了数形结合思想及分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意得A={x|−2≤x≤4}，
当m=−1时，集合B={x|−3≤x≤0}，∁RB={x|x>0或x<−3}，A∪B={x|−3≤x≤4}；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⊆A，
满足2m−1≤m+12m−1>−2m+1≤4或2m−1≤m+12m−1≥−2m+1<4，解得−12≤m≤2，
综上所述：m的取值范围为[−12,2]．
【解析】(1)解出指数不等式，再利用补集和交集含义即可；
(2)由题意得到B⊆A，再列出不等式组解得即可．
本题主要考查了集合的补集及并集运算，还考查了集合的包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)a>0，b>0，a+2b=ab≥2 2ab，当且仅当a=2b，即b=2，a=4时取等号，
所以ab≥8
即ab的最小值为8；
(Ⅱ)因为a+2b=ab，
所以1b+2a=1，
所以2a+b=(2a+b)(2a+1b)=5+2ba+2ab≥5+2 2ba⋅2ab=9，当且仅当a=b=3时取等号，
所以2a+b的最小值为9．
【解析】(Ⅰ)由已知结合基本不等式即可求解；
(Ⅱ)利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵sinα=2 55,α为锐角，
∴csα= 1−sin2α= 1−45= 55，
∴tanα=sinαcsα=2 55 55=2，
cs2α=1−2sin2α=1−2×45=−35．
(2)选①：∵α∈(0,π2)∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，
∴sin2α= 1−cs22α=45．
∵tanβ=34，
∴sinβcsβ=34sin2β+cs2β=1，
∵β∈(0,π2)，
∴sinβ=35csβ=45；
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=(−35)×45+45×35=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，
∴π2<2α<π，
∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0，
∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2，
选②：∵α∈(0,π2)，∴2α∈(0,π)，
∵cs2α=−35，∴sin2α=45，
∵sin2β=2sinβcsβ=85sinβ，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴csβ=45，
∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
0<2α<π，cs2α<0，
∵0<2α<π,cs2α<0∴π2<2α<π，∵0<β<π2，
∴−π2<−β<0∴0<2α−β<π，
∴2α−β=π2.∴π2<2α<π；
选③：∵α∈(0,π2)，
∴2α∈(0,π)，cs2α=−35；
∴sin2α= 1−cs22α=45
∵csβ2=3 1010，∴csβ=2cs2β2−1=45，
∵β∈(0,π2)，∴sinβ>0，∴sinβ= 1−cs2β=35，
∴cs(2α−β)=cs2αcsβ+sin2αsinβ=0，
∵0<2α<π，cs2α<0，∴π2<2α<π，∵0<β<π2，∴−π2<−β<0
∴0<2α−β<π；
∴2α−β=π2．
【解析】(1)根据三角函数定义结合同角三角函数关系和二倍角公式即可求出答案；
(2)根据同角三角函数关系、二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，倍角公式，同角三角函数的关系式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，当T0=90，Te=20，t=10，T(t)=55，
代入公式T(t)=(T0−Te)e−kt+Te，整理得：55=(90−20)e−10k+20，
解得：e−10k=12,k=ln210．
(2)假设自然冷却大约tmin时间能达到最佳饮用口感，
则有：65=(85−25)e−kt+25，代入k=ln210，
得：t=10×ln32ln2=10×(ln3−ln2)ln2=10×(1.1−0.7)0.7=407≈5.7，
所以刚泡好的茶水在室温为25℃时自然冷却大约需要放置5.7min后才能达到最佳饮用口感．
【解析】(1)根据题意列出等量关系式，求解k即可；
(2)代入得40=60e−kt 然后结合k，求解时间t．
本题考查了函数在解决实际问题的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，f(x)=cs2x2−sin2x2+sinx=csx+sinx= 2sin(x+π4)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π；
令2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2,k∈Z，解得2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4,k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为[2kπ−3π4,2kπ+π4](k∈Z)．
(2)曲线C1所对函数解析式为y= 2sin(x+π4)+1，因此g(x)=2 2sin(x+π4)+2，
当0≤x≤π2时，π4≤x+π4≤3π4，
则当x+π4=π4或x+π4=3π4，即当x=0或x=π2时，g(x)min=4，
∃x∈[0,π2]，不等式mt2−2mt+7≥g(x)成立，
只需mt2−2mt+7≥g(x)min，即mt2−2mt+7≥4，
依题意，∀m∈[−1,0]，mt2−2mt+3≥0成立，
令h(m)=(t2−2t)m+3，于是h(−1)≥0h(0)≥0，即−t2+2t+3≥03≥0，解得−1≤t≤3，
所以t的取值范围为[−1,3]．
【解析】(1)利用二倍角及辅助角公式化简函数f(x)，再利用正弦函数性质求解即得．
(2)利用给定变换求出g(x)及在[0,π2]上的最小值，再利用关于m的一次函数列出不等式组求解即得．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，恒成立问题的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为函数g(x)是R上的增函数，
所以k2≥1k−3≤0，所以2≤k≤3．
故k的取值范围为[2,3]．
(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞)，
所以a>0(2−a)ex−1>0，
由(2−a)ex−1>0得a<2−1ex在x∈(0,+∞)上恒成立，
因为x>0，所以ex>1，所以0<1ex<1，所以2−1ex>1，所以0
所以f[(2−a)ex−1]≤f(ae2x)，
因为f(x)在(0,+∞)上为增函数，
所以(2−a)ex−1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立，
所以a≥2ex−1e2x+ex在(0,+∞)上恒成立，令t=2ex−1(t∈(1,+∞))，
则ex=t+12，∴a≥4tt2+4t+3在t∈(1,+∞)上恒成立，
因为4tt2+4t+3=4t+3t+4≤42 3+4=4−2 3，当且仅当t= 3时，等号成立，
所以a≥4−2 3，
综上，a的取值范围为[4−2 3,1]．
【解析】(1)根据二次函数单调性和边界值的大小关系得到不等式组，解出即可；
(2)首先分离参数求出0
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